Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme1.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme1.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme1.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme1.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme1.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme1.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme1.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | cdleme1 38693 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ π)) |
9 | 8 | oveq1d 7373 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β¨ πΉ) β§ π) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
10 | | simpll 766 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β HL) |
11 | | simpr3l 1235 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β π΄) |
12 | | hllat 37828 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
13 | 12 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β Lat) |
14 | | simpr1 1195 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
15 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
16 | 15, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
17 | 14, 16 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
18 | | simpr2 1196 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
19 | 15, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
21 | 15, 2 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 13, 17, 20, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | 15, 5 | lhpbase 38464 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 23 | ad2antlr 726 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 15, 3 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 13, 22, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 6, 26 | eqeltrid 2842 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
28 | 15, 1, 3 | latmle2 18355 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
29 | 13, 22, 24, 28 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
30 | 6, 29 | eqbrtrid 5141 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β€ π) |
31 | 15, 1, 2, 3, 4 | atmod4i2 38333 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ π) β ((π
β§ π) β¨ π) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
32 | 10, 11, 27, 24, 30, 31 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β§ π) β¨ π) = ((π
β¨ π) β§ π)) |
33 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
34 | 1, 3, 33, 4, 5 | lhpmat 38496 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
35 | 34 | 3ad2antr3 1191 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
36 | 35 | oveq1d 7373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β§ π) β¨ π) = ((0.βπΎ) β¨ π)) |
37 | | hlol 37826 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
38 | 37 | ad2antrr 725 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β OL) |
39 | 15, 2, 33 | olj02 37691 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ π β (BaseβπΎ)) β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
40 | 38, 27, 39 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((0.βπΎ) β¨ π) = π) |
41 | 36, 40 | eqtrd 2777 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β§ π) β¨ π) = π) |
42 | 9, 32, 41 | 3eqtr2d 2783 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β¨ πΉ) β§ π) = π) |