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Theorem hgt750lemb 31059
Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt750leme.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt750leme.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hgt750lemb.2 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
hgt750lemb.a 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
Assertion
Ref Expression
hgt750lemb (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑂   𝐴,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛   𝜑,𝑐,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem hgt750lemb
Dummy variables 𝑑 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgt750leme.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11617 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 3nn0 11577 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
5 ssidd 3821 . . . . 5 (𝜑 → ℕ ⊆ ℕ)
62, 4, 5reprfi2 31026 . . . 4 (𝜑 → (ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin)
7 hgt750lemb.a . . . . 5 𝐴 = {𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∣ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)}
87ssrab3 3885 . . . 4 𝐴 ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)
9 ssfi 8419 . . . 4 (((ℕ(repr‘3)𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
106, 8, 9sylancl 576 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 vmaf 25059 . . . . . 6 Λ:ℕ⟶ℝ
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → Λ:ℕ⟶ℝ)
13 ssidd 3821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ℕ ⊆ ℕ)
141nnzd 11747 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
163a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 3 ∈ ℕ0)
17 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
188, 17sseldi 3796 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
1913, 15, 16, 18reprf 31015 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
20 c0ex 10319 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2120tpid1 4494 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1, 2}
22 fzo0to3tp 12778 . . . . . . . 8 (0..^3) = {0, 1, 2}
2321, 22eleqtrri 2884 . . . . . . 7 0 ∈ (0..^3)
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ∈ (0..^3))
2519, 24ffvelrnd 6582 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
2612, 25ffvelrnd 6582 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℝ)
27 1ex 10321 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
2827tpid2 4495 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1, 2}
2928, 22eleqtrri 2884 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^3)
3029a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 1 ∈ (0..^3))
3119, 30ffvelrnd 6582 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
3212, 31ffvelrnd 6582 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℝ)
33 2ex 11376 . . . . . . . . . 10 2 ∈ V
3433tpid3 4497 . . . . . . . . 9 2 ∈ {0, 1, 2}
3534, 22eleqtrri 2884 . . . . . . . 8 2 ∈ (0..^3)
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 2 ∈ (0..^3))
3719, 36ffvelrnd 6582 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
3812, 37ffvelrnd 6582 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
3932, 38remulcld 10355 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ∈ ℝ)
4026, 39remulcld 10355 . . 3 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
4110, 40fsumrecl 14688 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ∈ ℝ)
421nnrpd 12084 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
4342relogcld 24583 . . 3 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4426, 32remulcld 10355 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
4510, 44fsumrecl 14688 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) ∈ ℝ)
4643, 45remulcld 10355 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) ∈ ℝ)
47 fzfi 12995 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ Fin
48 diffi 8431 . . . . . . . 8 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin)
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin
50 snfi 8277 . . . . . . 7 {2} ∈ Fin
51 unfi 8466 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin) → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
5249, 50, 51mp2an 675 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin
5352a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin)
5411a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → Λ:ℕ⟶ℝ)
55 difss 3936 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ (1...𝑁)
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1...𝑁) ∖ ℙ) ⊆ (1...𝑁))
57 2nn 11462 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
59 hgt750lemb.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝑁)
60 elfz1b 12632 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ≤ 𝑁))
6160biimpri 219 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ (1...𝑁))
6258, 1, 59, 61syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ (1...𝑁))
6362snssd 4530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {2} ⊆ (1...𝑁))
6456, 63unssd 3988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ (1...𝑁))
65 fz1ssnn 12595 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ⊆ ℕ
6665a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
6764, 66sstrd 3808 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ ℕ)
6867sselda 3798 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → 𝑖 ∈ ℕ)
6954, 68ffvelrnd 6582 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
7053, 69fsumrecl 14688 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
71 fzfid 12996 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
