Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml1N 36785
 Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleml1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅‘(𝑉𝑓)))

Proof of Theorem cdleml1N
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21 1248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
3 simp23 1250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑓𝑇)
4 eqid 2771 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 cdleml1.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
94, 5, 6, 7, 8tendotp 36570 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑓𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓))
101, 2, 3, 9syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓))
11 simp1l 1239 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
12 hlatl 35169 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ AtLat)
145, 6, 8tendocl 36576 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑓𝑇) → (𝑈𝑓) ∈ 𝑇)
151, 2, 3, 14syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑓) ∈ 𝑇)
16 simp32 1252 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
17 cdleml1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
18 eqid 2771 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
1917, 18, 5, 6, 7trlnidat 35982 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
201, 15, 16, 19syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
21 simp31 1251 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2217, 18, 5, 6, 7trlnidat 35982 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾))
231, 3, 21, 22syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾))
244, 18atcmp 35120 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅𝑓)))
2513, 20, 23, 24syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅‘(𝑈𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅𝑓)))
2610, 25mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅𝑓))
27 simp22 1249 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝐸)
284, 5, 6, 7, 8tendotp 36570 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑓𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓))
291, 27, 3, 28syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓))
305, 6, 8tendocl 36576 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑓𝑇) → (𝑉𝑓) ∈ 𝑇)
311, 27, 3, 30syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑓) ∈ 𝑇)
32 simp33 1253 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
3317, 18, 5, 6, 7trlnidat 35982 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑉𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
341, 31, 32, 33syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
354, 18atcmp 35120 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑉𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑉𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑉𝑓)) = (𝑅𝑓)))
3613, 34, 23, 35syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅‘(𝑉𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑉𝑓)) = (𝑅𝑓)))
3729, 36mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉𝑓)) = (𝑅𝑓))
3826, 37eqtr4d 2808 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅‘(𝑉𝑓)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4786   I cid 5156   ↾ cres 5251  ‘cfv 6031  Basecbs 16064  lecple 16156  Atomscatm 35072  AtLatcal 35073  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967  TEndoctendo 36561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-map 8011  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tendo 36564 This theorem is referenced by:  cdleml2N  36786
 Copyright terms: Public domain W3C validator