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Theorem hgt750lemb 32035
 Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt750leme.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemb.2 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
hgt750lemb.a 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
Assertion
Ref Expression
hgt750lemb (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝐴,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛   𝜑,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemb
Dummy variables 𝑑 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgt750leme.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11947 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 3nn0 11907 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
5 ssidd 3941 . . . . 5 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
62, 4, 5reprfi2 32002 . . . 4 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
7 hgt750lemb.a . . . . 5 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
87ssrab3 4011 . . . 4 𝐴 ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
9 ssfi 8726 . . . 4 (((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
106, 8, 9sylancl 589 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 vmaf 25707 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
13 ssidd 3941 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ℕ ⊆ ℕ)
141nnzd 12078 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
163a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 3 ∈ ℕ0)
17 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
188, 17sseldi 3916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
1913, 15, 16, 18reprf 31991 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
20 c0ex 10628 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2120tpid1 4667 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
22 fzo0to3tp 13122 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
2321, 22eleqtrri 2892 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ∈ (0..^3))
2519, 24ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2612, 25ffvelrnd 6833 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
27 1ex 10630 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
2827tpid2 4669 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1, 2}
2928, 22eleqtrri 2892 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^3)
3029a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 1 ∈ (0..^3))
3119, 30ffvelrnd 6833 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
3212, 31ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
33 2ex 11706 . . . . . . . . . 10 2 ∈ V
3433tpid3 4672 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
3534, 22eleqtrri 2892 . . . . . . . 8 2 ∈ (0..^3)
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 2 ∈ (0..^3))
3719, 36ffvelrnd 6833 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
3812, 37ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
3932, 38remulcld 10664 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
4026, 39remulcld 10664 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
4110, 40fsumrecl 15086 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
421nnrpd 12421 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
4342relogcld 25217 . . 3 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4426, 32remulcld 10664 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
4510, 44fsumrecl 15086 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
4643, 45remulcld 10664 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) ∈ ℝ)
47 fzfi 13339 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ Fin
48 diffi 8738 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin
50 snfi 8581 . . . . . . 7 {2} ∈ Fin
51 unfi 8773 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin) → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
5249, 50, 51mp2an 691 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin
5352a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
5411a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → Λ:ℕ⟶ℝ)
55 difss 4062 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ (1...𝑁))
57 2nn 11702 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
59 hgt750lemb.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
60 elfz1b 12975 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ≤ 𝑁))
6160biimpri 231 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ (1...𝑁))
6258, 1, 59, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ (1...𝑁))
6362snssd 4705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {2} ⊆ (1...𝑁))
6456, 63unssd 4116 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ (1...𝑁))
65 fz1ssnn 12937 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ⊆ ℕ
6665a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
6764, 66sstrd 3928 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ ℕ)
6867sselda 3918 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 𝑖 ∈ ℕ)
6954, 68ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
7053, 69fsumrecl 15086 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
71 fzfid 13340 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
7211a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
7366sselda 3918 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
7472, 73ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
7571, 74fsumrecl 15086 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
7670, 75remulcld 10664 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ∈ ℝ)
7743, 76remulcld 10664 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ∈ ℝ)
781adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
7978nnrpd 12421 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80 relogcl 25170 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8232, 81remulcld 10664 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
8326, 82remulcld 10664 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
84 vmage0 25709 . . . . . 6 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
8525, 84syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
86 vmage0 25709 . . . . . . 7 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
