colinearalglem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > colinearalglem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem colinearalglem2 28940

Description: Lemma for colinearalg 28943. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
colinearalglem2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑗 𝐵,𝑖,𝑗 𝐶,𝑖,𝑗 𝑖,𝑁,𝑗

**Proof of Theorem colinearalglem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
3		fveecn 28935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
5		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		fveecn 28935	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
7	5, 2, 6	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		fveecn 28935	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
10	8, 2, 9	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
12		fveecn 28935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
14		fveecn 28935	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
15	5, 11, 14	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
16		fveecn 28935	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
18		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
20		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
22		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
23		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
24		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ)
27		mulcl 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
28	22, 19, 27	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ∈ ℂ)
30		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
31		mulcl 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
32	18, 30, 31	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
33		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
34		mulcl 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
35	33, 23, 34	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
36		mulcl 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
37	33, 30, 36	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
38	35, 37	subcld 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
39	29, 32, 38	subadd2d 11666	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)))))
40		eqcom 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
41	39, 40	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
42	35, 32, 37	addsubd 11668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
43	35, 32	addcomd 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))
44	43	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
45	42, 44	eqtr3d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
46	45	eqeq2d 2751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
47	41, 46	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
48	26, 28, 32	subsub4d 11678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
49	28, 32	addcld 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
50	21, 49, 25	subsub3d 11677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
51	28, 25, 32	subsub3d 11677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))
52	51	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
53	52	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
54	25, 32	subcld 11647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
55	21, 28, 54	subsubd 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
56	53, 55	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
57	48, 50, 56	3eqtr2d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
58	21, 28	subcld 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ∈ ℂ)
59	58, 25, 32	addsub12d 11670	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
60	21, 28, 32	subsub4d 11678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
61	60	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
62	57, 59, 61	3eqtrd 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
63	62	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
64	32, 35	addcld 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ)
65		subeqrev 11712	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ) ∧ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
66	26, 28, 64, 37, 65	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
67	47, 63, 66	3bitr3rd 310	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
68	21, 49	subcld 11647	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) ∈ ℂ)
69	25, 68, 38	addrsub 11707	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))))
70	35, 37, 25	sub32d 11679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
71	35, 25, 37	subsub4d 11678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
72	70, 71	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
73	72	eqeq2d 2751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
74	69, 73	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
75		eqcom 2747	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
76	74, 75	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
77	67, 76	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
78		colinearalglem1 28939	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
79		3anrot 1100	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ))
80		3anrot 1100	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ))
81		colinearalglem1 28939	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
82	79, 80, 81	syl2anb 597	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
83	77, 78, 82	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
84	4, 7, 10, 13, 15, 17, 83	syl33anc 1385	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
85	84	2ralbidva 3225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ∀wral 3067 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 − cmin 11520 ...cfz 13567 𝔼cee 28921

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-id 5593 df-po 5607 df-so 5608 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-er 8763 df-map 8886 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-ltxr 11329 df-sub 11522 df-neg 11523 df-ee 28924

This theorem is referenced by: colinearalglem3 28941 colinearalg 28943

W3C validator