Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendotr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendotr 36842
Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendotr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendotr (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr
StepHypRef Expression
1 simpl1 1243 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2l 1298 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
3 tendotr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 tendotr.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 tendotr.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5tendoid 36785 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
71, 2, 6syl2anc 580 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8 simpr 478 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
98fveq2d 6413 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
107, 9, 83eqtr4d 2841 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) = 𝐹)
1110fveq2d 6413 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
12 simpl1 1243 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simpl2l 1298 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
14 simpl3 1247 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
15 eqid 2797 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16 tendotr.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 tendotr.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1815, 4, 16, 17, 5tendotp 36773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
1912, 13, 14, 18syl3anc 1491 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
20 simpl1l 1294 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 35372 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
234, 16, 5tendocl 36779 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
2412, 13, 14, 23syl3anc 1491 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
25 simpl2r 1300 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝑂)
26 simpr 478 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27 tendotr.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
283, 4, 16, 5, 27tendoid0 36837 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
2912, 13, 14, 26, 28syl112anc 1494 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
3029necon3bid 3013 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈𝑂))
3125, 30mpbird 249 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32 eqid 2797 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
333, 32, 4, 16, 17trlnidat 36185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
3412, 24, 31, 33syl3anc 1491 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
353, 32, 4, 16, 17trlnidat 36185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
3612, 14, 26, 35syl3anc 1491 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
3715, 32atcmp 35323 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹)))
3822, 34, 36, 37syl3anc 1491 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹)))
3919, 38mpbid 224 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
4011, 39pm2.61dane 3056 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969   class class class wbr 4841  cmpt 4920   I cid 5217  cres 5312  cfv 6099  Basecbs 16180  lecple 16270  Atomscatm 35275  AtLatcal 35276  HLchlt 35362  LHypclh 35996  LTrncltrn 36113  trLctrl 36170  TEndoctendo 36764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-riotaBAD 34965
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-undef 7635  df-map 8095  df-proset 17239  df-poset 17257  df-plt 17269  df-lub 17285  df-glb 17286  df-join 17287  df-meet 17288  df-p0 17350  df-p1 17351  df-lat 17357  df-clat 17419  df-oposet 35188  df-ol 35190  df-oml 35191  df-covers 35278  df-ats 35279  df-atl 35310  df-cvlat 35334  df-hlat 35363  df-llines 35510  df-lplanes 35511  df-lvols 35512  df-lines 35513  df-psubsp 35515  df-pmap 35516  df-padd 35808  df-lhyp 36000  df-laut 36001  df-ldil 36116  df-ltrn 36117  df-trl 36171  df-tendo 36767
This theorem is referenced by:  cdleml6  36993
  Copyright terms: Public domain W3C validator