Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk1 39697
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 22-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemk1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))

Proof of Theorem cdlemk1
StepHypRef Expression
1 simp3l 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
21oveq2d 7424 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
3 simp1 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp2l 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp3r 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
6 cdlemk.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 cdlemk.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
126, 7, 8, 9, 10, 11trljat3 39034 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
133, 4, 5, 12syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
14 simp2r 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
156, 7, 8, 9, 10, 11trljat1 39032 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)))
163, 14, 5, 15syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)))
172, 13, 163eqtr3rd 2781 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
This theorem is referenced by:  cdlemk5  39702
  Copyright terms: Public domain W3C validator