Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendotr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendotr 40167
Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendotr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendotr (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2l 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
3 tendotr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 tendotr.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 tendotr.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5tendoid 40110 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
98fveq2d 6895 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
107, 9, 83eqtr4d 2781 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) = 𝐹)
1110fveq2d 6895 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
12 simpl1 1190 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simpl2l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
14 simpl3 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
15 eqid 2731 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16 tendotr.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 tendotr.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1815, 4, 16, 17, 5tendotp 40098 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
1912, 13, 14, 18syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
20 simpl1l 1223 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 38696 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
234, 16, 5tendocl 40104 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
2412, 13, 14, 23syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
25 simpl2r 1226 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝑂)
26 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27 tendotr.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
283, 4, 16, 5, 27tendoid0 40162 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
2912, 13, 14, 26, 28syl112anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
3029necon3bid 2984 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈𝑂))
3125, 30mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32 eqid 2731 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
333, 32, 4, 16, 17trlnidat 39510 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
3412, 24, 31, 33syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
353, 32, 4, 16, 17trlnidat 39510 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
3612, 14, 26, 35syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
3715, 32atcmp 38647 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹)))
3822, 34, 36, 37syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹)))
3919, 38mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
4011, 39pm2.61dane 3028 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5573  cres 5678  cfv 6543  Basecbs 17151  lecple 17211  Atomscatm 38599  AtLatcal 38600  HLchlt 38686  LHypclh 39321  LTrncltrn 39438  trLctrl 39495  TEndoctendo 40089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38289
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8264  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-llines 38835  df-lplanes 38836  df-lvols 38837  df-lines 38838  df-psubsp 38840  df-pmap 38841  df-padd 39133  df-lhyp 39325  df-laut 39326  df-ldil 39441  df-ltrn 39442  df-trl 39496  df-tendo 40092
This theorem is referenced by:  cdleml6  40318
  Copyright terms: Public domain W3C validator