Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendotr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendotr 40335
Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendotr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendotr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendotr.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendotr (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem tendotr
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpl2l 1223 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
3 tendotr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 tendotr.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 tendotr.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5tendoid 40278 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
71, 2, 6syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
8 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
98fveq2d 6906 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)))
107, 9, 83eqtr4d 2778 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = 𝐹)
1110fveq2d 6906 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
12 simpl1 1188 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 simpl2l 1223 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
14 simpl3 1190 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
15 eqid 2728 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
16 tendotr.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 tendotr.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1815, 4, 16, 17, 5tendotp 40266 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
1912, 13, 14, 18syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
20 simpl1l 1221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 38864 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
234, 16, 5tendocl 40272 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
2412, 13, 14, 23syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
25 simpl2r 1224 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑂)
26 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
27 tendotr.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
283, 4, 16, 5, 27tendoid0 40330 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
2912, 13, 14, 26, 28syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
3029necon3bid 2982 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ β‰  𝑂))
3125, 30mpbird 256 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
32 eqid 2728 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
333, 32, 4, 16, 17trlnidat 39678 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3412, 24, 31, 33syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
353, 32, 4, 16, 17trlnidat 39678 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3612, 14, 26, 35syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3715, 32atcmp 38815 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ)))
3822, 34, 36, 37syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ)))
3919, 38mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
4011, 39pm2.61dane 3026 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663  TEndoctendo 40257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8285  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tendo 40260
This theorem is referenced by:  cdleml6  40486
  Copyright terms: Public domain W3C validator