colinearalglem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > colinearalglem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem colinearalglem2 27178

Description: Lemma for colinearalg 27181. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
colinearalglem2	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑗 𝐵,𝑖,𝑗 𝐶,𝑖,𝑗 𝑖,𝑁,𝑗

**Proof of Theorem colinearalglem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
3		fveecn 27173	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
5		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		fveecn 27173	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
7	5, 2, 6	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
8		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		fveecn 27173	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
10	8, 2, 9	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
12		fveecn 27173	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
14		fveecn 27173	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
15	5, 11, 14	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
16		fveecn 27173	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
17	8, 11, 16	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
18		simp1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
19		simp3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)
20		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
22		simp2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
23		simp1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)
24		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 10925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ)
27		mulcl 10886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
28	22, 19, 27	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ)
29	26, 28	subcld 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ∈ ℂ)
30		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ)
31		mulcl 10886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
32	18, 30, 31	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
33		simp3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
34		mulcl 10886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
35	33, 23, 34	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) ∈ ℂ)
36		mulcl 10886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
37	33, 30, 36	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)
38	35, 37	subcld 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
39	29, 32, 38	subadd2d 11281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)))))
40		eqcom 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
41	39, 40	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
42	35, 32, 37	addsubd 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
43	35, 32	addcomd 11107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))
44	43	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
45	42, 44	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
46	45	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
47	41, 46	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
48	26, 28, 32	subsub4d 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
49	28, 32	addcld 10925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
50	21, 49, 25	subsub3d 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
51	28, 25, 32	subsub3d 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))
52	51	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
53	52	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
54	25, 32	subcld 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ∈ ℂ)
55	21, 28, 54	subsubd 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
56	53, 55	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
57	48, 50, 56	3eqtr2d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
58	21, 28	subcld 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) ∈ ℂ)
59	58, 25, 32	addsub12d 11285	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) + (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
60	21, 28, 32	subsub4d 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
61	60	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
62	57, 59, 61	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
63	62	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) − ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
64	32, 35	addcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ)
65		subeqrev 11327	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) ∈ ℂ) ∧ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
66	26, 28, 64, 37, 65	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗))) = ((((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
67	47, 63, 66	3bitr3rd 309	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
68	21, 49	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) ∈ ℂ)
69	25, 68, 38	addrsub 11322	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))))
70	35, 37, 25	sub32d 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))
71	35, 25, 37	subsub4d 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
72	70, 71	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
73	72	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = ((((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) − ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
74	69, 73	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
75		eqcom 2745	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))))
76	74, 75	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
77	67, 76	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
78		colinearalglem1 27177	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)))) = (((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) − (((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗))))))
79		3anrot 1098	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ))
80		3anrot 1098	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ))
81		colinearalglem1 27177	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
82	79, 80, 81	syl2anb 597	. . . 4 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐴‘𝑗)) + ((𝐶‘𝑖) · (𝐵‘𝑗)))) = (((𝐴‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) − (((𝐵‘𝑖) · (𝐶‘𝑗)) + ((𝐴‘𝑖) · (𝐵‘𝑗))))))
83	77, 78, 82	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ ((((𝐴‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
84	4, 7, 10, 13, 15, 17, 83	syl33anc 1383	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ (((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))
85	84	2ralbidva 3121	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝐴‘𝑖)) · ((𝐶‘𝑗) − (𝐴‘𝑗))) = (((𝐵‘𝑗) − (𝐴‘𝑗)) · ((𝐶‘𝑖) − (𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) · ((𝐴‘𝑗) − (𝐵‘𝑗))) = (((𝐶‘𝑗) − (𝐵‘𝑗)) · ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ∀wral 3063 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 − cmin 11135 ...cfz 13168 𝔼cee 27159

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-op 4565 df-uni 4837 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-id 5480 df-po 5494 df-so 5495 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-er 8456 df-map 8575 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-ltxr 10945 df-sub 11137 df-neg 11138 df-ee 27162

This theorem is referenced by: colinearalglem3 27179 colinearalg 27181

W3C validator