MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colinearalglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinearalglem2 26704
Description: Lemma for colinearalg 26707. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗

Proof of Theorem colinearalglem2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 simpl 486 . . . 4 ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
3 fveecn 26699 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2an 598 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
5 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6 fveecn 26699 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
75, 2, 6syl2an 598 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
8 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 fveecn 26699 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
108, 2, 9syl2an 598 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
11 simpr 488 . . . 4 ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
12 fveecn 26699 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
131, 11, 12syl2an 598 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
14 fveecn 26699 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
155, 11, 14syl2an 598 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
16 fveecn 26699 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
178, 11, 16syl2an 598 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
18 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
19 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
20 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
22 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
23 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
24 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
2522, 23, 24syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
2621, 25addcld 10653 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) ∈ ℂ)
27 mulcl 10614 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
2822, 19, 27syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
2926, 28subcld 10990 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
30 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
31 mulcl 10614 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
3218, 30, 31syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
33 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
34 mulcl 10614 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
3533, 23, 34syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
36 mulcl 10614 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
3733, 30, 36syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
3835, 37subcld 10990 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
3929, 32, 38subadd2d 11009 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)))))
40 eqcom 2808 . . . . . . . 8 (((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) ↔ ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))
4139, 40syl6bb 290 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
4235, 32, 37addsubd 11011 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))
4335, 32addcomd 10835 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))))
4443oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))
4542, 44eqtr3d 2838 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))
4645eqeq2d 2812 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
4741, 46bitrd 282 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
4826, 28, 32subsub4d 11021 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
4928, 32addcld 10653 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
5021, 49, 25subsub3d 11020 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5128, 25, 32subsub3d 11020 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))))
5251eqcomd 2807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5352oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
5425, 32subcld 10990 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
5521, 28, 54subsubd 11018 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5653, 55eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5748, 50, 563eqtr2d 2842 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5821, 28subcld 10990 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
5958, 25, 32addsub12d 11013 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
6021, 28, 32subsub4d 11021 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
6160oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
6257, 59, 613eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
6362eqeq1d 2803 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
6432, 35addcld 10653 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) ∈ ℂ)
65 subeqrev 11055 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ) ∧ ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))))))
6626, 28, 64, 37, 65syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))))))
6747, 63, 663bitr3rd 313 . . . . 5 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
6821, 49subcld 10990 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) ∈ ℂ)
6925, 68, 38addrsub 11050 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))))
7035, 37, 25sub32d 11022 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))
7135, 25, 37subsub4d 11021 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
7270, 71eqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
7372eqeq2d 2812 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) ↔ (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))))
7469, 73bitrd 282 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))))
75 eqcom 2808 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
7674, 75syl6bb 290 . . . . 5 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
7767, 76bitrd 282 . . . 4 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
78 colinearalglem1 26703 . . . 4 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))))))
79 3anrot 1097 . . . . 5 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℂ))
80 3anrot 1097 . . . . 5 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ))
81 colinearalglem1 26703 . . . . 5 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
8279, 80, 81syl2anb 600 . . . 4 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
8377, 78, 823bitr4d 314 . . 3 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))))
844, 7, 10, 13, 15, 17, 83syl33anc 1382 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))))
85842ralbidva 3166 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863  ...cfz 12889  𝔼cee 26685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866  df-ee 26688
This theorem is referenced by:  colinearalglem3  26705  colinearalg  26707
  Copyright terms: Public domain W3C validator