Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendotr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendotr 39296
Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendotr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendotr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendotr.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendotr (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)

Proof of Theorem tendotr
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpl2l 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
3 tendotr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 tendotr.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 tendotr.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5tendoid 39239 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
71, 2, 6syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
8 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
98fveq2d 6847 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)))
107, 9, 83eqtr4d 2787 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = 𝐹)
1110fveq2d 6847 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
12 simpl1 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 simpl2l 1227 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
14 simpl3 1194 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
15 eqid 2737 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
16 tendotr.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 tendotr.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1815, 4, 16, 17, 5tendotp 39227 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
1912, 13, 14, 18syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
20 simpl1l 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 37825 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
234, 16, 5tendocl 39233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
2412, 13, 14, 23syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
25 simpl2r 1228 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑂)
26 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
27 tendotr.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
283, 4, 16, 5, 27tendoid0 39291 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
2912, 13, 14, 26, 28syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
3029necon3bid 2989 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ β‰  𝑂))
3125, 30mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
32 eqid 2737 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
333, 32, 4, 16, 17trlnidat 38639 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3412, 24, 31, 33syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
353, 32, 4, 16, 17trlnidat 38639 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3612, 14, 26, 35syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3715, 32atcmp 37776 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ)))
3822, 34, 36, 37syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ)))
3919, 38mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
4011, 39pm2.61dane 3033 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  lecple 17141  Atomscatm 37728  AtLatcal 37729  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  cdleml6  39447
  Copyright terms: Public domain W3C validator