Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpelim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lhpelim 39212
Description: Eliminate an atom not under a lattice hyperplane. TODO: Look at proofs using lhpmat 39205 to see if this can be used to shorten them. (Contributed by NM, 27-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpelim.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lhpelim.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpelim.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lhpelim.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lhpelim.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpelim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpelim (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š) = (𝑋 ∧ π‘Š))
Proof of Theorem lhpelim
StepHypRef Expression
1 lhpelim.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 lhpelim.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 eqid 2731 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
4 lhpelim.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 lhpelim.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5lhpmat 39205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
763adant3 1131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
87oveq1d 7427 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
9 simp1l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 simp2l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
119hllatd 38538 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 simp3 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simp1r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
14 lhpelim.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1514, 5lhpbase 39173 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1613, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1714, 2latmcl 18398 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
1811, 12, 16, 17syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
1914, 1, 2latmle2 18423 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
2011, 12, 16, 19syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
21 lhpelim.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2214, 1, 21, 2, 4atmod4i2 39042 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š) β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š))
239, 10, 18, 16, 20, 22syl131anc 1382 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∧ π‘Š) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š))
24 hlol 38535 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
259, 24syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OL)
2614, 21, 3olj02 38400 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ π‘Š))
2725, 18, 26syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ π‘Š))
288, 23, 273eqtr3d 2779 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š) = (𝑋 ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  0.cp0 18381  Latclat 18389  OLcol 38348  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163
This theorem is referenced by:  cdleme48b  39678  cdlemg7fvN  39799
  Copyright terms: Public domain W3C validator