Theorem negsdi 28436

Description: Distribution of surreal negative over addition. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negsdi	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵)))

Proof of Theorem negsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addscl 28367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No)
2	1	negsidd 28428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 +s 𝐵))) = 0s )
3		negsid 28427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -s‘𝐴)) = 0s )
4		negsid 28427	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -s‘𝐵)) = 0s )
5	3, 4	oveqan12d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -s‘𝐵))) = ( 0s +s 0s ))
6		0no 28195	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
7		addslid 28354	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → ( 0s +s 0s ) = 0s )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( 0s +s 0s ) = 0s
9	5, 8	eqtr2di 2813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 0s = ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -s‘𝐵))))
10		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 𝐴 ∈ No)
11	10	negscld 28423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘𝐴) ∈ No)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 𝐵 ∈ No)
13	12	negscld 28423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘𝐵) ∈ No)
14	10, 11, 12, 13	adds4d 28395	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -s‘𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵))))
15	2, 9, 14	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 +s 𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵))))
16	1	negscld 28423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘(𝐴 +s 𝐵)) ∈ No)
17		negscl 28422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)
18		negscl 28422	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -s‘𝐵) ∈ No)
19		addscl 28367	. . . 4 ⊢ ((( -s‘𝐴) ∈ No ∧ ( -s‘𝐵) ∈ No) → (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵)) ∈ No)
20	17, 18, 19	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵)) ∈ No)
21	16, 20, 1	addscan1d 28386	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (((𝐴 +s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 +s 𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵))) ↔ ( -s‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵))))
22	15, 21	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 27997   0_s c0s 28191   +_s cadds 28345   -_scnegs 28405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-1o 8476  df-2o 8477  df-nadd 8675  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407

This theorem is used by:  negsubsdi2d  28466  subsubs4d  28480  zcuts  28793  renegscl  28884  readdscl  28885