Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lemb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hgt750lemb 34157
Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
hgt750leme.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
hgt750lemb.2 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝑁)
hgt750lemb.a 𝐴 = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
Assertion
Ref Expression
hgt750lemb (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝐴,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛   πœ‘,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑛,𝑐)
Proof of Theorem hgt750lemb
Dummy variables 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgt750leme.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21nnnn0d 12529 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 3nn0 12487 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•0)
5 ssidd 3997 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• βŠ† β„•)
62, 4, 5reprfi2 34124 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin)
7 hgt750lemb.a . . . . 5 𝐴 = {𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∣ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)}
87ssrab3 4072 . . . 4 𝐴 βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁)
9 ssfi 9169 . . . 4 (((β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 βŠ† (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
106, 8, 9sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
11 vmaf 26967 . . . . . 6 Ξ›:β„•βŸΆβ„
1211a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
13 ssidd 3997 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ β„• βŠ† β„•)
141nnzd 12582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
163a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 3 ∈ β„•0)
17 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛 ∈ 𝐴)
188, 17sselid 3972 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
1913, 15, 16, 18reprf 34113 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
20 c0ex 11205 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2120tpid1 4764 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
22 fzo0to3tp 13715 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
2321, 22eleqtrri 2824 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
2423a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0..^3))
2519, 24ffvelcdmd 7077 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
2612, 25ffvelcdmd 7077 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ ℝ)
27 1ex 11207 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
2827tpid2 4766 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1, 2}
2928, 22eleqtrri 2824 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^3)
3029a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ (0..^3))
3119, 30ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
3212, 31ffvelcdmd 7077 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ ℝ)
33 2ex 12286 . . . . . . . . . 10 2 ∈ V
3433tpid3 4769 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
3534, 22eleqtrri 2824 . . . . . . . 8 2 ∈ (0..^3)
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ (0..^3))
3719, 36ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
3812, 37ffvelcdmd 7077 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
3932, 38remulcld 11241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ∈ ℝ)
4026, 39remulcld 11241 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
4110, 40fsumrecl 15677 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ∈ ℝ)
421nnrpd 13011 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
4342relogcld 26473 . . 3 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
4426, 32remulcld 11241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1))) ∈ ℝ)
4510, 44fsumrecl 15677 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1))) ∈ ℝ)
4643, 45remulcld 11241 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))) ∈ ℝ)
47 fzfi 13934 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ Fin
48 diffi 9175 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin β†’ ((1...𝑁) βˆ– β„™) ∈ Fin)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1...𝑁) βˆ– β„™) ∈ Fin
50 snfi 9040 . . . . . . 7 {2} ∈ Fin
51 unfi 9168 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) βˆ– β„™) ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin) β†’ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ∈ Fin)
5249, 50, 51mp2an 689 . . . . . 6 (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ∈ Fin
5352a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ∈ Fin)
5411a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
55 difss 4123 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑁) βˆ– β„™) βŠ† (1...𝑁)
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) βˆ– β„™) βŠ† (1...𝑁))
57 2nn 12282 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
59 hgt750lemb.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝑁)
60 elfz1b 13567 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (2 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 2 ≀ 𝑁))
6160biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ∈ (1...𝑁))
6258, 1, 59, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ (1...𝑁))
6362snssd 4804 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {2} βŠ† (1...𝑁))
6456, 63unssd 4178 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) βŠ† (1...𝑁))
65 fz1ssnn 13529 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) βŠ† β„•
6665a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) βŠ† β„•)
6764, 66sstrd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) βŠ† β„•)
6867sselda 3974 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
6954, 68ffvelcdmd 7077 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7053, 69fsumrecl 15677 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) ∈ ℝ)
71 fzfid 13935 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
7211a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
7366sselda 3974 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
7472, 73ffvelcdmd 7077 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜π‘—) ∈ ℝ)
7571, 74fsumrecl 15677 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—) ∈ ℝ)
7670, 75remulcld 11241 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—)) ∈ ℝ)
7743, 76remulcld 11241 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
781adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7978nnrpd 13011 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
80 relogcl 26426 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8232, 81remulcld 11241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
