Theorem ef11d 43158

Description: General condition for the exponential function to be one-to-one. efper 26695 shows that exponentiation is periodic. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ef11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ef11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ef11d	⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = (exp‘𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem ef11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef11d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ef11d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	efsubd 43157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))
4	3	eqeq1d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = 1))
5		ax-icn 11174	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
7		2cnd 12334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
8		picn 26672	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
11	6, 10	mulcld 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
12	1, 2	subcld 11584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13		ine0 11664	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ≠ 0)
15		2ne0 12362	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
17		pine0 26676	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
19	7, 9, 16, 18	mulne0d 11881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
20	6, 10, 14, 19	mulne0d 11881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ≠ 0)
21	11, 12, 20	zdivgd 43156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
22		eqcom 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 𝐴)
23	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
25		zcn 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
26	25	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	24, 26	mulcld 11244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
28	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	23, 27, 28	addrsub 11646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 𝐴 ↔ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
30	22, 29	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
31	30	rexbidva 3189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
32		efeq1 26744	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
33	12, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
34	21, 31, 33	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
35	1	efcld 16159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
36	2	efcld 16159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
37	2	efne0d 16173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ≠ 0)
38	35, 36, 37	diveq1ad 12015	. 2 ⊢ (𝜑 → (((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = 1 ↔ (exp‘𝐴) = (exp‘𝐵)))
39	4, 34, 38	3bitr3rd 313	1 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = (exp‘𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115  1c1 11116  ici 11117   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456   / cdiv 11886  2c2 12310  ℤcz 12606  expce 16137  πcpi 16142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-pi 16148  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077

This theorem is used by:  cxp112d  43160  cxp111d  43161