Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1281 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΎ β HL) |
2 | | simp11r 1282 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β π β π») |
3 | | simp12 1201 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΉ β π) |
4 | | simp21l 1287 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β π β π) |
5 | | simp23 1205 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
6 | | simp22 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
7 | | cdlemk.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
8 | | cdlemk.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | cdlemk.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | cdlemk.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemk.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemk.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
13 | | cdlemk.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
14 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdlemk1 40214 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπ) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ (πβπ)) = ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ))) |
15 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14 | syl222anc 1383 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (πβπ)) = ((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ))) |
16 | | simp13 1202 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΊ β π) |
17 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdlemk2 40215 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΊβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = ((πΉβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
18 | 1, 2, 3, 16, 6, 17 | syl221anc 1378 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β ((πΊβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))) = ((πΉβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
19 | 15, 18 | oveq12d 7422 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β ((π β¨ (πβπ)) β§ ((πΊβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = (((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) |
20 | | simp21r 1288 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β π β π) |
21 | | simp33 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π
βπΊ) β (π
βπΉ)) |
22 | | simp31 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
23 | | simp32 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
24 | 22, 23 | jca 511 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) |
25 | | cdlemk.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
26 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 25 | cdlemk5a 40218 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΊ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
27 | 1, 2, 3, 16, 20, 21, 24, 6, 26 | syl233anc 1396 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (((πΉβπ) β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πΉβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
28 | 19, 27 | eqbrtrd 5163 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β ((π β¨ (πβπ)) β§ ((πΊβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |