Theorem addsassd 27998

Description: Surreal addition is associative. Part of theorem 3 of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 22-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))

Proof of Theorem addsassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		addsassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		addsass 27997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   No csur 27603   +_s cadds 27951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-1o 8405  df-2o 8406  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec2 27941  df-adds 27952

This theorem is referenced by:  adds32d  27999  adds12d  28000  adds4d  28001  addsubsassd  28073  subsubs4d  28086  addsdilem3  28145  mulsasslem3  28157  n0addscl  28336  eucliddivs  28368  n0seo  28413  expadds  28427  addhalfcut  28451  pw2cutp1  28453  pw2cut2  28454  bdaypw2n0bndlem  28455  bdaypw2bnd  28457  bdayfinbndlem1  28459  readdscl  28491