Theorem adds32d 27943

Description: Commutative/associative law that swaps the last two terms in a triple sum. (Contributed by Scott Fenton, 22-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsassd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsassd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
adds32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵))

Proof of Theorem adds32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsassd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		addsassd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	addscomd 27903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +s 𝐶) = (𝐶 +s 𝐵))
4	3	oveq2d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)) = (𝐴 +s (𝐶 +s 𝐵)))
5		addsassd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
6	5, 1, 2	addsassd 27942	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 +s 𝐶)))
7	5, 2, 1	addsassd 27942	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵) = (𝐴 +s (𝐶 +s 𝐵)))
8	4, 6, 7	3eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) +s 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐶) +s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7399   No csur 27587   +_s cadds 27895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-ot 4608  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-1o 8474  df-2o 8475  df-nadd 8672  df-no 27590  df-slt 27591  df-bday 27592  df-sle 27693  df-sslt 27729  df-scut 27731  df-0s 27772  df-made 27789  df-old 27790  df-left 27792  df-right 27793  df-norec2 27885  df-adds 27896

This theorem is referenced by:  adds4d  27945  subadds  28003  addsubsd  28015  sltsubsubbd  28016  peano5uzs  28293  readdscl  28334