Theorem subaddd 11514

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subaddd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subadd 11387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  addid0  11560  subdi  11574  zneo  12603  flpmodeq  13824  bpolysum  16009  phiprmpw  16737  fldivp1  16859  pcfac  16861  sylow2a  19585  aaliou3lem7  26333  quad2  26821  dcubic  26828  quart  26843  efiatan2  26899  dmgmaddn0  27004  lgamgulmlem3  27012  m1lgs  27369  addsq2reu  27421  addsqrexnreu  27423  logdivbnd  27537  axeuclidlem  29049  constrrtcclem  33918  ballotlemic  34691  signslema  34746  signsvtn  34768  subfaclim  35416  mblfinlem3  38026  mblfinlem4  38027  aks6d1c2  42615  sticksstones12  42643  pell1qrge1  43315  rmxluc  43381  itgsinexp  46398  fourierdlem19  46569  fourierdlem35  46585  fourierdlem41  46591  fourierdlem51  46600  fourierdlem79  46628  meaiininclem  46929  nnpw2pmod  49074  eenglngeehlnmlem1  49228  eenglngeehlnmlem2  49229  itsclinecirc0b  49265