8326, 82remulcld 11241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
84 vmage0 26969 . . . . . 6 ((π‘›β€˜0) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
8525, 84syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
86 vmage0 26969 . . . . . . 7 ((π‘›β€˜1) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
8731, 86syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
8837nnrpd 13011 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ ℝ+)
8988relogcld 26473 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (logβ€˜(π‘›β€˜2)) ∈ ℝ)
90 vmalelog 27054 . . . . . . . 8 ((π‘›β€˜2) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ≀ (logβ€˜(π‘›β€˜2)))
9137, 90syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ≀ (logβ€˜(π‘›β€˜2)))
9213, 15, 16, 18, 36reprle 34115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ≀ 𝑁)
93 logleb 26453 . . . . . . . . 9 (((π‘›β€˜2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘›β€˜2) ≀ 𝑁 ↔ (logβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ (logβ€˜π‘)))
9493biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((π‘›β€˜2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (π‘›β€˜2) ≀ 𝑁) β†’ (logβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ (logβ€˜π‘))
9588, 79, 92, 94syl21anc 835 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (logβ€˜(π‘›β€˜2)) ≀ (logβ€˜π‘))
9638, 89, 81, 91, 95letrd 11368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) ≀ (logβ€˜π‘))
9738, 81, 32, 87, 96lemul2ad 12151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2))) ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘)))
9839, 82, 26, 85, 97lemul2ad 12151 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘))))
9910, 40, 83, 98fsumle 15742 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘))))
1001nncnd 12225 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1011nnne0d 12259 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
102100, 101logcld 26421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
10344recnd 11239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1))) ∈ β„‚)
10410, 102, 103fsummulc2 15727 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((logβ€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))))
105102adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
106105, 103mulcomd 11232 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1))) Β· (logβ€˜π‘)))
10726recnd 11239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) ∈ β„‚)
10832recnd 11239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) ∈ β„‚)
109107, 108, 105mulassd 11234 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1))) Β· (logβ€˜π‘)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘))))
110106, 109eqtrd 2764 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((logβ€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘))))
111110sumeq2dv 15646 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((logβ€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘))))
112104, 111eqtr2d 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (logβ€˜π‘))) = ((logβ€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))))
11399, 112breqtrd 5164 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))))
1141nnred 12224 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1151nnge1d 12257 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
116114, 115logge0d 26480 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘))
117 xpfi 9313 . . . . . 6 (((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) β†’ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)) ∈ Fin)
11853, 71, 117syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)) ∈ Fin)
11911a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
12067adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) βŠ† β„•)
121 xp1st 8000 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}))
122121adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}))
123120, 122sseldd 3975 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ (1st β€˜π‘’) ∈ β„•)
124119, 123ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ (Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) ∈ ℝ)
125 xp2nd 8001 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ (1...𝑁))
126125adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ (1...𝑁))
12765, 126sselid 3972 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ (2nd β€˜π‘’) ∈ β„•)
128119, 127ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ ℝ)
129124, 128remulcld 11241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ ((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))) ∈ ℝ)
130 vmage0 26969 . . . . . . 7 ((1st β€˜π‘’) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)))
131123, 130syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)))
132 vmage0 26969 . . . . . . 7 ((2nd β€˜π‘’) ∈ β„• β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’)))
133127, 132syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ 0 ≀ (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’)))
134124, 128, 131, 133mulge0d 11788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))) β†’ 0 ≀ ((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))))
135 ssidd 3997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ β„• βŠ† β„•)
13614adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 3 ∈ β„•0)
138 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
1398, 138sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
140135, 136, 137, 139reprf 34113 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑐:(0..^3)βŸΆβ„•)
14123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0..^3))
142140, 141ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜0) ∈ β„•)
1431adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
144135, 136, 137, 139, 141reprle 34115 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜0) ≀ 𝑁)
145 elfz1b 13567 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘β€˜0) ∈ (1...𝑁) ↔ ((π‘β€˜0) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘β€˜0) ≀ 𝑁))
146145biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜0) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘β€˜0) ≀ 𝑁) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (1...𝑁))
147142, 143, 144, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (1...𝑁))
1487reqabi 3446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ (𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™)))
149148simprbi 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™))
150 hgt750leme.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
151150oddprm2 34156 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„™ βˆ– {2}) = (𝑂 ∩ β„™)
