Theorem adds4d 27925

Description: Rearrangement of four terms in a surreal sum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
adds4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
adds4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
adds4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
adds4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
adds4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s (𝐶 +s 𝐷)) = ((𝐴 +s 𝐶) +s (𝐵 +s 𝐷)))

Proof of Theorem adds4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adds4d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		adds4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		adds4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4	1, 2, 3	adds32d 27923	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵))
5	4	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) +s 𝐷) = (((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵) +s 𝐷))
6	1, 2	addscld 27896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
7		adds4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
8	6, 3, 7	addsassd 27922	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) +s 𝐷) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (𝐶 +s 𝐷)))
9	1, 3	addscld 27896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐶) ∈ No )
10	9, 2, 7	addsassd 27922	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵) +s 𝐷) = ((𝐴 +s 𝐶) +s (𝐵 +s 𝐷)))
11	5, 8, 10	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s (𝐶 +s 𝐷)) = ((𝐴 +s 𝐶) +s (𝐵 +s 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420   No csur 27572   +_s cadds 27875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-1o 8486  df-2o 8487  df-nadd 8686  df-no 27575  df-slt 27576  df-bday 27577  df-sle 27677  df-sslt 27713  df-scut 27715  df-0s 27756  df-made 27773  df-old 27774  df-left 27776  df-right 27777  df-norec2 27865  df-adds 27876

This theorem is referenced by:  adds42d  27926  negsdi  27961