7211a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → Λ:ℕ⟶ℝ)
7366sselda 3798 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ)
7472, 73ffvelrnd 6582 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
7571, 74fsumrecl 14688 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
7670, 75remulcld 10355 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) ∈ ℝ)
7743, 76remulcld 10355 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))) ∈ ℝ)
781adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
7978nnrpd 12084 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ+)
80 relogcl 24536 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8232, 81remulcld 10355 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
8326, 82remulcld 10355 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))) ∈ ℝ)
84 vmage0 25061 . . . . . 6 ((𝑛‘0) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
8525, 84syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘0)))
86 vmage0 25061 . . . . . . 7 ((𝑛‘1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
8731, 86syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 0 ≤ (Λ‘(𝑛‘1)))
8837nnrpd 12084 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℝ+)
8988relogcld 24583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (log‘(𝑛‘2)) ∈ ℝ)
90 vmalelog 25144 . . . . . . . 8 ((𝑛‘2) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘(𝑛‘2)))
9137, 90syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘(𝑛‘2)))
9213, 15, 16, 18, 36reprle 31017 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ≤ 𝑁)
93 logleb 24563 . . . . . . . . 9 (((𝑛‘2) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑛‘2) ≤ 𝑁 ↔ (log‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘𝑁)))
9493biimpa 464 . . . . . . . 8 ((((𝑛‘2) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛‘2) ≤ 𝑁) → (log‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘𝑁))
9588, 79, 92, 94syl21anc 857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (log‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘𝑁))
9638, 89, 81, 91, 95letrd 10479 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘2)) ≤ (log‘𝑁))
9738, 81, 32, 87, 96lemul2ad 11249 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2))) ≤ ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁)))
9839, 82, 26, 85, 97lemul2ad 11249 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
9910, 40, 83, 98fsumle 14753 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
1001nncnd 11321 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1011nnne0d 11351 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
102100, 101logcld 24531 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
10344recnd 10353 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) ∈ ℂ)
10410, 102, 103fsummulc2 14738 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) = Σ𝑛𝐴 ((log‘𝑁) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))))
105102adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
106105, 103mulcomd 10346 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → ((log‘𝑁) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) · (log‘𝑁)))
10726recnd 10353 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘0)) ∈ ℂ)
10832recnd 10353 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → (Λ‘(𝑛‘1)) ∈ ℂ)
109107, 108, 105mulassd 10348 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) · (log‘𝑁)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
110106, 109eqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → ((log‘𝑁) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
111110sumeq2dv 14656 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((log‘𝑁) · ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) = Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))))
112104, 111eqtr2d 2841 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (log‘𝑁))) = ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))))
11399, 112breqtrd 4870 . 2 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))))
1141nnred 11320 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1151nnge1d 11349 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
116114, 115logge0d 24590 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝑁))
117 xpfi 8470 . . . . . 6 (((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
11853, 71, 117syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
11911a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → Λ:ℕ⟶ℝ)
12067adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ⊆ ℕ)
121 xp1st 7430 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) → (1st𝑢) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}))
122121adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (1st𝑢) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}))
123120, 122sseldd 3799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (1st𝑢) ∈ ℕ)
124119, 123ffvelrnd 6582 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (Λ‘(1st𝑢)) ∈ ℝ)
125 xp2nd 7431 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) → (2nd𝑢) ∈ (1...𝑁))
126125adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (2nd𝑢) ∈ (1...𝑁))
12765, 126sseldi 3796 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (2nd𝑢) ∈ ℕ)
128119, 127ffvelrnd 6582 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → (Λ‘(2nd𝑢)) ∈ ℝ)
129124, 128remulcld 10355 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) ∈ ℝ)
130 vmage0 25061 . . . . . . 7 ((1st𝑢) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(1st𝑢)))
131123, 130syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → 0 ≤ (Λ‘(1st𝑢)))
