Theorem ef11d 42372

Description: General condition for the exponential function to be one-to-one. efper 26410 shows that exponentiation is periodic. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ef11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ef11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ef11d	⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = (exp‘𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem ef11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef11d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ef11d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	efsubd 42371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))
4	3	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = 1))
5		ax-icn 11060	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
7		2cnd 12198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
8		picn 26389	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
11	6, 10	mulcld 11127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
12	1, 2	subcld 11467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13		ine0 11547	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ≠ 0)
15		2ne0 12224	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
17		pine0 26391	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
19	7, 9, 16, 18	mulne0d 11764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
20	6, 10, 14, 19	mulne0d 11764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ≠ 0)
21	11, 12, 20	zdivgd 42370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
22		eqcom 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 𝐴)
23	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
25		zcn 12468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	24, 26	mulcld 11127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
28	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	23, 27, 28	addrsub 11529	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 𝐴 ↔ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
30	22, 29	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
31	30	rexbidva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
32		efeq1 26459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
33	12, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
34	21, 31, 33	3bitr4rd 312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
35	1	efcld 15985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
36	2	efcld 15985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
37	2	efne0d 15999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ≠ 0)
38	35, 36, 37	diveq1ad 11901	. 2 ⊢ (𝜑 → (((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = 1 ↔ (exp‘𝐴) = (exp‘𝐵)))
39	4, 34, 38	3bitr3rd 310	1 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = (exp‘𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002  ici 11003   + caddc 11004   · cmul 11006   − cmin 11339   / cdiv 11769  2c2 12175  ℤcz 12463  expce 15963  πcpi 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969  df-sin 15971  df-cos 15972  df-pi 15974  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-lp 23046  df-perf 23047  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-limc 25789  df-dv 25790

This theorem is referenced by:  cxp112d  42374  cxp111d  42375