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Theorem cdleml1N 39842
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleml1N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)))
Proof of Theorem cdleml1N
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
3 simp23 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
4 eqid 2732 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
5 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 cdleml1.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
94, 5, 6, 7, 8tendotp 39627 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))
101, 2, 3, 9syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))
11 simp1l 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 hlatl 38225 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
145, 6, 8tendocl 39633 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇)
151, 2, 3, 14syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇)
16 simp32 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
17 cdleml1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
18 eqid 2732 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
1917, 18, 5, 6, 7trlnidat 39039 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
201, 15, 16, 19syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
21 simp31 1209 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
2217, 18, 5, 6, 7trlnidat 39039 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
231, 3, 21, 22syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
244, 18atcmp 38176 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“)))
2513, 20, 23, 24syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“)))
2610, 25mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“))
27 simp22 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
284, 5, 6, 7, 8tendotp 39627 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))
291, 27, 3, 28syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))
305, 6, 8tendocl 39633 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
311, 27, 3, 30syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
32 simp33 1211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
3317, 18, 5, 6, 7trlnidat 39039 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
341, 31, 32, 33syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
354, 18atcmp 38176 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“) ↔ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“)))
3613, 34, 23, 35syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“) ↔ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“)))
3729, 36mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“))
3826, 37eqtr4d 2775 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203  Atomscatm 38128  AtLatcal 38129  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024  TEndoctendo 39618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621
This theorem is referenced by:  cdleml2N  39843
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