132 vmage0 25061 . . . . . . 7 ((2nd𝑢) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(2nd𝑢)))
133127, 132syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → 0 ≤ (Λ‘(2nd𝑢)))
134124, 128, 131, 133mulge0d 10889 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))) → 0 ≤ ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))))
135 ssidd 3821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐴) → ℕ ⊆ ℕ)
13614adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
1373a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐴) → 3 ∈ ℕ0)
138 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐𝐴)
1398, 138sseldi 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
140135, 136, 137, 139reprf 31015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐:(0..^3)⟶ℕ)
14123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝐴) → 0 ∈ (0..^3))
142140, 141ffvelrnd 6582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ ℕ)
1431adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
144135, 136, 137, 139, 141reprle 31017 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ≤ 𝑁)
145 elfz1b 12632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐‘0) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘0) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐‘0) ≤ 𝑁))
146145biimpri 219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐‘0) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐‘0) ≤ 𝑁) → (𝑐‘0) ∈ (1...𝑁))
147142, 143, 144, 146syl3anc 1483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ (1...𝑁))
1487rabeq2i 3387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐴 ↔ (𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁) ∧ ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ)))
149148simprbi 486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐴 → ¬ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
150 hgt750leme.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
151150oddprm2 31058 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℙ ∖ {2}) = (𝑂 ∩ ℙ)
152151eleq2i 2877 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑐‘0) ∈ (𝑂 ∩ ℙ))
153149, 152sylnibr 320 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐𝐴 → ¬ (𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2}))
154138, 153syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝐴) → ¬ (𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2}))
155147, 154jca 503 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐴) → ((𝑐‘0) ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2})))
156 eldif 3779 . . . . . . . . . 10 ((𝑐‘0) ∈ ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2})) ↔ ((𝑐‘0) ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝑐‘0) ∈ (ℙ ∖ {2})))
157155, 156sylibr 225 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2})))
158 uncom 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) = ({2} ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ))
159 undif3 4090 . . . . . . . . . . . . 13 ({2} ∪ ((1...𝑁) ∖ ℙ)) = (({2} ∪ (1...𝑁)) ∖ (ℙ ∖ {2}))
160158, 159eqtri 2828 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) = (({2} ∪ (1...𝑁)) ∖ (ℙ ∖ {2}))
161 ssequn1 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ({2} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({2} ∪ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
16263, 161sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ({2} ∪ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
163162difeq1d 3926 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (({2} ∪ (1...𝑁)) ∖ (ℙ ∖ {2})) = ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2})))
164160, 163syl5eq 2852 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) = ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2})))
165164eleq2d 2871 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑐‘0) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ↔ (𝑐‘0) ∈ ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2}))))
166165adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐴) → ((𝑐‘0) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ↔ (𝑐‘0) ∈ ((1...𝑁) ∖ (ℙ ∖ {2}))))
167157, 166mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}))
16829a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐴) → 1 ∈ (0..^3))
169140, 168ffvelrnd 6582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘1) ∈ ℕ)
170135, 136, 137, 139, 168reprle 31017 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘1) ≤ 𝑁)
171 elfz1b 12632 . . . . . . . . . 10 ((𝑐‘1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑐‘1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐‘1) ≤ 𝑁))
172171biimpri 219 . . . . . . . . 9 (((𝑐‘1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐‘1) ≤ 𝑁) → (𝑐‘1) ∈ (1...𝑁))
173169, 143, 170, 172syl3anc 1483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘1) ∈ (1...𝑁))
174167, 173opelxpd 5349 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝐴) → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
175174ralrimiva 3154 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑐𝐴 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
176 fveq1 6407 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑‘0) = (𝑐‘0))
177 fveq1 6407 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → (𝑑‘1) = (𝑐‘1))
178176, 177opeq12d 4603 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩ = ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
179178cbvmptv 4944 . . . . . . 7 (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = (𝑐𝐴 ↦ ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
