Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendotr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendotr 37522
Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendotr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendotr (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr
StepHypRef Expression
1 simpl1 1184 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2l 1219 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
3 tendotr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 tendotr.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 tendotr.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5tendoid 37465 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
71, 2, 6syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
98fveq2d 6547 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
107, 9, 83eqtr4d 2841 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) = 𝐹)
1110fveq2d 6547 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
12 simpl1 1184 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simpl2l 1219 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
14 simpl3 1186 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
15 eqid 2795 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16 tendotr.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 tendotr.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1815, 4, 16, 17, 5tendotp 37453 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
1912, 13, 14, 18syl3anc 1364 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
20 simpl1l 1217 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 36052 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
234, 16, 5tendocl 37459 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
2412, 13, 14, 23syl3anc 1364 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
25 simpl2r 1220 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝑂)
26 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27 tendotr.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
283, 4, 16, 5, 27tendoid0 37517 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
2912, 13, 14, 26, 28syl112anc 1367 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
3029necon3bid 3028 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈𝑂))
3125, 30mpbird 258 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32 eqid 2795 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
333, 32, 4, 16, 17trlnidat 36865 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
3412, 24, 31, 33syl3anc 1364 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
353, 32, 4, 16, 17trlnidat 36865 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
3612, 14, 26, 35syl3anc 1364 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
3715, 32atcmp 36003 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹)))
3822, 34, 36, 37syl3anc 1364 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹)))
3919, 38mpbid 233 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
4011, 39pm2.61dane 3072 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4966  cmpt 5045   I cid 5352  cres 5450  cfv 6230  Basecbs 16317  lecple 16406  Atomscatm 35955  AtLatcal 35956  HLchlt 36042  LHypclh 36676  LTrncltrn 36793  trLctrl 36850  TEndoctendo 37444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-riotaBAD 35645
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-id 5353  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-undef 7795  df-map 8263  df-proset 17372  df-poset 17390  df-plt 17402  df-lub 17418  df-glb 17419  df-join 17420  df-meet 17421  df-p0 17483  df-p1 17484  df-lat 17490  df-clat 17552  df-oposet 35868  df-ol 35870  df-oml 35871  df-covers 35958  df-ats 35959  df-atl 35990  df-cvlat 36014  df-hlat 36043  df-llines 36190  df-lplanes 36191  df-lvols 36192  df-lines 36193  df-psubsp 36195  df-pmap 36196  df-padd 36488  df-lhyp 36680  df-laut 36681  df-ldil 36796  df-ltrn 36797  df-trl 36851  df-tendo 37447
This theorem is referenced by:  cdleml6  37673
  Copyright terms: Public domain W3C validator