8731, 86syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
8837nnrpd 12421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℝ+)
8988relogcld 25217 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (log‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
90 vmalelog 25792 . . . . . . . 8 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘(𝑛‘2)))
9137, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘(𝑛‘2)))
9213, 15, 16, 18, 36reprle 31993 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ≤ 𝑁)
93 logleb 25197 . . . . . . . . 9 (((𝑛‘2) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑛‘2) ≤ 𝑁 ↔ (log‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘𝑁)))
9493biimpa 480 . . . . . . . 8 ((((𝑛‘2) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛‘2) ≤ 𝑁) → (log‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘𝑁))
9588, 79, 92, 94syl21anc 836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (log‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘𝑁))
9638, 89, 81, 91, 95letrd 10790 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘𝑁))
9738, 81, 32, 87, 96lemul2ad 11573 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁)))
9839, 82, 26, 85, 97lemul2ad 11573 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
9910, 40, 83, 98fsumle 15149 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
1001nncnd 11645 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1011nnne0d 11679 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
102100, 101logcld 25165 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
10344recnd 10662 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) ∈ ℂ)
10410, 102, 103fsummulc2 15134 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) = Σ𝑛𝐴 ((log‘𝑁) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))))
105102adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
106105, 103mulcomd 10655 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((log‘𝑁) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) · (log‘𝑁)))
10726recnd 10662 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
10832recnd 10662 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
109107, 108, 105mulassd 10657 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) · (log‘𝑁)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
110106, 109eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((log‘𝑁) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
111110sumeq2dv 15055 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((log‘𝑁) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) = Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
112104, 111eqtr2d 2837 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))) = ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))))
11399, 112breqtrd 5059 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))))
1141nnred 11644 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1151nnge1d 11677 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
116114, 115logge0d 25224 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝑁))
117 xpfi 8777 . . . . . 6 (((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
11853, 71, 117syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
11911a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → Λ:ℕ⟶ℝ)
12067adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ ℕ)
121 xp1st 7707 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) → (1st𝑢) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}))
122121adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (1st𝑢) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}))
123120, 122sseldd 3919 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (1st𝑢) ∈ ℕ)
124119, 123ffvelrnd 6833 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (Λ‘(1st𝑢)) ∈ ℝ)
125 xp2nd 7708 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) → (2nd𝑢) ∈ (1...𝑁))
126125adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (2nd𝑢) ∈ (1...𝑁))
12765, 126sseldi 3916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (2nd𝑢) ∈ ℕ)
128119, 127ffvelrnd 6833 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (Λ‘(2nd𝑢)) ∈ ℝ)
129124, 128remulcld 10664 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) ∈ ℝ)
130 vmage0 25709 . . . . . . 7 ((1st𝑢) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(1st𝑢)))
131123, 130syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → 0 ≤ (Λ‘(1st𝑢)))
132 vmage0 25709 . . . . . . 7 ((2nd𝑢) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(2nd𝑢)))
133127, 132syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → 0 ≤ (Λ‘(2nd𝑢)))
134124, 128, 131, 133mulge0d 11210 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → 0 ≤ ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))))
135 ssidd 3941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐴) → ℕ ⊆ ℕ)
13614adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
1373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐴) → 3 ∈ ℕ0)
138 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐𝐴)
1398, 138sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
140135, 136, 137, 139reprf 31991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐:(0..^3)⟶ℕ)
14123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝐴) → 0 ∈ (0..^3))
142140, 141ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ ℕ)
1431adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
144135, 136, 137, 139, 141reprle 31993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ≤ 𝑁)
145 elfz1b 12975 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐‘0) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘0) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐‘0) ≤ 𝑁))
146145biimpri 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐‘0) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐‘0) ≤ 𝑁) → (𝑐‘0) ∈ (1...𝑁))
147142, 143, 144, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ (1...𝑁))
1487rabeq2i 3438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐴 ↔ (𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∧ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
149148simprbi 500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐴 → ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
