Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme43fsv1snlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme43fsv1snlem 38912
Description: Value of ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ when 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 30-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefs32.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefs32.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefs32.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefs32.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefs32.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefs32.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefs32.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemefs32.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs32.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs32.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
cdlemefs32.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
cdleme43fs.y π‘Œ = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme43fs.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘Œ ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme43fsa1.v 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme43fsa1.x 𝑋 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝑉))
Assertion
Ref Expression
cdleme43fsv1snlem ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝑦,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,𝐷   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑑,𝑦   ∨ ,𝑠,𝑑,𝑦   𝐾,𝑠,𝑑,𝑦   ≀ ,𝑠,𝑑,𝑦   ∧ ,𝑠,𝑑,𝑦   𝑃,𝑠,𝑑,𝑦   𝑄,𝑠,𝑑,𝑦   𝑅,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑,π‘ˆ,𝑦   π‘Š,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,π‘Œ   𝐷,𝑠   𝑑,𝑆,𝑦   𝑑,𝑍   𝑦,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦,𝑑,𝑠)   𝐷(𝑑)   𝑆(𝑠)   π‘ˆ(𝑠)   𝐸(𝑑,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑉(𝑑,𝑠)   𝑋(𝑦,𝑑,𝑠)   π‘Œ(𝑑,𝑠)   𝑍(𝑦,𝑠)

Proof of Theorem cdleme43fsv1snlem
StepHypRef Expression
1 simp22l 1293 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
2 simp3l 1202 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3 cdlemefs32.e . . . 4 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
4 cdlemefs32.i . . . 4 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
5 cdlemefs32.n . . . 4 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
6 cdleme43fsa1.v . . . 4 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
7 cdleme43fsa1.x . . . 4 𝑋 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝑉))
83, 4, 5, 6, 7cdleme31sn1c 38880 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ = 𝑋)
91, 2, 8syl2anc 585 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ = 𝑋)
10 cdlemefs32.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1110fvexi 6861 . . 3 𝐡 ∈ V
12 nfv 1918 . . . 4 Ⅎ𝑑(((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
13 nfra1 3270 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝑉)
14 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐡
1513, 14nfriota 7331 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝑉))
167, 15nfcxfr 2906 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑋
1716nfeq1 2923 . . . . 5 Ⅎ𝑑 𝑋 = 𝑍
1817a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Ⅎ𝑑 𝑋 = 𝑍)
197a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑋 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝑉)))
20 eqeq1 2741 . . . . 5 (𝑉 = 𝑋 β†’ (𝑉 = 𝑍 ↔ 𝑋 = 𝑍))
2120adantl 483 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝑉 = 𝑋) β†’ (𝑉 = 𝑍 ↔ 𝑋 = 𝑍))
22 simpl1 1192 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
23 simpl22 1253 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
24 simprl 770 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
25 simprrl 780 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)
2624, 25jca 513 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))
27 simpl23 1254 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
28 simpl21 1252 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
29 simprrr 781 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
30 simpl3r 1230 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
31 simpl3l 1229 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3229, 30, 313jca 1129 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
33 cdlemefs32.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
34 cdlemefs32.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
35 cdlemefs32.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
36 cdlemefs32.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
37 cdlemefs32.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
38 cdlemefs32.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
39 cdlemefs32.d . . . . . . 7 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
40 cdleme43fs.y . . . . . . 7 π‘Œ = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
41 eqid 2737 . . . . . . 7 ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š) = ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)
42 eqid 2737 . . . . . . 7 ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
43 cdleme43fs.z . . . . . . 7 𝑍 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (π‘Œ ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
4433, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 6, 43cdleme21k 38830 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑉 = 𝑍)
4522, 23, 26, 27, 28, 32, 44syl132anc 1389 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑉 = 𝑍)
4645ex 414 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑉 = 𝑍))
47 simp1 1137 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
48 simp22r 1294 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
49 simp21 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
5010, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 6, 7cdleme25cl 38849 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5147, 1, 48, 49, 2, 50syl122anc 1380 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
52 simp11 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
53 simp12 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
54 simp13 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
5533, 34, 36, 37cdlemb2 38533 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5652, 53, 54, 49, 55syl121anc 1376 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5712, 18, 19, 21, 46, 51, 56riotasv3d 37451 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ 𝑋 = 𝑍)
5811, 57mpan2 690 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑋 = 𝑍)
599, 58eqtrd 2777 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448  β¦‹csb 3860  ifcif 4491   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  β„©crio 7317  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-undef 8209  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480
This theorem is referenced by:  cdleme43fsv1sn  38913
  Copyright terms: Public domain W3C validator