Theorem tendotr 40813

Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendotr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendotr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2l 1225	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
3		tendotr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		tendotr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		tendotr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	tendoid 40756	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
9	8	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
10	7, 9, 8	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = 𝐹)
11	10	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
12		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simpl2l 1225	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
14		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16		tendotr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		tendotr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	15, 4, 16, 17, 5	tendotp 40744	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
20		simpl1l 1223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21		hlatl 39342	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
23	4, 16, 5	tendocl 40750	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
24	12, 13, 14, 23	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
25		simpl2r 1226	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ≠ 𝑂)
26		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27		tendotr.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
28	3, 4, 16, 5, 27	tendoid0 40808	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
29	12, 13, 14, 26, 28	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
30	29	necon3bid 2983	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 𝑂))
31	25, 30	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
33	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 40156	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
34	12, 24, 31, 33	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
35	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 40156	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
36	12, 14, 26, 35	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
37	15, 32	atcmp 39293	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
38	22, 34, 36, 37	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
39	19, 38	mpbid 232	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
40	11, 39	pm2.61dane 3027	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Atomscatm 39245  AtLatcal 39246  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738

This theorem is referenced by:  cdleml6  40964