Theorem tendotr 38581

Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendotr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendotr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2l 1228	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
3		tendotr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		tendotr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		tendotr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	tendoid 38524	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
7	1, 2, 6	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
9	8	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
10	7, 9, 8	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = 𝐹)
11	10	fveq2d 6721	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
12		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simpl2l 1228	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
14		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16		tendotr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		tendotr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	15, 4, 16, 17, 5	tendotp 38512	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
20		simpl1l 1226	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21		hlatl 37111	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
23	4, 16, 5	tendocl 38518	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
24	12, 13, 14, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
25		simpl2r 1229	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ≠ 𝑂)
26		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27		tendotr.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
28	3, 4, 16, 5, 27	tendoid0 38576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
29	12, 13, 14, 26, 28	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
30	29	necon3bid 2985	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 𝑂))
31	25, 30	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
33	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 37924	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
34	12, 24, 31, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
35	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 37924	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
36	12, 14, 26, 35	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
37	15, 32	atcmp 37062	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
38	22, 34, 36, 37	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
39	19, 38	mpbid 235	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
40	11, 39	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   I cid 5454   ↾ cres 5553  ‘cfv 6380  Basecbs 16760  lecple 16809  Atomscatm 37014  AtLatcal 37015  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  trLctrl 37909  TEndoctendo 38503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-riotaBAD 36704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-undef 8015  df-map 8510  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tendo 38506

This theorem is referenced by:  cdleml6  38732