152151eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘β€˜0) ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (π‘β€˜0) ∈ (𝑂 ∩ β„™))
153149, 152sylnibr 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (β„™ βˆ– {2}))
154138, 153syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (β„™ βˆ– {2}))
155147, 154jca 511 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘β€˜0) ∈ (1...𝑁) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
156 eldif 3950 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜0) ∈ ((1...𝑁) βˆ– (β„™ βˆ– {2})) ↔ ((π‘β€˜0) ∈ (1...𝑁) ∧ Β¬ (π‘β€˜0) ∈ (β„™ βˆ– {2})))
157155, 156sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜0) ∈ ((1...𝑁) βˆ– (β„™ βˆ– {2})))
158 uncom 4145 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) = ({2} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– β„™))
159 undif3 4282 . . . . . . . . . . . . 13 ({2} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– β„™)) = (({2} βˆͺ (1...𝑁)) βˆ– (β„™ βˆ– {2}))
160158, 159eqtri 2752 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) = (({2} βˆͺ (1...𝑁)) βˆ– (β„™ βˆ– {2}))
161 ssequn1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 ({2} βŠ† (1...𝑁) ↔ ({2} βˆͺ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
16263, 161sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ({2} βˆͺ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
163162difeq1d 4113 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (({2} βˆͺ (1...𝑁)) βˆ– (β„™ βˆ– {2})) = ((1...𝑁) βˆ– (β„™ βˆ– {2})))
164160, 163eqtrid 2776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) = ((1...𝑁) βˆ– (β„™ βˆ– {2})))
165164eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜0) ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ↔ (π‘β€˜0) ∈ ((1...𝑁) βˆ– (β„™ βˆ– {2}))))
166165adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘β€˜0) ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ↔ (π‘β€˜0) ∈ ((1...𝑁) βˆ– (β„™ βˆ– {2}))))
167157, 166mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}))
16829a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ (0..^3))
169140, 168ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„•)
170135, 136, 137, 139, 168reprle 34115 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜1) ≀ 𝑁)
171 elfz1b 13567 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((π‘β€˜1) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘β€˜1) ≀ 𝑁))
172171biimpri 227 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜1) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘β€˜1) ≀ 𝑁) β†’ (π‘β€˜1) ∈ (1...𝑁))
173169, 143, 170, 172syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜1) ∈ (1...𝑁))
174167, 173opelxpd 5705 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)))
175174ralrimiva 3138 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)))
176 fveq1 6880 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 β†’ (π‘‘β€˜0) = (π‘β€˜0))
177 fveq1 6880 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 β†’ (π‘‘β€˜1) = (π‘β€˜1))
178176, 177opeq12d 4873 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 β†’ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩ = ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩)
179178cbvmptv 5251 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩)
180179rnmptss 7114 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)) β†’ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) βŠ† ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)))
181175, 180syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) βŠ† ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)))
182118, 129, 134, 181fsumless 15739 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑒 ∈ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))) ≀ Σ𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))))
183 fvex 6894 . . . . . . . 8 (π‘›β€˜0) ∈ V
184 fvex 6894 . . . . . . . 8 (π‘›β€˜1) ∈ V
185183, 184op1std 7978 . . . . . . 7 (𝑒 = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩ β†’ (1st β€˜π‘’) = (π‘›β€˜0))
186185fveq2d 6885 . . . . . 6 (𝑒 = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩ β†’ (Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
187183, 184op2ndd 7979 . . . . . . 7 (𝑒 = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩ β†’ (2nd β€˜π‘’) = (π‘›β€˜1))
188187fveq2d 6885 . . . . . 6 (𝑒 = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩ β†’ (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
189186, 188oveq12d 7419 . . . . 5 (𝑒 = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩ β†’ ((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1))))
190 opex 5454 . . . . . . . 8 ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ ∈ V
191190rgenw 3057 . . . . . . 7 βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ ∈ V
192179fnmpt 6680 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ ∈ V β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) Fn 𝐴)
193191, 192mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) Fn 𝐴)
194 eqidd 2725 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) = ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩))
195140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ 𝑐:(0..^3)βŸΆβ„•)
196195ffnd 6708 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ 𝑐 Fn (0..^3))
19719ad4ant13 748 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
198197ffnd 6708 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 Fn (0..^3))
199 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›))
200179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) = (𝑐 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩))
201190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ ∈ V)
202200, 201fvmpt2d 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩)
203202adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩)
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩)
205 fveq1 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑛 β†’ (π‘β€˜0) = (π‘›β€˜0))
206 fveq1 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑛 β†’ (π‘β€˜1) = (π‘›β€˜1))
207205, 206opeq12d 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑛 β†’ ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩)
208 opex 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩ ∈ V
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩ ∈ V)
210179, 207, 17, 209fvmptd3 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›) = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩)
211210adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›) = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩)
212211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›) = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩)
