Theorem lhpelim 40016

Description: Eliminate an atom not under a lattice hyperplane. TODO: Look at proofs using lhpmat 40009 to see if this can be used to shorten them. (Contributed by NM, 27-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpelim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpelim.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpelim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhpelim.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lhpelim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpelim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpelim	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ 𝑊) = (𝑋 ∧ 𝑊))

Proof of Theorem lhpelim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpelim.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		lhpelim.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		lhpelim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lhpelim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	lhpmat 40009	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∧ 𝑊) = (0.‘𝐾))
7	6	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∧ 𝑊) = (0.‘𝐾))
8	7	oveq1d 7368	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∧ 𝑊) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = ((0.‘𝐾) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))
9		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
10		simp2l 1200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ 𝐴)
11	9	hllatd 39342	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
12		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simp1r 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐻)
14		lhpelim.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15	14, 5	lhpbase 39977	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ 𝐵)
17	14, 2	latmcl 18364	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18	11, 12, 16, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
19	14, 1, 2	latmle2 18389	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
20	11, 12, 16, 19	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
21		lhpelim.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
22	14, 1, 21, 2, 4	atmod4i2 39846	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊) → ((𝑃 ∧ 𝑊) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ 𝑊))
23	9, 10, 18, 16, 20, 22	syl131anc 1385	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∧ 𝑊) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ 𝑊))
24		hlol 39339	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
25	9, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OL)
26	14, 21, 3	olj02 39204	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ 𝑊))
27	25, 18, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ 𝑊))
28	8, 23, 27	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ∧ 𝑊) = (𝑋 ∧ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  lecple 17186  joincjn 18235  meetcmee 18236  0.cp0 18345  Latclat 18355  OLcol 39152  Atomscatm 39241  HLchlt 39328  LHypclh 39963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39154  df-ol 39156  df-oml 39157  df-covers 39244  df-ats 39245  df-atl 39276  df-cvlat 39300  df-hlat 39329  df-psubsp 39482  df-pmap 39483  df-padd 39775  df-lhyp 39967

This theorem is referenced by:  cdleme48b  40482  cdlemg7fvN  40603