Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendotr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendotr 40832
Description: The trace of the value of a nonzero trace-preserving endomorphism equals the trace of the argument. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendotr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendotr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendotr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendotr.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendotr (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendotr
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2l 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
3 tendotr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 tendotr.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 tendotr.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5tendoid 40775 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
71, 2, 6syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
8 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
98fveq2d 6910 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
107, 9, 83eqtr4d 2787 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) = 𝐹)
1110fveq2d 6910 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
12 simpl1 1192 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simpl2l 1227 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝐸)
14 simpl3 1194 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹𝑇)
15 eqid 2737 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16 tendotr.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 tendotr.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1815, 4, 16, 17, 5tendotp 40763 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
1912, 13, 14, 18syl3anc 1373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
20 simpl1l 1225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21 hlatl 39361 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2220, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ AtLat)
234, 16, 5tendocl 40769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
2412, 13, 14, 23syl3anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
25 simpl2r 1228 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑈𝑂)
26 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
27 tendotr.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
283, 4, 16, 5, 27tendoid0 40827 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
2912, 13, 14, 26, 28syl112anc 1376 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈𝐹) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 𝑂))
3029necon3bid 2985 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈𝑂))
3125, 30mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵))
32 eqid 2737 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
333, 32, 4, 16, 17trlnidat 40175 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈𝐹) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
3412, 24, 31, 33syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾))
353, 32, 4, 16, 17trlnidat 40175 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
3612, 14, 26, 35syl3anc 1373 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
3715, 32atcmp 39312 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈𝐹)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹)))
3822, 34, 36, 37syl3anc 1373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ((𝑅‘(𝑈𝐹))(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹)))
3919, 38mpbid 232 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
4011, 39pm2.61dane 3029 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑈𝑂) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝐹)) = (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577  cres 5687  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160  TEndoctendo 40754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757
This theorem is referenced by:  cdleml6  40983
  Copyright terms: Public domain W3C validator