Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml1N 40978
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleml1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅‘(𝑉𝑓)))

Proof of Theorem cdleml1N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
3 simp23 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑓𝑇)
4 eqid 2737 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 cdleml1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdleml1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7 cdleml1.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8 cdleml1.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
94, 5, 6, 7, 8tendotp 40763 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑓𝑇) → (𝑅‘(𝑈𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓))
101, 2, 3, 9syl3anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓))
11 simp1l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ HL)
12 hlatl 39361 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐾 ∈ AtLat)
145, 6, 8tendocl 40769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑓𝑇) → (𝑈𝑓) ∈ 𝑇)
151, 2, 3, 14syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑓) ∈ 𝑇)
16 simp32 1211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
17 cdleml1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
18 eqid 2737 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
1917, 18, 5, 6, 7trlnidat 40175 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
201, 15, 16, 19syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
21 simp31 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2217, 18, 5, 6, 7trlnidat 40175 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾))
231, 3, 21, 22syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾))
244, 18atcmp 39312 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑈𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑈𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅𝑓)))
2513, 20, 23, 24syl3anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅‘(𝑈𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅𝑓)))
2610, 25mpbid 232 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅𝑓))
27 simp22 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝐸)
284, 5, 6, 7, 8tendotp 40763 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑓𝑇) → (𝑅‘(𝑉𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓))
291, 27, 3, 28syl3anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓))
305, 6, 8tendocl 40769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑓𝑇) → (𝑉𝑓) ∈ 𝑇)
311, 27, 3, 30syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑓) ∈ 𝑇)
32 simp33 1212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
3317, 18, 5, 6, 7trlnidat 40175 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘(𝑉𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
341, 31, 32, 33syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾))
354, 18atcmp 39312 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘(𝑉𝑓)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝑓) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘(𝑉𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑉𝑓)) = (𝑅𝑓)))
3613, 34, 23, 35syl3anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅‘(𝑉𝑓))(le‘𝐾)(𝑅𝑓) ↔ (𝑅‘(𝑉𝑓)) = (𝑅𝑓)))
3729, 36mpbid 232 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑉𝑓)) = (𝑅𝑓))
3826, 37eqtr4d 2780 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅‘(𝑉𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143   I cid 5577  cres 5687  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160  TEndoctendo 40754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757
This theorem is referenced by:  cdleml2N  40979
  Copyright terms: Public domain W3C validator