Theorem addsassd 27955

Description: Surreal addition is associative. Part of theorem 3 of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 22-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))

Proof of Theorem addsassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		addsassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		addsass 27954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7352   No csur 27584   +_s cadds 27908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-1o 8391  df-2o 8392  df-nadd 8587  df-no 27587  df-slt 27588  df-bday 27589  df-sle 27690  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27774  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec2 27898  df-adds 27909

This theorem is referenced by:  adds32d  27956  adds12d  27957  adds4d  27958  addsubsassd  28027  subsubs4d  28040  addsdilem3  28098  mulsasslem3  28110  n0addscl  28278  eucliddivs  28307  n0seo  28350  expadds  28364  addhalfcut  28385  pw2cutp1  28387  pw2cut2  28388  zs12bday  28400  readdscl  28407