Theorem tendotr 40869

Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendotr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendotr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl2l 1227	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
3		tendotr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		tendotr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		tendotr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	tendoid 40812	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
9	8	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
10	7, 9, 8	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) = 𝐹)
11	10	fveq2d 6821	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
12		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		simpl2l 1227	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
14		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
15		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16		tendotr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17		tendotr.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
18	15, 4, 16, 17, 5	tendotp 40800	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
20		simpl1l 1225	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21		hlatl 39399	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
23	4, 16, 5	tendocl 40806	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
24	12, 13, 14, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
25		simpl2r 1228	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈 ≠ 𝑂)
26		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27		tendotr.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
28	3, 4, 16, 5, 27	tendoid0 40864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
29	12, 13, 14, 26, 28	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
30	29	necon3bid 2972	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 ≠ 𝑂))
31	25, 30	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
33	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 40212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈‘𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
34	12, 24, 31, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
35	3, 32, 4, 16, 17	trlnidat 40212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
36	12, 14, 26, 35	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
37	15, 32	atcmp 39350	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
38	22, 34, 36, 37	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝐹))(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹)))
39	19, 38	mpbid 232	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
40	11, 39	pm2.61dane 3015	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ≠ 𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   I cid 5505   ↾ cres 5613  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  lecple 17163  Atomscatm 39302  AtLatcal 39303  HLchlt 39389  LHypclh 40023  LTrncltrn 40140  trLctrl 40197  TEndoctendo 40791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-riotaBAD 38992

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-undef 8198  df-map 8747  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-p1 18325  df-lat 18333  df-clat 18400  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-llines 39537  df-lplanes 39538  df-lvols 39539  df-lines 39540  df-psubsp 39542  df-pmap 39543  df-padd 39835  df-lhyp 40027  df-laut 40028  df-ldil 40143  df-ltrn 40144  df-trl 40198  df-tendo 40794

This theorem is referenced by:  cdleml6  41020