Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkyuu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkyuu 39885
Description: cdlemkyu 39884 with some hypotheses eliminated. TODO: Clean all this up. (Contributed by NM, 21-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk5.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk5c.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk5a.u2 𝐢 = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑏))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkyuu ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((πΆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐡,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏   𝑔,𝐺,𝑒   𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑒, ∧   ≀ ,𝑖,𝑗   ∨ ,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗   𝑓,𝐹,𝑖,𝑗   𝑒,𝐺,𝑗   𝑖,𝐻,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑓,𝑁,𝑖,𝑗   𝑃,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑅,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑒,𝑏,𝑗,𝑆   𝑇,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑒,π‘Š,𝑓,𝑖,𝑗   𝑓,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑔,𝑏)   𝐡(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑏)   𝐢(𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏)   𝑃(𝑏)   𝑅(𝑏)   𝑆(𝑓,𝑔,𝑖)   𝑇(𝑏)   𝐹(𝑒,𝑔,𝑏)   𝐺(𝑓,𝑖,𝑏)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑔,𝑏)   ∨ (𝑏)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑔,𝑏)   ≀ (𝑒,𝑓,𝑔,𝑏)   ∧ (𝑏)   𝑁(𝑒,𝑔,𝑏)   π‘Š(𝑔,𝑏)   π‘Œ(𝑒,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑏)   𝑍(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑏)

Proof of Theorem cdlemkyuu
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemk5.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemk5.j . 2 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdlemk5.m . 2 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemk5.a . 2 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemk5.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemk5.t . 2 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdlemk5.r . 2 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemk5.z . 2 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
10 cdlemk5.y . 2 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘”)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
11 cdlemk5c.s . 2 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
12 eqid 2732 . 2 (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑)))))) = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
13 eqid 2732 . 2 (π‘†β€˜π‘) = (π‘†β€˜π‘)
14 cdlemk5a.u2 . 2 𝐢 = (𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑏))))))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemkyu 39884 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ⦋𝐺 / π‘”β¦Œπ‘Œ = ((πΆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β¦‹csb 3893   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  β„©crio 7366  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17146  lecple 17206  joincjn 18266  meetcmee 18267  Atomscatm 38219  HLchlt 38306  LHypclh 38941  LTrncltrn 39058  trLctrl 39115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116
This theorem is referenced by:  cdlemk11ta  39886  cdlemk19ylem  39887
  Copyright terms: Public domain W3C validator