180179rnmptss 6614 . . . . . 6 (∀𝑐𝐴 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)) → ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ⊆ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
181175, 180syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ⊆ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
182118, 129, 134, 181fsumless 14750 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) ≤ Σ𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))))
183 fvex 6421 . . . . . . . 8 (𝑛‘0) ∈ V
184 fvex 6421 . . . . . . . 8 (𝑛‘1) ∈ V
185183, 184op1std 7408 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → (1st𝑢) = (𝑛‘0))
186185fveq2d 6412 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → (Λ‘(1st𝑢)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
187183, 184op2ndd 7409 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → (2nd𝑢) = (𝑛‘1))
188187fveq2d 6412 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → (Λ‘(2nd𝑢)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
189186, 188oveq12d 6892 . . . . 5 (𝑢 = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))))
190 opex 5122 . . . . . . . 8 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ V
191190rgenw 3112 . . . . . . 7 𝑐𝐴 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ V
192179fnmpt 6231 . . . . . . 7 (∀𝑐𝐴 ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ V → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) Fn 𝐴)
193191, 192mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) Fn 𝐴)
194 eqidd 2807 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩))
195140ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑐:(0..^3)⟶ℕ)
196195ffnd 6257 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑐 Fn (0..^3))
19719ad4ant13 748 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
198197ffnd 6257 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑛 Fn (0..^3))
199 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛))
200179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = (𝑐𝐴 ↦ ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩))
201190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑐𝐴) → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ ∈ V)
202200, 201fvmpt2d 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐𝐴) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
203202adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
204203adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩)
205179a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = (𝑐𝐴 ↦ ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩))
206 fveq1 6407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = 𝑛 → (𝑐‘0) = (𝑛‘0))
207 fveq1 6407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = 𝑛 → (𝑐‘1) = (𝑛‘1))
208206, 207opeq12d 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑛 → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
209208adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝐴) ∧ 𝑐 = 𝑛) → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
210 opex 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ ∈ V
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ ∈ V)
212205, 209, 17, 211fvmptd 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
213212adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
214213adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
215199, 204, 2143eqtr3d 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩)
216183, 184opth2 5138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨(𝑐‘0), (𝑐‘1)⟩ = ⟨(𝑛‘0), (𝑛‘1)⟩ ↔ ((𝑐‘0) = (𝑛‘0) ∧ (𝑐‘1) = (𝑛‘1)))
217215, 216sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → ((𝑐‘0) = (𝑛‘0) ∧ (𝑐‘1) = (𝑛‘1)))
218217simpld 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → (𝑐‘0) = (𝑛‘0))
219218ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑐‘0) = (𝑛‘0))
220 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
221220fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑐𝑖) = (𝑐‘0))
222220fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑛𝑖) = (𝑛‘0))
223219, 221, 2223eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑐𝑖) = (𝑛𝑖))
224217simprd 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → (𝑐‘1) = (𝑛‘1))
225224ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑐‘1) = (𝑛‘1))
226 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
227226fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑐𝑖) = (𝑐‘1))
228226fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑛𝑖) = (𝑛‘1))
229225, 227, 2283eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑐𝑖) = (𝑛𝑖))
230218ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘0) = (𝑛‘0))
231224ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘1) = (𝑛‘1))
232230, 231oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) = ((𝑛‘0) + (𝑛‘1)))
233232oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑁 − ((𝑐‘0) + (𝑐‘1))) = (𝑁 − ((𝑛‘0) + (𝑛‘1))))
23422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (0..^3) = {0, 1, 2})
235234sumeq1d 14654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ (0..^3)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑗))
236 ssidd 3821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ℕ ⊆ ℕ)
237136ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑁 ∈ ℤ)
2383a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 3 ∈ ℕ0)
239139ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑐 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
240236, 237, 238, 239reprsum 31016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ (0..^3)(𝑐𝑗) = 𝑁)
241 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
242 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘1))
