colinearalglem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > colinearalglem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem colinearalglem2 26386

Description: Lemma for colinearalg 26389. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
colinearalglem2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑗 𝐵,𝑖,𝑗 𝐶,𝑖,𝑗 𝑖,𝑁,𝑗

**Proof of Theorem colinearalglem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simpl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
3		fveecn 26381	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
5		simp2 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		fveecn 26381	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
7	5, 2, 6	syl2an 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
8		simp3 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		fveecn 26381	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
10	8, 2, 9	syl2an 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
11		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
12		fveecn 26381	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	syl2an 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
14		fveecn 26381	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
15	5, 11, 14	syl2an 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
16		fveecn 26381	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	syl2an 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
18		simp1 1116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19		simp3 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
20		mulcl 10411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
22		simp2 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
23		simp1 1116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
24		mulcl 10411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	syl2an 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 10451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ)
27		mulcl 10411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
28	22, 19, 27	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ∈ ℂ)
30		simp2 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
31		mulcl 10411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
32	18, 30, 31	syl2an 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
33		simp3 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
34		mulcl 10411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
35	33, 23, 34	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
36		mulcl 10411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
37	33, 30, 36	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
38	35, 37	subcld 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
39	29, 32, 38	subadd2d 10809	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)))))
40		eqcom 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
41	39, 40	syl6bb 279	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
42	35, 32, 37	addsubd 10811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
43	35, 32	addcomd 10634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))
44	43	oveq1d 6985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
45	42, 44	eqtr3d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
46	45	eqeq2d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
47	41, 46	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
48	26, 28, 32	subsub4d 10821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
49	28, 32	addcld 10451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
50	21, 49, 25	subsub3d 10820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
51	28, 25, 32	subsub3d 10820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))
52	51	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
53	52	oveq2d 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
54	25, 32	subcld 10790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
55	21, 28, 54	subsubd 10818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
56	53, 55	eqtrd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
57	48, 50, 56	3eqtr2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
58	21, 28	subcld 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ∈ ℂ)
59	58, 25, 32	addsub12d 10813	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
60	21, 28, 32	subsub4d 10821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
61	60	oveq2d 6986	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
62	57, 59, 61	3eqtrd 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
63	62	eqeq1d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
64	32, 35	addcld 10451	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ)
65		subeqrev 10855	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ) ∧ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
66	26, 28, 64, 37, 65	syl22anc 826	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
67	47, 63, 66	3bitr3rd 302	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
68	21, 49	subcld 10790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) ∈ ℂ)
69	25, 68, 38	addrsub 10850	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))))
70	35, 37, 25	sub32d 10822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
71	35, 25, 37	subsub4d 10821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
72	70, 71	eqtrd 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
73	72	eqeq2d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
74	69, 73	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
75		eqcom 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
76	74, 75	syl6bb 279	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
77	67, 76	bitrd 271	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
78		colinearalglem1 26385	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
79		3anrot 1081	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ))
80		3anrot 1081	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ))
81		colinearalglem1 26385	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
82	79, 80, 81	syl2anb 588	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
83	77, 78, 82	3bitr4d 303	. . 3 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
84	4, 7, 10, 13, 15, 17, 83	syl33anc 1365	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
85	84	2ralbidva 3142	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∧ w3a 1068 = wceq 1507 ∈ wcel 2048 ∀wral 3082 ‘cfv 6182 (class class class)co 6970 ℂcc 10325 1c1 10328 + caddc 10330 · cmul 10332 − cmin 10662 ...cfz 12701 𝔼cee 26367

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1964 ax-8 2050 ax-9 2057 ax-10 2077 ax-11 2091 ax-12 2104 ax-13 2299 ax-ext 2745 ax-sep 5054 ax-nul 5061 ax-pow 5113 ax-pr 5180 ax-un 7273 ax-cnex 10383 ax-resscn 10384 ax-1cn 10385 ax-icn 10386 ax-addcl 10387 ax-addrcl 10388 ax-mulcl 10389 ax-mulrcl 10390 ax-mulcom 10391 ax-addass 10392 ax-mulass 10393 ax-distr 10394 ax-i2m1 10395 ax-1ne0 10396 ax-1rid 10397 ax-rnegex 10398 ax-rrecex 10399 ax-cnre 10400 ax-pre-lttri 10401 ax-pre-lttrn 10402 ax-pre-ltadd 10403

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2014 df-mo 2544 df-eu 2580 df-clab 2754 df-cleq 2765 df-clel 2840 df-nfc 2912 df-ne 2962 df-nel 3068 df-ral 3087 df-rex 3088 df-reu 3089 df-rab 3091 df-v 3411 df-sbc 3678 df-csb 3783 df-dif 3828 df-un 3830 df-in 3832 df-ss 3839 df-nul 4174 df-if 4345 df-pw 4418 df-sn 4436 df-pr 4438 df-op 4442 df-uni 4707 df-br 4924 df-opab 4986 df-mpt 5003 df-id 5305 df-po 5319 df-so 5320 df-xp 5406 df-rel 5407 df-cnv 5408 df-co 5409 df-dm 5410 df-rn 5411 df-res 5412 df-ima 5413 df-iota 6146 df-fun 6184 df-fn 6185 df-f 6186 df-f1 6187 df-fo 6188 df-f1o 6189 df-fv 6190 df-riota 6931 df-ov 6973 df-oprab 6974 df-mpo 6975 df-er 8081 df-map 8200 df-en 8299 df-dom 8300 df-sdom 8301 df-pnf 10468 df-mnf 10469 df-ltxr 10471 df-sub 10664 df-neg 10665 df-ee 26370

This theorem is referenced by: colinearalglem3 26387 colinearalg 26389

W3C validator