Theorem addsassd 27942

Description: Surreal addition is associative. Part of theorem 3 of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 22-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))

Proof of Theorem addsassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		addsassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		addsass 27941	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341   No csur 27571   +_s cadds 27895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-ot 4583  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-1o 8380  df-2o 8381  df-nadd 8576  df-no 27574  df-slt 27575  df-bday 27576  df-sle 27677  df-sslt 27714  df-scut 27716  df-0s 27761  df-made 27781  df-old 27782  df-left 27784  df-right 27785  df-norec2 27885  df-adds 27896

This theorem is referenced by:  adds32d  27943  adds12d  27944  adds4d  27945  addsubsassd  28014  subsubs4d  28027  addsdilem3  28085  mulsasslem3  28097  n0addscl  28265  eucliddivs  28294  n0seo  28337  expadds  28351  addhalfcut  28372  pw2cutp1  28374  pw2cut2  28375  zs12bday  28387  readdscl  28394