Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme39a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme39a 38099
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on 𝑃 𝑄 line. TODO: FIX COMMENT. 𝐸, 𝑌, 𝐺, 𝑍 serve as f(t), f(u), ft(𝑅), ft(𝑆). Put hypotheses of cdleme38n 38098 in convention of cdleme32sn1awN 38066. TODO see if this hypothesis conversion would be better if done earlier. (Contributed by NM, 15-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme39.l = (le‘𝐾)
cdleme39.j = (join‘𝐾)
cdleme39.m = (meet‘𝐾)
cdleme39.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme39.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme39.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme39.e 𝐸 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdleme39.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑅 𝑡) 𝑊)))
cdleme39a.v 𝑉 = ((𝑡 𝐸) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme39a ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝐺 = ((𝑅 𝑉) (𝐸 ((𝑡 𝑅) 𝑊))))

Proof of Theorem cdleme39a
StepHypRef Expression
1 cdleme39.g . 2 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑅 𝑡) 𝑊)))
2 simp11 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝑃𝐴)
4 simp13 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝑄𝐴)
5 simp2 1138 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
6 simp3l 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝑅 (𝑃 𝑄))
7 cdleme39.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
8 cdleme39.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 cdleme39.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
10 cdleme39.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdleme39.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdleme39.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
137, 8, 9, 10, 11, 12cdleme4 37872 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑈))
142, 3, 4, 5, 6, 13syl131anc 1384 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑈))
15 cdleme39a.v . . . . . 6 𝑉 = ((𝑡 𝐸) 𝑊)
16 simp3r 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))
17 cdleme39.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 17cdleme2 37862 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → ((𝑡 𝐸) 𝑊) = 𝑈)
192, 3, 4, 16, 18syl13anc 1373 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → ((𝑡 𝐸) 𝑊) = 𝑈)
2015, 19syl5eq 2785 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝑉 = 𝑈)
2120oveq2d 7187 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → (𝑅 𝑉) = (𝑅 𝑈))
2214, 21eqtr4d 2776 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → (𝑃 𝑄) = (𝑅 𝑉))
23 simp11l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
24 simp2l 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝑅𝐴)
25 simp3rl 1247 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝑡𝐴)
268, 10hlatjcom 37002 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑡𝐴) → (𝑅 𝑡) = (𝑡 𝑅))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → (𝑅 𝑡) = (𝑡 𝑅))
2827oveq1d 7186 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → ((𝑅 𝑡) 𝑊) = ((𝑡 𝑅) 𝑊))
2928oveq2d 7187 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → (𝐸 ((𝑅 𝑡) 𝑊)) = (𝐸 ((𝑡 𝑅) 𝑊)))
3022, 29oveq12d 7189 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑅 𝑡) 𝑊))) = ((𝑅 𝑉) (𝐸 ((𝑡 𝑅) 𝑊))))
311, 30syl5eq 2785 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊))) → 𝐺 = ((𝑅 𝑉) (𝐸 ((𝑡 𝑅) 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113   class class class wbr 5031  cfv 6340  (class class class)co 7171  lecple 16676  joincjn 17671  meetcmee 17672  Atomscatm 36897  HLchlt 36984  LHypclh 37618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-proset 17655  df-poset 17673  df-plt 17685  df-lub 17701  df-glb 17702  df-join 17703  df-meet 17704  df-p0 17766  df-p1 17767  df-lat 17773  df-clat 17835  df-oposet 36810  df-ol 36812  df-oml 36813  df-covers 36900  df-ats 36901  df-atl 36932  df-cvlat 36956  df-hlat 36985  df-psubsp 37137  df-pmap 37138  df-padd 37430  df-lhyp 37622
This theorem is referenced by:  cdleme39n  38100
  Copyright terms: Public domain W3C validator