243 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 2 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘2))
244142nncnd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘0) ∈ ℂ)
245244ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘0) ∈ ℂ)
246169nncnd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘1) ∈ ℂ)
247246ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘1) ∈ ℂ)
24835a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑐𝐴) → 2 ∈ (0..^3))
249140, 248ffvelrnd 6582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘2) ∈ ℕ)
250249nncnd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝑐‘2) ∈ ℂ)
251250ad4antr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘2) ∈ ℂ)
252245, 247, 2513jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑐‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑐‘2) ∈ ℂ))
25320, 27, 333pm3.2i 1431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
254253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
255 0ne1 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 1
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 0 ≠ 1)
257 0ne2 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 2
258257a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 0 ≠ 2)
259 1ne2 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 1 ≠ 2)
261241, 242, 243, 252, 254, 256, 258, 260sumtp 14701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (𝑐𝑗) = (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)))
262235, 240, 2613eqtr3rd 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)) = 𝑁)
263245, 247addcld 10344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) ∈ ℂ)
264100ad5antr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑁 ∈ ℂ)
265263, 251, 264addrsub 10733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((((𝑐‘0) + (𝑐‘1)) + (𝑐‘2)) = 𝑁 ↔ (𝑐‘2) = (𝑁 − ((𝑐‘0) + (𝑐‘1)))))
266262, 265mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘2) = (𝑁 − ((𝑐‘0) + (𝑐‘1))))
267234sumeq1d 14654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ (0..^3)(𝑛𝑗) = Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (𝑛𝑗))
26818ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
269268ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
270236, 237, 238, 269reprsum 31016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ (0..^3)(𝑛𝑗) = 𝑁)
271 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 → (𝑛𝑗) = (𝑛‘0))
272 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 → (𝑛𝑗) = (𝑛‘1))
273 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 2 → (𝑛𝑗) = (𝑛‘2))
27425nncnd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℂ)
275274adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛‘0) ∈ ℂ)
276275ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛‘0) ∈ ℂ)
27731nncnd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℂ)
278277adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛‘1) ∈ ℂ)
279278ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛‘1) ∈ ℂ)
28037nncnd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℂ)
281280adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛‘2) ∈ ℂ)
282281ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛‘2) ∈ ℂ)
283276, 279, 2823jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑛‘0) ∈ ℂ ∧ (𝑛‘1) ∈ ℂ ∧ (𝑛‘2) ∈ ℂ))
284271, 272, 273, 283, 254, 256, 258, 260sumtp 14701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → Σ𝑗 ∈ {0, 1, 2} (𝑛𝑗) = (((𝑛‘0) + (𝑛‘1)) + (𝑛‘2)))
285267, 270, 2843eqtr3rd 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (((𝑛‘0) + (𝑛‘1)) + (𝑛‘2)) = 𝑁)
286276, 279addcld 10344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((𝑛‘0) + (𝑛‘1)) ∈ ℂ)
287286, 282, 264addrsub 10733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → ((((𝑛‘0) + (𝑛‘1)) + (𝑛‘2)) = 𝑁 ↔ (𝑛‘2) = (𝑁 − ((𝑛‘0) + (𝑛‘1)))))
288285, 287mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛‘2) = (𝑁 − ((𝑛‘0) + (𝑛‘1))))
289233, 266, 2883eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐‘2) = (𝑛‘2))
290 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑖 = 2)
291290fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐𝑖) = (𝑐‘2))
292290fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑛𝑖) = (𝑛‘2))
293289, 291, 2923eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑐𝑖) = (𝑛𝑖))
294 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) → 𝑖 ∈ (0..^3))
295294, 22syl6eleq 2895 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) → 𝑖 ∈ {0, 1, 2})
296 vex 3394 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 ∈ V
297296eltp 4422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2))
298295, 297sylib 209 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2))
299223, 229, 293, 298mpjao3dan 1549 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^3)) → (𝑐𝑖) = (𝑛𝑖))
300196, 198, 299eqfnfvd 6536 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛)) → 𝑐 = 𝑛)
301300ex 399 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐴) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛))
302301anasss 454 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑛𝐴)) → (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛))
303302ralrimivva 3159 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑐𝐴𝑛𝐴 (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛))
304 dff1o6 6755 . . . . . . 7 ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩):𝐴1-1-onto→ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ↔ ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) Fn 𝐴 ∧ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ∧ ∀𝑐𝐴𝑛𝐴 (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛)))
