Theorem ef11d 42334

Description: General condition for the exponential function to be one-to-one. efper 26395 shows that exponentiation is periodic. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ef11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ef11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ef11d	⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = (exp‘𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem ef11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef11d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ef11d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	efsubd 42333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))
4	3	eqeq1d 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = 1))
5		ax-icn 11134	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
7		2cnd 12271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
8		picn 26374	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
11	6, 10	mulcld 11201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
12	1, 2	subcld 11540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13		ine0 11620	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ≠ 0)
15		2ne0 12297	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
17		pine0 26376	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
19	7, 9, 16, 18	mulne0d 11837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
20	6, 10, 14, 19	mulne0d 11837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ≠ 0)
21	11, 12, 20	zdivgd 42332	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
22		eqcom 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 𝐴)
23	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
25		zcn 12541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	24, 26	mulcld 11201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
28	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	23, 27, 28	addrsub 11602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 𝐴 ↔ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
30	22, 29	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
31	30	rexbidva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
32		efeq1 26444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
33	12, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
34	21, 31, 33	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
35	1	efcld 16056	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
36	2	efcld 16056	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
37	2	efne0d 16070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ≠ 0)
38	35, 36, 37	diveq1ad 11974	. 2 ⊢ (𝜑 → (((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = 1 ↔ (exp‘𝐴) = (exp‘𝐵)))
39	4, 34, 38	3bitr3rd 310	1 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = (exp‘𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536  expce 16034  πcpi 16039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  cxp112d  42336  cxp111d  42337