Theorem tendotr 41994

Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendotr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendotr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2l 1245	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
3		tendotr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		tendotr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		tendotr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	tendoid 41937	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
9	8	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
10	7, 9, 8	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = 𝐹)
11	10	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
12		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simpl2l 1245	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
14		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16		tendotr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		tendotr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	15, 4, 16, 17, 5	tendotp 41925	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
20		simpl1l 1243	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21		hlatl 40524	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
23	4, 16, 5	tendocl 41931	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
24	12, 13, 14, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
25		simpl2r 1246	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ≠ 𝑂)
26		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27		tendotr.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
28	3, 4, 16, 5, 27	tendoid0 41989	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
29	12, 13, 14, 26, 28	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
30	29	necon3bid 2999	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 𝑂))
31	25, 30	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
33	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 41337	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
34	12, 24, 31, 33	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
35	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 41337	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
36	12, 14, 26, 35	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
37	15, 32	atcmp 40475	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
38	22, 34, 36, 37	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
39	19, 38	mpbid 235	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
40	11, 39	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  lecple 17442  Atomscatm 40427  AtLatcal 40428  HLchlt 40514  LHypclh 41148  LTrncltrn 41265  trLctrl 41322  TEndoctendo 41916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-riotaBAD 40117

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-undef 8295  df-map 8854  df-proset 18475  df-poset 18494  df-plt 18509  df-lub 18525  df-glb 18526  df-join 18527  df-meet 18528  df-p0 18604  df-p1 18605  df-lat 18613  df-clat 18680  df-oposet 40340  df-ol 40342  df-oml 40343  df-covers 40430  df-ats 40431  df-atl 40462  df-cvlat 40486  df-hlat 40515  df-llines 40662  df-lplanes 40663  df-lvols 40664  df-lines 40665  df-psubsp 40667  df-pmap 40668  df-padd 40960  df-lhyp 41152  df-laut 41153  df-ldil 41268  df-ltrn 41269  df-trl 41323  df-tendo 41919

This theorem is used by:  cdleml6  42145