305304biimpri 219 . . . . . 6 (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) Fn 𝐴 ∧ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) = ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩) ∧ ∀𝑐𝐴𝑛𝐴 (((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑐) = ((𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)‘𝑛) → 𝑐 = 𝑛)) → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩):𝐴1-1-onto→ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩))
306193, 194, 303, 305syl3anc 1483 . . . . 5 (𝜑 → (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩):𝐴1-1-onto→ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩))
307181sselda 3798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → 𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁)))
308307, 124syldan 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → (Λ‘(1st𝑢)) ∈ ℝ)
309307, 128syldan 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → (Λ‘(2nd𝑢)) ∈ ℝ)
310308, 309remulcld 10355 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) ∈ ℝ)
311310recnd 10353 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)) → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) ∈ ℂ)
312189, 10, 306, 212, 311fsumf1o 14677 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ ran (𝑑𝐴 ↦ ⟨(𝑑‘0), (𝑑‘1)⟩)((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) = Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))))
31375recnd 10353 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗) ∈ ℂ)
31469recnd 10353 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (Λ‘𝑖) ∈ ℂ)
31553, 313, 314fsummulc1 14739 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) = Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})((Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))
31647a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → (1...𝑁) ∈ Fin)
31774adantrl 698 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
318317anassrs 455 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℝ)
319318recnd 10353 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (Λ‘𝑗) ∈ ℂ)
320316, 314, 319fsummulc2 14738 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})) → ((Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)))
321320sumeq2dv 14656 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})((Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)) = Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)))
322 vex 3394 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ V
323296, 322op1std 7408 . . . . . . . 8 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (1st𝑢) = 𝑖)
324323fveq2d 6412 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (Λ‘(1st𝑢)) = (Λ‘𝑖))
325296, 322op2ndd 7409 . . . . . . . 8 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (2nd𝑢) = 𝑗)
326325fveq2d 6412 . . . . . . 7 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (Λ‘(2nd𝑢)) = (Λ‘𝑗))
327324, 326oveq12d 6892 . . . . . 6 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → ((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) = ((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)))
32869adantrr 699 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (Λ‘𝑖) ∈ ℝ)
329328, 317remulcld 10355 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)) ∈ ℝ)
330329recnd 10353 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)) ∈ ℂ)
331327, 53, 71, 330fsumxp 14726 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((Λ‘𝑖) · (Λ‘𝑗)) = Σ𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))))
332315, 321, 3313eqtrrd 2845 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ ((((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2}) × (1...𝑁))((Λ‘(1st𝑢)) · (Λ‘(2nd𝑢))) = (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))
333182, 312, 3323brtr3d 4875 . . 3 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1))) ≤ (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗)))
33445, 76, 43, 116, 333lemul2ad 11249 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) · Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · (Λ‘(𝑛‘1)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
33541, 46, 77, 113, 334letrd 10479 1 (𝜑 → Σ𝑛𝐴 ((Λ‘(𝑛‘0)) · ((Λ‘(𝑛‘1)) · (Λ‘(𝑛‘2)))) ≤ ((log‘𝑁) · (Σ𝑖 ∈ (((1...𝑁) ∖ ℙ) ∪ {2})(Λ‘𝑖) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(Λ‘𝑗))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1099  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  {crab 3100  Vcvv 3391  cdif 3766  cun 3767  cin 3768  wss 3769  {csn 4370  {ctp 4374  cop 4376   class class class wbr 4844  cmpt 4923   × cxp 5309  ran crn 5312   Fn wfn 6096  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6874  1st c1st 7396  2nd c2nd 7397  Fincfn 8192  cc 10219  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226  cle 10360  cmin 10551  cn 11305  2c2 11356  3c3 11357  0cn0 11559  cz 11643  +crp 12046  ...cfz 12549  ..^cfzo 12689  Σcsu 14639  cdvds 15203  cprime 15603  logclog 24515  Λcvma 25032  reprcrepr 31011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ioc 12398  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-fac 13281  df-bc 13310  df-hash 13338  df-shft 14030  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-limsup 14425  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-dvds 15204  df-gcd 15436  df-prm 15604  df-pc 15759  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-mulg 17746  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23844  df-dv 23845  df-log 24517  df-vma 25038  df-repr 31012
This theorem is referenced by:  hgt750leme  31061
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