Theorem adds32d 27490

Description: Commutative/associative law that swaps the last two terms in a triple sum. (Contributed by Scott Fenton, 22-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
adds32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵))

Proof of Theorem adds32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsassd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		addsassd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	addscomd 27451	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
4	3	oveq2d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)) = (𝐴 +s (𝐶 +s 𝐵)))
5		addsassd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6	5, 1, 2	addsassd 27489	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))
7	5, 2, 1	addsassd 27489	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵) = (𝐴 +s (𝐶 +s 𝐵)))
8	4, 6, 7	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409   No csur 27143   +_s cadds 27443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-2o 8467  df-nadd 8665  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sle 27248  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-0s 27325  df-made 27342  df-old 27343  df-left 27345  df-right 27346  df-norec2 27433  df-adds 27444

This theorem is referenced by:  adds4d  27492  subadds  27538  addsubsd  27549  sltsubsubbd  27550