213199, 204, 2123eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ ⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩)
214183, 184opth2 5470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨(π‘β€˜0), (π‘β€˜1)⟩ = ⟨(π‘›β€˜0), (π‘›β€˜1)⟩ ↔ ((π‘β€˜0) = (π‘›β€˜0) ∧ (π‘β€˜1) = (π‘›β€˜1)))
215213, 214sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ ((π‘β€˜0) = (π‘›β€˜0) ∧ (π‘β€˜1) = (π‘›β€˜1)))
216215simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘›β€˜0))
217216ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘›β€˜0))
218 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
219218fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜0))
220218fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘›β€˜π‘–) = (π‘›β€˜0))
221217, 219, 2203eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘›β€˜π‘–))
222215simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ (π‘β€˜1) = (π‘›β€˜1))
223222ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ (π‘β€˜1) = (π‘›β€˜1))
224 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ 𝑖 = 1)
225224fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜1))
226224fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ (π‘›β€˜π‘–) = (π‘›β€˜1))
227223, 225, 2263eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘›β€˜π‘–))
228216ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜0) = (π‘›β€˜0))
229222ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜1) = (π‘›β€˜1))
230228, 229oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ ((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) = ((π‘›β€˜0) + (π‘›β€˜1)))
231230oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (𝑁 βˆ’ ((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1))) = (𝑁 βˆ’ ((π‘›β€˜0) + (π‘›β€˜1))))
23222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (0..^3) = {0, 1, 2})
233232sumeq1d 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^3)(π‘β€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (π‘β€˜π‘—))
234 ssidd 3997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ β„• βŠ† β„•)
235136ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 3 ∈ β„•0)
237139ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
238234, 235, 236, 237reprsum 34114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^3)(π‘β€˜π‘—) = 𝑁)
239 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜0))
240 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜1))
241 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 2 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜2))
242142nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜0) ∈ β„‚)
243242ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜0) ∈ β„‚)
244169nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„‚)
245244ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„‚)
24635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 2 ∈ (0..^3))
247140, 246ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„•)
248247nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
249248ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
250243, 245, 2493jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ ((π‘β€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜1) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜2) ∈ β„‚))
25120, 27, 333pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
252251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
253 0ne1 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 β‰  1
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 0 β‰  1)
255 0ne2 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 β‰  2
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 0 β‰  2)
257 1ne2 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 β‰  2
258257a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 1 β‰  2)
259239, 240, 241, 250, 252, 254, 256, 258sumtp 15692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (π‘β€˜π‘—) = (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2)))
260233, 238, 2593eqtr3rd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2)) = 𝑁)
261243, 245addcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ ((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) ∈ β„‚)
262100ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
263261, 249, 262addrsub 11628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ ((((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)) + (π‘β€˜2)) = 𝑁 ↔ (π‘β€˜2) = (𝑁 βˆ’ ((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1)))))
264260, 263mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜2) = (𝑁 βˆ’ ((π‘β€˜0) + (π‘β€˜1))))
265232sumeq1d 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^3)(π‘›β€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (π‘›β€˜π‘—))
26618ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
267266ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
268234, 235, 236, 267reprsum 34114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ Σ𝑗 ∈ (0..^3)(π‘›β€˜π‘—) = 𝑁)
269 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 β†’ (π‘›β€˜π‘—) = (π‘›β€˜0))
270 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 β†’ (π‘›β€˜π‘—) = (π‘›β€˜1))
271 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 2 β†’ (π‘›β€˜π‘—) = (π‘›β€˜2))
27225nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„‚)
273272adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„‚)
274273ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„‚)
27531nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„‚)
276275adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„‚)
277276ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„‚)
27837nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„‚)
279278adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„‚)
280279ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„‚)
281274, 277, 2803jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ ((π‘›β€˜0) ∈ β„‚ ∧ (π‘›β€˜1) ∈ β„‚ ∧ (π‘›β€˜2) ∈ β„‚))
282269, 270, 271, 281, 252, 254, 256, 258sumtp 15692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (π‘›β€˜π‘—) = (((π‘›β€˜0) + (π‘›β€˜1)) + (π‘›β€˜2)))
283265, 268, 2823eqtr3rd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (((π‘›β€˜0) + (π‘›β€˜1)) + (π‘›β€˜2)) = 𝑁)
284274, 277addcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ ((π‘›β€˜0) + (π‘›β€˜1)) ∈ β„‚)
285284, 280, 262addrsub 11628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ ((((π‘›β€˜0) + (π‘›β€˜1)) + (π‘›β€˜2)) = 𝑁 ↔ (π‘›β€˜2) = (𝑁 βˆ’ ((π‘›β€˜0) + (π‘›β€˜1)))))
286283, 285mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘›β€˜2) = (𝑁 βˆ’ ((π‘›β€˜0) + (π‘›β€˜1))))
287231, 264, 2863eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜2) = (π‘›β€˜2))
