Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemef46.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemef46.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemef46.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemef46.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemef46.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemef46.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemef46.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
8 | | cdlemef46.d |
. . . 4
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
9 | | cdlemefs46.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
10 | | cdlemef46.f |
. . . 4
β’ πΉ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) β¨ (π₯ β§ π)))), π₯)) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdleme48fv 39358 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΉβπ) = ((πΉβπ) β¨ (π β§ π))) |
12 | 11 | oveq1d 7420 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((πΉβπ) β§ π) = (((πΉβπ) β¨ (π β§ π)) β§ π)) |
13 | | simp11 1203 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
14 | | simp1 1136 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
15 | | simp3l 1201 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdleme46fvaw 39360 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
17 | 14, 15, 16 | syl2anc 584 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
18 | | simp2rl 1242 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
19 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | lhpelim 38896 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π) β§ π β π΅) β (((πΉβπ) β¨ (π β§ π)) β§ π) = (π β§ π)) |
20 | 13, 17, 18, 19 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (((πΉβπ) β¨ (π β§ π)) β§ π) = (π β§ π)) |
21 | 12, 20 | eqtrd 2772 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((πΉβπ) β§ π) = (π β§ π)) |