Theorem negsdi 27875

Description: Distribution of surreal negative over addition. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negsdi	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘𝐵)))

Proof of Theorem negsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addscl 27811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
2	1	negsidd 27867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 +s 𝐵))) = 0s )
3		negsid 27866	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) = 0s )
4		negsid 27866	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -us ‘𝐵)) = 0s )
5	3, 4	oveqan12d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -us ‘𝐵))) = ( 0s +s 0s ))
6		0sno 27672	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
7		addslid 27798	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → ( 0s +s 0s ) = 0s )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( 0s +s 0s ) = 0s
9	5, 8	eqtr2di 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 0s = ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -us ‘𝐵))))
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐴 ∈ No )
11	10	negscld 27862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
13	12	negscld 27862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
14	10, 11, 12, 13	adds4d 27839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 +s ( -us ‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -us ‘𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘𝐵))))
15	2, 9, 14	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 +s 𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘𝐵))))
16	1	negscld 27862	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘(𝐴 +s 𝐵)) ∈ No )
17		negscl 27861	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
18		negscl 27861	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
19		addscl 27811	. . . 4 ⊢ ((( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ ( -us ‘𝐵) ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘𝐵)) ∈ No )
20	17, 18, 19	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘𝐵)) ∈ No )
21	16, 20, 1	addscan1d 27830	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (((𝐴 +s 𝐵) +s ( -us ‘(𝐴 +s 𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘𝐵))) ↔ ( -us ‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘𝐵))))
22	15, 21	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -us ‘𝐴) +s ( -us ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   No csur 27486   0_s c0s 27668   +_s cadds 27789   -u_s cnegs 27845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-1o 8472  df-2o 8473  df-nadd 8671  df-no 27489  df-slt 27490  df-bday 27491  df-sle 27591  df-sslt 27627  df-scut 27629  df-0s 27670  df-made 27687  df-old 27688  df-left 27690  df-right 27691  df-norec 27768  df-norec2 27779  df-adds 27790  df-negs 27847

This theorem is referenced by:  negsubsdi2d  27901  subsubs4d  27914  renegscl  28106  readdscl  28107