Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleml2N 40482
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleml2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓)   𝑇(𝑓)   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem cdleml2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
3 simp23 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
4 cdleml1.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdleml1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdleml1.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
74, 5, 6tendocl 40272 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇)
81, 2, 3, 7syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇)
9 simp22 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
104, 5, 6tendocl 40272 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
111, 9, 3, 10syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
12 cdleml1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 cdleml1.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1412, 4, 5, 13, 6cdleml1N 40481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“)))
154, 5, 13, 6cdlemk 40479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‰β€˜π‘“) ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘…β€˜(π‘‰β€˜π‘“))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
161, 8, 11, 14, 15syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   I cid 5579   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663  TEndoctendo 40257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8285  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tendo 40260
This theorem is referenced by:  cdleml3N  40483
  Copyright terms: Public domain W3C validator