Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp13 1206 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp22 1208 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π)) |
4 | | simp23l 1295 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β πΉ β π) |
5 | | simp23r 1296 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β πΊ β π) |
6 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
7 | | simp22l 1293 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β π§ β π΄) |
8 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
9 | | simp311 1321 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β π§ β π) |
10 | 4, 9 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (πΉ β π β§ π§ β π)) |
11 | | simp32l 1299 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β π£ β (π
βπΉ)) |
12 | | simp313 1323 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β π§ β€ (π β¨ π£)) |
13 | | simp33l 1301 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (πΉβπ) β π) |
14 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
15 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
18 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
19 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
20 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
21 | | cdlemg31.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
22 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 | cdlemg27b 39188 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΉ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΉβπ) β π)) β Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π§)) |
23 | 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 22 | syl133anc 1394 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π§)) |
24 | | simp312 1322 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β π§ β π) |
25 | 5, 24 | jca 513 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (πΊ β π β§ π§ β π)) |
26 | | simp32r 1300 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β π£ β (π
βπΊ)) |
27 | | simp33r 1302 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β (πΊβπ) β π) |
28 | | cdlemg33.o |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΊ))) |
29 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 28 | cdlemg27b 39188 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (πΊ β π β§ π§ β π)) β§ (π£ β (π
βπΊ) β§ π§ β€ (π β¨ π£) β§ (πΊβπ) β π)) β Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π§)) |
30 | 6, 7, 8, 25, 26, 12, 27, 29 | syl133anc 1394 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π§)) |
31 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | cdlemg26zz 39183 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π§) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π§))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π§ β¨ (πΉβ(πΊβπ§))) β§ π)) |
32 | 1, 2, 3, 4, 5, 23,
30, 31 | syl133anc 1394 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π§ β¨ (πΉβ(πΊβπ§))) β§ π)) |