Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp22l 1293 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
2 | | simp3l 1202 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
3 | | cdlemefs32.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
4 | | cdlemefs32.i |
. . . 4
β’ πΌ = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)) |
5 | | cdlemefs32.n |
. . . 4
β’ π = if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) |
6 | | cdleme43fsa1.v |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π
β¨ π‘) β§ π))) |
7 | | cdleme43fsa1.x |
. . . 4
β’ π = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = π)) |
8 | 3, 4, 5, 6, 7 | cdleme31sn1c 38880 |
. . 3
β’ ((π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π β¦π = π) |
9 | 1, 2, 8 | syl2anc 585 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β β¦π
/ π β¦π = π) |
10 | | cdlemefs32.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
11 | 10 | fvexi 6861 |
. . 3
β’ π΅ β V |
12 | | nfv 1918 |
. . . 4
β’
β²π‘(((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
13 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = π) |
14 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘π΅ |
15 | 13, 14 | nfriota 7331 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘(β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = π)) |
16 | 7, 15 | nfcxfr 2906 |
. . . . . 6
β’
β²π‘π |
17 | 16 | nfeq1 2923 |
. . . . 5
β’
β²π‘ π = π |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β β²π‘ π = π) |
19 | 7 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = π))) |
20 | | eqeq1 2741 |
. . . . 5
β’ (π = π β (π = π β π = π)) |
21 | 20 | adantl 483 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π = π) β (π = π β π = π)) |
22 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
23 | | simpl22 1253 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
24 | | simprl 770 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π‘ β π΄) |
25 | | simprrl 780 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π‘ β€ π) |
26 | 24, 25 | jca 513 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π)) |
27 | | simpl23 1254 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
28 | | simpl21 1252 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
29 | | simprrr 781 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) |
30 | | simpl3r 1230 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
31 | | simpl3l 1229 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π
β€ (π β¨ π)) |
32 | 29, 30, 31 | 3jca 1129 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β (Β¬ π‘ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) |
33 | | cdlemefs32.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
34 | | cdlemefs32.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
35 | | cdlemefs32.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
36 | | cdlemefs32.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
37 | | cdlemefs32.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
38 | | cdlemefs32.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
39 | | cdlemefs32.d |
. . . . . . 7
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
40 | | cdleme43fs.y |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
41 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’ ((π
β¨ π‘) β§ π) = ((π
β¨ π‘) β§ π) |
42 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’ ((π
β¨ π) β§ π) = ((π
β¨ π) β§ π) |
43 | | cdleme43fs.z |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
44 | 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 6, 43 | cdleme21k 38830 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π‘ β π΄ β§ Β¬ π‘ β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π‘ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)))) β π = π) |
45 | 22, 23, 26, 27, 28, 32, 44 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ (π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)))) β π = π) |
46 | 45 | ex 414 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π‘ β π΄ β§ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) β π = π)) |
47 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
48 | | simp22r 1294 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ π) |
49 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
50 | 10, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 6, 7 | cdleme25cl 38849 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΅) |
51 | 47, 1, 48, 49, 2, 50 | syl122anc 1380 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΅) |
52 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
53 | | simp12 1205 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
54 | | simp13 1206 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
55 | 33, 34, 36, 37 | cdlemb2 38533 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β βπ‘ β π΄ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) |
56 | 52, 53, 54, 49, 55 | syl121anc 1376 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β βπ‘ β π΄ (Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π))) |
57 | 12, 18, 19, 21, 46, 51, 56 | riotasv3d 37451 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ π΅ β V) β π = π) |
58 | 11, 57 | mpan2 690 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π = π) |
59 | 9, 58 | eqtrd 2777 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β β¦π
/ π β¦π = π) |