Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml1N 39489
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleml1N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)))

Proof of Theorem cdleml1N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
3 simp23 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
4 eqid 2733 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
5 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 cdleml1.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
94, 5, 6, 7, 8tendotp 39274 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))
101, 2, 3, 9syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))
11 simp1l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 hlatl 37872 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
145, 6, 8tendocl 39280 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇)
151, 2, 3, 14syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇)
16 simp32 1211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
17 cdleml1.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
18 eqid 2733 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
1917, 18, 5, 6, 7trlnidat 38686 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
201, 15, 16, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
21 simp31 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
2217, 18, 5, 6, 7trlnidat 38686 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
231, 3, 21, 22syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
244, 18atcmp 37823 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“)))
2513, 20, 23, 24syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“) ↔ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“)))
2610, 25mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“))
27 simp22 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
284, 5, 6, 7, 8tendotp 39274 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))
291, 27, 3, 28syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))
305, 6, 8tendocl 39280 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
311, 27, 3, 30syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
32 simp33 1212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
3317, 18, 5, 6, 7trlnidat 38686 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
341, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
354, 18atcmp 37823 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“) ↔ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“)))
3613, 34, 23, 35syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“) ↔ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“)))
3729, 36mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)) = (π‘…β€˜π‘“))
3826, 37eqtr4d 2776 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5109   I cid 5534   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  lecple 17148  Atomscatm 37775  AtLatcal 37776  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671  TEndoctendo 39265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268
This theorem is referenced by:  cdleml2N  39490
  Copyright terms: Public domain W3C validator