150 hgt750leme.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
151150oddprm2 32034 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℙ ∖ {2}) = (𝑂 ∩ ℙ)
152151eleq2i 2884 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
153149, 152sylnibr 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝐴 → ¬ (𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2}))
154138, 153syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝐴) → ¬ (𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2}))
155147, 154jca 515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐴) → ((𝑐‘0) ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2})))
156 eldif 3894 . . . . . . . . . 10 ((𝑐‘0) ∈ ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2})) ↔ ((𝑐‘0) ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2})))
157155, 156sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2})))
158 uncom 4083 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) = ({2} ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
159 undif3 4218 . . . . . . . . . . . . 13 ({2} ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (({2} ∪ (1...𝑁)) ∖ (ℙ ∖ {2}))
160158, 159eqtri 2824 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) = (({2} ∪ (1...𝑁)) ∖ (ℙ ∖ {2}))
161 ssequn1 4110 . . . . . . . . . . . . . 14 ({2} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({2} ∪ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
16263, 161sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ({2} ∪ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
163162difeq1d 4052 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (({2} ∪ (1...𝑁)) ∖ (ℙ ∖ {2})) = ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2})))
164160, 163syl5eq 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) = ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2})))
165164eleq2d 2878 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑐‘0) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ↔ (𝑐‘0) ∈ ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2}))))
166165adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐴) → ((𝑐‘0) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ↔ (𝑐‘0) ∈ ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2}))))
167157, 166mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}))
16829a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐴) → 1 ∈ (0..^3))
169140, 168ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘1) ∈ ℕ)
170135, 136, 137, 139, 168reprle 31993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘1) ≤ 𝑁)
171 elfz1b 12975 . . . . . . . . . 10 ((𝑐‘1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐‘1) ≤ 𝑁))
172171biimpri 231 . . . . . . . . 9 (((𝑐‘1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐‘1) ≤ 𝑁) → (𝑐‘1) ∈ (1...𝑁))
173169, 143, 170, 172syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘1) ∈ (1...𝑁))
174167, 173opelxpd 5561 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝐴) → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
175174ralrimiva 3152 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑐𝐴 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
176 fveq1 6648 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑‘0) = (𝑐‘0))
177 fveq1 6648 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑‘1) = (𝑐‘1))
178176, 177opeq12d 4776 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩ = ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
179178cbvmptv 5136 . . . . . . 7 (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = (𝑐𝐴 ↦ ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
180179rnmptss 6867 . . . . . 6 (∀𝑐𝐴 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) → ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ⊆ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
181175, 180syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ⊆ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
182118, 129, 134, 181fsumless 15146 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) ≤ Σ𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))))
183 fvex 6662 . . . . . . . 8 (𝑛‘0) ∈ V
184 fvex 6662 . . . . . . . 8 (𝑛‘1) ∈ V
185183, 184op1std 7685 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → (1st𝑢) = (𝑛‘0))
186185fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → (Λ‘(1st𝑢)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
187183, 184op2ndd 7686 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → (2nd𝑢) = (𝑛‘1))
188187fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → (Λ‘(2nd𝑢)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
189186, 188oveq12d 7157 . . . . 5 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))))
190 opex 5324 . . . . . . . 8 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ V
191190rgenw 3121 . . . . . . 7 𝑐𝐴 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ V
192179fnmpt 6464 . . . . . . 7 (∀𝑐𝐴 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ V → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) Fn 𝐴)
193191, 192mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) Fn 𝐴)
194 eqidd 2802 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩))
195140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑐:(0..^3)⟶ℕ)
196195ffnd 6492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑐 Fn (0..^3))
19719ad4ant13 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
198197ffnd 6492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑛 Fn (0..^3))
199 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛))
200179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = (𝑐𝐴 ↦ ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩))
201190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑐𝐴) → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ V)
202200, 201fvmpt2d 6762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐𝐴) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
203202adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
204203adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
205 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑛 → (𝑐‘0) = (𝑛‘0))
206 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑛 → (𝑐‘1) = (𝑛‘1))
