Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1202 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
2 | 1 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (π
βπ))) |
3 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp2l 1200 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β π) |
5 | | simp3r 1203 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | | cdlemk.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | cdlemk.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdlemk.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdlemk.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | | cdlemk.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
11 | | cdlemk.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
12 | 6, 7, 8, 9, 10, 11 | trljat3 38634 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) = ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ))) |
13 | 3, 4, 5, 12 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ (π
βπΉ)) = ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ))) |
14 | | simp2r 1201 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π) |
15 | 6, 7, 8, 9, 10, 11 | trljat1 38632 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (π
βπ)) = (π β¨ (πβπ))) |
16 | 3, 14, 5, 15 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ (π
βπ)) = (π β¨ (πβπ))) |
17 | 2, 13, 16 | 3eqtr3rd 2786 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ (πβπ)) = ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ))) |