Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme43fsv1sn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme43fsv1sn 37662
 Description: Value of ⦋𝑅 / 𝑠⦌𝑁 when 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 30-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefs32.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemefs32.l = (le‘𝐾)
cdlemefs32.j = (join‘𝐾)
cdlemefs32.m = (meet‘𝐾)
cdlemefs32.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemefs32.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemefs32.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdlemefs32.d 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdlemefs32.e 𝐸 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdlemefs32.i 𝐼 = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸))
cdlemefs32.n 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶)
cdleme43fs.y 𝑌 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme43fs.z 𝑍 = ((𝑃 𝑄) (𝑌 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme43fsv1sn ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 / 𝑠𝑁 = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑦,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑦   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑡,𝑦   ,𝑠,𝑡,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑦   ,𝑠,𝑡,𝑦   ,𝑠,𝑡,𝑦   𝑃,𝑠,𝑡,𝑦   𝑄,𝑠,𝑡,𝑦   𝑅,𝑠,𝑡,𝑦   𝑡,𝑈,𝑦   𝑊,𝑠,𝑡,𝑦   𝑦,𝑌   𝐷,𝑠   𝑡,𝑆,𝑦   𝑡,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦,𝑡,𝑠)   𝐷(𝑡)   𝑆(𝑠)   𝑈(𝑠)   𝐸(𝑡,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑌(𝑡,𝑠)   𝑍(𝑦,𝑠)

Proof of Theorem cdleme43fsv1sn
StepHypRef Expression
1 cdlemefs32.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemefs32.l . 2 = (le‘𝐾)
3 cdlemefs32.j . 2 = (join‘𝐾)
4 cdlemefs32.m . 2 = (meet‘𝐾)
5 cdlemefs32.a . 2 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemefs32.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemefs32.u . 2 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
8 cdlemefs32.d . 2 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
9 cdlemefs32.e . 2 𝐸 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
10 cdlemefs32.i . 2 𝐼 = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸))
11 cdlemefs32.n . 2 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐶)
12 cdleme43fs.y . 2 𝑌 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
13 cdleme43fs.z . 2 𝑍 = ((𝑃 𝑄) (𝑌 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
14 eqid 2824 . 2 ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑅 𝑡) 𝑊))) = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑅 𝑡) 𝑊)))
15 eqid 2824 . 2 (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑅 𝑡) 𝑊))))) = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑅 𝑡) 𝑊)))))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdleme43fsv1snlem 37661 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 / 𝑠𝑁 = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ⦋csb 3866  ifcif 4450   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  ℩crio 7106  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  meetcmee 17555  Atomscatm 36504  HLchlt 36591  LHypclh 37225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36194 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-undef 7935  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229 This theorem is referenced by:  cdlemefs31fv1  37665
 Copyright terms: Public domain W3C validator