Theorem adds4d 27877

Description: Rearrangement of four terms in a surreal sum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
adds4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
adds4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
adds4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
adds4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
adds4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s (𝐶 +s 𝐷)) = ((𝐴 +s 𝐶) +s (𝐵 +s 𝐷)))

Proof of Theorem adds4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adds4d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		adds4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		adds4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4	1, 2, 3	adds32d 27875	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵))
5	4	oveq1d 7419	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) +s 𝐷) = (((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵) +s 𝐷))
6	1, 2	addscld 27848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
7		adds4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
8	6, 3, 7	addsassd 27874	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) +s 𝐷) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (𝐶 +s 𝐷)))
9	1, 3	addscld 27848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐶) ∈ No )
10	9, 2, 7	addsassd 27874	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵) +s 𝐷) = ((𝐴 +s 𝐶) +s (𝐵 +s 𝐷)))
11	5, 8, 10	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s (𝐶 +s 𝐷)) = ((𝐴 +s 𝐶) +s (𝐵 +s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404   No csur 27524   +_s cadds 27827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-nadd 8664  df-no 27527  df-slt 27528  df-bday 27529  df-sle 27629  df-sslt 27665  df-scut 27667  df-0s 27708  df-made 27725  df-old 27726  df-left 27728  df-right 27729  df-norec2 27817  df-adds 27828

This theorem is referenced by:  adds42d  27878  negsdi  27913