207205, 206opeq12d 4776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑛 → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
208 opex 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ ∈ V
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ ∈ V)
210179, 207, 17, 209fvmptd3 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
211210adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
212211adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
213199, 204, 2123eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
214183, 184opth2 5340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ ↔ ((𝑐‘0) = (𝑛‘0) ∧ (𝑐‘1) = (𝑛‘1)))
215213, 214sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ((𝑐‘0) = (𝑛‘0) ∧ (𝑐‘1) = (𝑛‘1)))
216215simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → (𝑐‘0) = (𝑛‘0))
217216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑐‘0) = (𝑛‘0))
218 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
219218fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑐𝑖) = (𝑐‘0))
220218fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑛𝑖) = (𝑛‘0))
221217, 219, 2203eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑐𝑖) = (𝑛𝑖))
222215simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → (𝑐‘1) = (𝑛‘1))
223222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑐‘1) = (𝑛‘1))
224 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
225224fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑐𝑖) = (𝑐‘1))
226224fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑛𝑖) = (𝑛‘1))
227223, 225, 2263eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑐𝑖) = (𝑛𝑖))
228216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘0) = (𝑛‘0))
229222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘1) = (𝑛‘1))
230228, 229oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) = ((𝑛‘0) + (𝑛‘1)))
231230oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑁 − ((𝑐‘0) + (𝑐‘1))) = (𝑁 − ((𝑛‘0) + (𝑛‘1))))
23222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (0..^3) = {0, 1, 2})
233232sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ (0..^3)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑗))
234 ssidd 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ℕ ⊆ ℕ)
235136ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 3 ∈ ℕ0)
237139ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
238234, 235, 236, 237reprsum 31992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ (0..^3)(𝑐𝑗) = 𝑁)
239 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
240 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘1))
241 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 2 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘2))
242142nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ ℂ)
243242ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘0) ∈ ℂ)
244169nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘1) ∈ ℂ)
245244ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘1) ∈ ℂ)
24635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑐𝐴) → 2 ∈ (0..^3))
247140, 246ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘2) ∈ ℕ)
248247nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘2) ∈ ℂ)
249248ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘2) ∈ ℂ)
250243, 245, 2493jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑐‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℂ))
25120, 27, 333pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
252251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
253 0ne1 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 1
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 0 ≠ 1)
255 0ne2 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 2
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 0 ≠ 2)
257 1ne2 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
258257a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 1 ≠ 2)
259239, 240, 241, 250, 252, 254, 256, 258sumtp 15099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑗) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
260233, 238, 2593eqtr3rd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)) = 𝑁)
261243, 245addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) ∈ ℂ)
262100ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑁 ∈ ℂ)
263261, 249, 262addrsub 11050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)) = 𝑁 ↔ (𝑐‘2) = (𝑁 − ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)))))
264260, 263mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘2) = (𝑁 − ((𝑐‘0) + (𝑐‘1))))
265232sumeq1d 15053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ (0..^3)(𝑛𝑗) = Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (𝑛𝑗))
26618ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
267266ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
268234, 235, 236, 267reprsum 31992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ (0..^3)(𝑛𝑗) = 𝑁)
269 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 → (𝑛𝑗) = (𝑛‘0))
270 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 → (𝑛𝑗) = (𝑛‘1))
271 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 2 → (𝑛𝑗) = (𝑛‘2))
27225nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℂ)
273272adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℂ)
274273ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛‘0) ∈ ℂ)
27531nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℂ)
276275adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℂ)
277276ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛‘1) ∈ ℂ)
27837nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℂ)
279278adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℂ)
280279ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛‘2) ∈ ℂ)
281274, 277, 2803jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑛‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑛‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑛‘2) ∈ ℂ))
282269, 270, 271, 281, 252, 254, 256, 258sumtp 15099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (𝑛𝑗) = (((𝑛‘0) + (𝑛‘1)) + (𝑛‘2)))
283265, 268, 2823eqtr3rd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (((𝑛‘0) + (𝑛‘1)) + (𝑛‘2)) = 𝑁)
