Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpelim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpelim 37040
Description: Eliminate an atom not under a lattice hyperplane. TODO: Look at proofs using lhpmat 37033 to see if this can be used to shorten them. (Contributed by NM, 27-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpelim.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpelim.l = (le‘𝐾)
lhpelim.j = (join‘𝐾)
lhpelim.m = (meet‘𝐾)
lhpelim.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpelim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpelim (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑃 (𝑋 𝑊)) 𝑊) = (𝑋 𝑊))

Proof of Theorem lhpelim
StepHypRef Expression
1 lhpelim.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 lhpelim.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3 eqid 2826 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 lhpelim.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 lhpelim.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5lhpmat 37033 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (0.‘𝐾))
763adant3 1126 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑃 𝑊) = (0.‘𝐾))
87oveq1d 7163 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑃 𝑊) (𝑋 𝑊)) = ((0.‘𝐾) (𝑋 𝑊)))
9 simp1l 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10 simp2l 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → 𝑃𝐴)
119hllatd 36367 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
12 simp3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
13 simp1r 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → 𝑊𝐻)
14 lhpelim.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
1514, 5lhpbase 37001 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1613, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → 𝑊𝐵)
1714, 2latmcl 17652 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
1811, 12, 16, 17syl3anc 1365 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
1914, 1, 2latmle2 17677 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
2011, 12, 16, 19syl3anc 1365 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
21 lhpelim.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2214, 1, 21, 2, 4atmod4i2 36870 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊) → ((𝑃 𝑊) (𝑋 𝑊)) = ((𝑃 (𝑋 𝑊)) 𝑊))
239, 10, 18, 16, 20, 22syl131anc 1377 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑃 𝑊) (𝑋 𝑊)) = ((𝑃 (𝑋 𝑊)) 𝑊))
24 hlol 36364 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
259, 24syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OL)
2614, 21, 3olj02 36229 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) (𝑋 𝑊)) = (𝑋 𝑊))
2725, 18, 26syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → ((0.‘𝐾) (𝑋 𝑊)) = (𝑋 𝑊))
288, 23, 273eqtr3d 2869 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑃 (𝑋 𝑊)) 𝑊) = (𝑋 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  meetcmee 17545  0.cp0 17637  Latclat 17645  OLcol 36177  Atomscatm 36266  HLchlt 36353  LHypclh 36987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-psubsp 36506  df-pmap 36507  df-padd 36799  df-lhyp 36991
This theorem is referenced by:  cdleme48b  37506  cdlemg7fvN  37627
  Copyright terms: Public domain W3C validator