Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 766 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β πΎ β HL) |
2 | | simpr1l 1231 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
3 | | simpr2l 1233 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
4 | | simpr31 1264 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β π΄) |
5 | | simpr32 1265 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
6 | | simpr33 1266 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
7 | | cdlemd1.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemd1.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemd1.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemd1.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | 7, 8, 9, 10 | 2llnma2 38255 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = π
) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11 | syl132anc 1389 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = π
) |
13 | | hllat 37828 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
14 | 13 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β πΎ β Lat) |
15 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
16 | 15, 10 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
17 | 4, 16 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π
β (BaseβπΎ)) |
18 | 15, 10 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 2, 18 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 15, 8 | latjcom 18337 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
21 | 14, 17, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
22 | | simpl 484 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
23 | | simpr1 1195 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
24 | | cdlemd1.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
25 | 15, 7, 8, 9, 10, 24 | cdlemc1 38657 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β (BaseβπΎ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) = (π β¨ π
)) |
26 | 22, 17, 23, 25 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) = (π β¨ π
)) |
27 | 21, 26 | eqtr4d 2780 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π
β¨ π) = (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
28 | 15, 10 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
29 | 3, 28 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 15, 8 | latjcom 18337 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
31 | 14, 17, 29, 30 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
32 | | simpr2 1196 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
33 | 15, 7, 8, 9, 10, 24 | cdlemc1 38657 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π
β (BaseβπΎ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) = (π β¨ π
)) |
34 | 22, 17, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) = (π β¨ π
)) |
35 | 31, 34 | eqtr4d 2780 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β (π
β¨ π) = (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
36 | 27, 35 | oveq12d 7376 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = ((π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
37 | 12, 36 | eqtr3d 2779 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π
= ((π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |