Theorem ef11d 42989

Description: General condition for the exponential function to be one-to-one. efper 26609 shows that exponentiation is periodic. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ef11d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
ef11d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ef11d	⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = (exp‘𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem ef11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef11d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ef11d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	efsubd 42988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 − 𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))
4	3	eqeq1d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = 1))
5		ax-icn 11158	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
7		2cnd 12318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
8		picn 26586	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
11	6, 10	mulcld 11228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
12	1, 2	subcld 11568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13		ine0 11648	. . . . . 6 ⊢ i ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ≠ 0)
15		2ne0 12346	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
17		pine0 26590	. . . . . . 7 ⊢ π ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
19	7, 9, 16, 18	mulne0d 11865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
20	6, 10, 14, 19	mulne0d 11865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ≠ 0)
21	11, 12, 20	zdivgd 42987	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
22		eqcom 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 𝐴)
23	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
25		zcn 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
26	25	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
27	24, 26	mulcld 11228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑛) ∈ ℂ)
28	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	23, 27, 28	addrsub 11630	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) = 𝐴 ↔ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
30	22, 29	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
31	30	rexbidva 3193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((i · (2 · π)) · 𝑛) = (𝐴 − 𝐵)))
32		efeq1 26658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
33	12, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
34	21, 31, 33	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐴 − 𝐵)) = 1 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))
35	1	efcld 16136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
36	2	efcld 16136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
37	2	efne0d 16150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘𝐵) ≠ 0)
38	35, 36, 37	diveq1ad 11999	. 2 ⊢ (𝜑 → (((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = 1 ↔ (exp‘𝐴) = (exp‘𝐵)))
39	4, 34, 38	3bitr3rd 313	1 ⊢ (𝜑 → ((exp‘𝐴) = (exp‘𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝐴 = (𝐵 + ((i · (2 · π)) · 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440   / cdiv 11870  2c2 12294  ℤcz 12590  expce 16114  πcpi 16119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-perf 23262  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cncf 25005  df-limc 25993  df-dv 25994

This theorem is referenced by:  cxp112d  42991  cxp111d  42992