288 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ 𝑖 = 2)
289288fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜2))
290288fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘›β€˜π‘–) = (π‘›β€˜2))
291287, 289, 2903eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘›β€˜π‘–))
292 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^3))
293292, 22eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) β†’ 𝑖 ∈ {0, 1, 2})
294 vex 3470 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 ∈ V
295294eltp 4684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2))
296293, 295sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) β†’ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2))
297221, 227, 291, 296mpjao3dan 1428 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘›β€˜π‘–))
298196, 198, 297eqfnfvd 7025 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›)) β†’ 𝑐 = 𝑛)
299298ex 412 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›) β†’ 𝑐 = 𝑛))
300299anasss 466 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›) β†’ 𝑐 = 𝑛))
301300ralrimivva 3192 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›) β†’ 𝑐 = 𝑛))
302 dff1o6 7265 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩):𝐴–1-1-ontoβ†’ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) Fn 𝐴 ∧ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) = ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›) β†’ 𝑐 = 𝑛)))
303302biimpri 227 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) Fn 𝐴 ∧ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) = ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 βˆ€π‘› ∈ 𝐴 (((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)β€˜π‘›) β†’ 𝑐 = 𝑛)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩):𝐴–1-1-ontoβ†’ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩))
304193, 194, 301, 303syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩):𝐴–1-1-ontoβ†’ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩))
305181sselda 3974 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)) β†’ 𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁)))
306305, 124syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)) β†’ (Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) ∈ ℝ)
307305, 128syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)) β†’ (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’)) ∈ ℝ)
308306, 307remulcld 11241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)) β†’ ((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))) ∈ ℝ)
309308recnd 11239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)) β†’ ((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))) ∈ β„‚)
310189, 10, 304, 210, 309fsumf1o 15666 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑒 ∈ ran (𝑑 ∈ 𝐴 ↦ ⟨(π‘‘β€˜0), (π‘‘β€˜1)⟩)((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))) = Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1))))
31175recnd 11239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—) ∈ β„‚)
31269recnd 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ β„‚)
31353, 311, 312fsummulc1 15728 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—)) = Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})((Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—)))
31447a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})) β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
31574adantrl 713 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) β†’ (Ξ›β€˜π‘—) ∈ ℝ)
316315anassrs 467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜π‘—) ∈ ℝ)
317316recnd 11239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) β†’ (Ξ›β€˜π‘—) ∈ β„‚)
318314, 312, 317fsummulc2 15727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})) β†’ ((Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Ξ›β€˜π‘–) Β· (Ξ›β€˜π‘—)))
319318sumeq2dv 15646 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})((Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—)) = Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Ξ›β€˜π‘–) Β· (Ξ›β€˜π‘—)))
320 vex 3470 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ V
321294, 320op1std 7978 . . . . . . . 8 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (1st β€˜π‘’) = 𝑖)
322321fveq2d 6885 . . . . . . 7 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) = (Ξ›β€˜π‘–))
323294, 320op2ndd 7979 . . . . . . . 8 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘’) = 𝑗)
324323fveq2d 6885 . . . . . . 7 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’)) = (Ξ›β€˜π‘—))
325322, 324oveq12d 7419 . . . . . 6 (𝑒 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ ((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))) = ((Ξ›β€˜π‘–) Β· (Ξ›β€˜π‘—)))
32669adantrr 714 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) β†’ (Ξ›β€˜π‘–) ∈ ℝ)
327326, 315remulcld 11241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘–) Β· (Ξ›β€˜π‘—)) ∈ ℝ)
328327recnd 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘–) Β· (Ξ›β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
329325, 53, 71, 328fsumxp 15715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Ξ›β€˜π‘–) Β· (Ξ›β€˜π‘—)) = Σ𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))))
330313, 319, 3293eqtrrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑒 ∈ ((((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2}) Γ— (1...𝑁))((Ξ›β€˜(1st β€˜π‘’)) Β· (Ξ›β€˜(2nd β€˜π‘’))) = (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—)))
331182, 310, 3303brtr3d 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1))) ≀ (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—)))
33245, 76, 43, 116, 331lemul2ad 12151 . 2 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—))))
33341, 46, 77, 113, 332letrd 11368 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ 𝐴 ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) βˆ– β„™) βˆͺ {2})(Ξ›β€˜π‘–) Β· Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Ξ›β€˜π‘—))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  {csn 4620  {ctp 4624  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  ran crn 5667   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  1st c1st 7966  2nd c2nd 7967  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  2c2 12264  3c3 12265  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„+crp 12971  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  Ξ£csu 15629   βˆ₯ cdvds 16194  β„™cprime 16605  logclog 26405  Ξ›cvma 26940  reprcrepr 34109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407  df-vma 26946  df-repr 34110
This theorem is referenced by:  hgt750leme  34159
  Copyright terms: Public domain W3C validator