284274, 277addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑛‘0) + (𝑛‘1)) ∈ ℂ)
285284, 280, 262addrsub 11050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((((𝑛‘0) + (𝑛‘1)) + (𝑛‘2)) = 𝑁 ↔ (𝑛‘2) = (𝑁 − ((𝑛‘0) + (𝑛‘1)))))
286283, 285mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛‘2) = (𝑁 − ((𝑛‘0) + (𝑛‘1))))
287231, 264, 2863eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘2) = (𝑛‘2))
288 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑖 = 2)
289288fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐𝑖) = (𝑐‘2))
290288fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛𝑖) = (𝑛‘2))
291287, 289, 2903eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐𝑖) = (𝑛𝑖))
292 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) → 𝑖 ∈ (0..^3))
293292, 22eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) → 𝑖 ∈ {0, 1, 2})
294 vex 3447 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 ∈ V
295294eltp 4589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2))
296293, 295sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2))
297221, 227, 291, 296mpjao3dan 1428 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) → (𝑐𝑖) = (𝑛𝑖))
298196, 198, 297eqfnfvd 6786 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑐 = 𝑛)
299298ex 416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛))
300299anasss 470 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑛𝐴)) → (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛))
301300ralrimivva 3159 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑐𝐴𝑛𝐴 (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛))
302 dff1o6 7014 . . . . . . 7 ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩):𝐴1-1-onto→ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ↔ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) Fn 𝐴 ∧ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ∧ ∀𝑐𝐴𝑛𝐴 (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛)))
303302biimpri 231 . . . . . 6 (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) Fn 𝐴 ∧ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ∧ ∀𝑐𝐴𝑛𝐴 (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛)) → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩):𝐴1-1-onto→ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩))
304193, 194, 301, 303syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩):𝐴1-1-onto→ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩))
305181sselda 3918 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → 𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
306305, 124syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → (Λ‘(1st𝑢)) ∈ ℝ)
307305, 128syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → (Λ‘(2nd𝑢)) ∈ ℝ)
308306, 307remulcld 10664 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) ∈ ℝ)
309308recnd 10662 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) ∈ ℂ)
310189, 10, 304, 210, 309fsumf1o 15075 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) = Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))))
31175recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) ∈ ℂ)
31269recnd 10662 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
31353, 311, 312fsummulc1 15135 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) = Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})((Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))
31447a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (1...𝑁) ∈ Fin)
31574adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
316315anassrs 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
317316recnd 10662 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℂ)
318314, 312, 317fsummulc2 15134 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → ((Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)))
319318sumeq2dv 15055 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})((Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) = Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)))
320 vex 3447 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ V
321294, 320op1std 7685 . . . . . . . 8 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (1st𝑢) = 𝑖)
322321fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (Λ‘(1st𝑢)) = (Λ‘𝑖))
323294, 320op2ndd 7686 . . . . . . . 8 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (2nd𝑢) = 𝑗)
324323fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (Λ‘(2nd𝑢)) = (Λ‘𝑗))
325322, 324oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) = ((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)))
32669adantrr 716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
327326, 315remulcld 10664 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)) ∈ ℝ)
328327recnd 10662 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)) ∈ ℂ)
329325, 53, 71, 328fsumxp 15122 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)) = Σ𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))))
330313, 319, 3293eqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) = (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))
331182, 310, 3303brtr3d 5064 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) ≤ (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))
33245, 76, 43, 116, 331lemul2ad 11573 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
33341, 46, 77, 113, 332letrd 10790 1 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  {crab 3113  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  {csn 4528  {ctp 4532  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521  ran crn 5524   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  Fincfn 8496  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   ≤ cle 10669   − cmin 10863  ℕcn 11629  2c2 11684  3c3 11685  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℝ+crp 12381  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  Σcsu 15037   ∥ cdvds 15602  ℙcprime 16008  logclog 25149  Λcvma 25680  reprcrepr 31987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-pc 16167  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-vma 25686  df-repr 31988 This theorem is referenced by:  hgt750leme  32037
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