Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleml2N 39843
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleml2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓)   𝑇(𝑓)   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem cdleml2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
3 simp23 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
4 cdleml1.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdleml1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdleml1.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
74, 5, 6tendocl 39633 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇)
81, 2, 3, 7syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇)
9 simp22 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
104, 5, 6tendocl 39633 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
111, 9, 3, 10syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
12 cdleml1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 cdleml1.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1412, 4, 5, 13, 6cdleml1N 39842 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)))
154, 5, 13, 6cdlemk 39840 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
161, 8, 11, 14, 15syl121anc 1375 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024  TEndoctendo 39618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621
This theorem is referenced by:  cdleml3N  39844
  Copyright terms: Public domain W3C validator