Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg28b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg28b 40232
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116. Second equality of the equation of line 14 on p. 117. Note that Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š is redundant here (but simplifies cdlemg28 40233.) (Contributed by NM, 29-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
cdlemg33.o 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg28b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š) = ((𝑧 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∧ π‘Š))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹   𝑧,𝐻   𝑧, ∨   𝑧,𝐾   𝑧, ≀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑣   𝑧,𝐺   𝑧,𝑂
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣)   𝑇(𝑣)   𝐹(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝐻(𝑣)   ∨ (𝑣)   𝐾(𝑣)   ≀ (𝑣)   ∧ (𝑧,𝑣)   𝑁(𝑣)   𝑂(𝑣)   π‘Š(𝑣)
Proof of Theorem cdlemg28b
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp13 1202 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
3 simp22 1204 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š))
4 simp23l 1291 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp23r 1292 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6 simp1 1133 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
7 simp22l 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
8 simp21 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š))
9 simp311 1317 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑧 β‰  𝑁)
104, 9jca 510 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁))
11 simp32l 1295 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
12 simp313 1319 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))
13 simp33l 1297 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
14 cdlemg12.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 cdlemg12.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
16 cdlemg12.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
17 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
18 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
19 cdlemg12.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 cdlemg12b.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21 cdlemg31.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
2214, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdlemg27b 40225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑁)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧))
236, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 22syl133anc 1390 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧))
24 simp312 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑧 β‰  𝑂)
255, 24jca 510 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑂))
26 simp32r 1296 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ))
27 simp33r 1298 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
28 cdlemg33.o . . . 4 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
2914, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 28cdlemg27b 40225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 β‰  𝑂)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧))
306, 7, 8, 25, 26, 12, 27, 29syl133anc 1390 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧))
3114, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemg26zz 40220 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧) ∧ Β¬ (π‘…β€˜πΊ) ≀ (𝑄 ∨ 𝑧))) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š) = ((𝑧 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∧ π‘Š))
321, 2, 3, 4, 5, 23, 30, 31syl133anc 1390 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š) = ((𝑧 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688
This theorem is referenced by:  cdlemg28  40233
  Copyright terms: Public domain W3C validator