Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendotr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendotr 39689
Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendotr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendotr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendotr.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendotr.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendotr (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem tendotr
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpl2l 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
3 tendotr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 tendotr.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 tendotr.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5tendoid 39632 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
71, 2, 6syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
8 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
98fveq2d 6892 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)))
107, 9, 83eqtr4d 2782 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) = 𝐹)
1110fveq2d 6892 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
12 simpl1 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 simpl2l 1226 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
14 simpl3 1193 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
15 eqid 2732 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
16 tendotr.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 tendotr.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1815, 4, 16, 17, 5tendotp 39620 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
1912, 13, 14, 18syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
20 simpl1l 1224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 38218 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
234, 16, 5tendocl 39626 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
2412, 13, 14, 23syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
25 simpl2r 1227 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ π‘ˆ β‰  𝑂)
26 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
27 tendotr.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
283, 4, 16, 5, 27tendoid0 39684 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
2912, 13, 14, 26, 28syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 𝑂))
3029necon3bid 2985 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ β‰  𝑂))
3125, 30mpbird 256 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
32 eqid 2732 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
333, 32, 4, 16, 17trlnidat 39032 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3412, 24, 31, 33syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
353, 32, 4, 16, 17trlnidat 39032 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3612, 14, 26, 35syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
3715, 32atcmp 38169 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ)))
3822, 34, 36, 37syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ)))
3919, 38mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
4011, 39pm2.61dane 3029 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ β‰  𝑂) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017  TEndoctendo 39611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614
This theorem is referenced by:  cdleml6  39840
  Copyright terms: Public domain W3C validator