Theorem negsdi 28448

Description: Distribution of surreal negative over addition. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negsdi	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵)))

Proof of Theorem negsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addscl 28379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No)
2	1	negsidd 28440	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 +s 𝐵))) = 0s )
3		negsid 28439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s ( -s‘𝐴)) = 0s )
4		negsid 28439	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → (𝐵 +s ( -s‘𝐵)) = 0s )
5	3, 4	oveqan12d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -s‘𝐵))) = ( 0s +s 0s ))
6		0no 28207	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
7		addslid 28366	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → ( 0s +s 0s ) = 0s )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( 0s +s 0s ) = 0s
9	5, 8	eqtr2di 2815	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 0s = ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -s‘𝐵))))
10		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 𝐴 ∈ No)
11	10	negscld 28435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘𝐴) ∈ No)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → 𝐵 ∈ No)
13	12	negscld 28435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘𝐵) ∈ No)
14	10, 11, 12, 13	adds4d 28407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 +s ( -s‘𝐴)) +s (𝐵 +s ( -s‘𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵))))
15	2, 9, 14	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((𝐴 +s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 +s 𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵))))
16	1	negscld 28435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘(𝐴 +s 𝐵)) ∈ No)
17		negscl 28434	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘𝐴) ∈ No)
18		negscl 28434	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -s‘𝐵) ∈ No)
19		addscl 28379	. . . 4 ⊢ ((( -s‘𝐴) ∈ No ∧ ( -s‘𝐵) ∈ No) → (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵)) ∈ No)
20	17, 18, 19	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵)) ∈ No)
21	16, 20, 1	addscan1d 28398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (((𝐴 +s 𝐵) +s ( -s‘(𝐴 +s 𝐵))) = ((𝐴 +s 𝐵) +s (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵))) ↔ ( -s‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵))))
22	15, 21	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ( -s‘(𝐴 +s 𝐵)) = (( -s‘𝐴) +s ( -s‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Nocsur 28009   0_s c0s 28203   +_s cadds 28357   -_scnegs 28417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8686  df-no 28012  df-lts 28013  df-bday 28014  df-les 28114  df-slts 28156  df-cuts 28158  df-0s 28205  df-made 28225  df-old 28226  df-left 28228  df-right 28229  df-norec 28336  df-norec2 28347  df-adds 28358  df-negs 28419

This theorem is used by:  negsubsdi2d  28478  subsubs4d  28492  zcuts  28805  renegscl  28896  readdscl  28897