Theorem cdleml1N 40978

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleml1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑅‘(𝑉‘𝑓)))

Proof of Theorem cdleml1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp21 1207	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
3		simp23 1209	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		cdleml1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdleml1.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		cdleml1.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		cdleml1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	4, 5, 6, 7, 8	tendotp 40763	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑈‘𝑓))(le‘𝐾)(𝑅‘𝑓))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈‘𝑓))(le‘𝐾)(𝑅‘𝑓))
11		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
12		hlatl 39361	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ AtLat)
14	5, 6, 8	tendocl 40769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑓) ∈ 𝑇)
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘𝑓) ∈ 𝑇)
16		simp32 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
17		cdleml1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
19	17, 18, 5, 6, 7	trlnidat 40175	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
20	1, 15, 16, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
21		simp31 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22	17, 18, 5, 6, 7	trlnidat 40175	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾))
23	1, 3, 21, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾))
24	4, 18	atcmp 39312	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈‘𝑓))(le‘𝐾)(𝑅‘𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑅‘𝑓)))
25	13, 20, 23, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅‘(𝑈‘𝑓))(le‘𝐾)(𝑅‘𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑅‘𝑓)))
26	10, 25	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑅‘𝑓))
27		simp22 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐸)
28	4, 5, 6, 7, 8	tendotp 40763	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑉‘𝑓))(le‘𝐾)(𝑅‘𝑓))
29	1, 27, 3, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉‘𝑓))(le‘𝐾)(𝑅‘𝑓))
30	5, 6, 8	tendocl 40769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑓) ∈ 𝑇)
31	1, 27, 3, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑓) ∈ 𝑇)
32		simp33 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
33	17, 18, 5, 6, 7	trlnidat 40175	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑉‘𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
34	1, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉‘𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
35	4, 18	atcmp 39312	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑉‘𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑉‘𝑓))(le‘𝐾)(𝑅‘𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑉‘𝑓)) = (𝑅‘𝑓)))
36	13, 34, 23, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅‘(𝑉‘𝑓))(le‘𝐾)(𝑅‘𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑉‘𝑓)) = (𝑅‘𝑓)))
37	29, 36	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉‘𝑓)) = (𝑅‘𝑓))
38	26, 37	eqtr4d 2780	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑅‘(𝑉‘𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143   I cid 5577   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160  TEndoctendo 40754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757

This theorem is referenced by:  cdleml2N  40979