Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml2N 38970
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleml2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem cdleml2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp21 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
3 simp23 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑓𝑇)
4 cdleml1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdleml1.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 cdleml1.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
74, 5, 6tendocl 38760 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑓𝑇) → (𝑈𝑓) ∈ 𝑇)
81, 2, 3, 7syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑓) ∈ 𝑇)
9 simp22 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉𝐸)
104, 5, 6tendocl 38760 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑓𝑇) → (𝑉𝑓) ∈ 𝑇)
111, 9, 3, 10syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉𝑓) ∈ 𝑇)
12 cdleml1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 cdleml1.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1412, 4, 5, 13, 6cdleml1N 38969 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅‘(𝑉𝑓)))
154, 5, 13, 6cdlemk 38967 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉𝑓) ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘(𝑈𝑓)) = (𝑅‘(𝑉𝑓))) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
161, 8, 11, 14, 15syl121anc 1373 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944  wrex 3066   I cid 5487  cres 5590  cfv 6430  Basecbs 16893  HLchlt 37343  LHypclh 37977  LTrncltrn 38094  trLctrl 38151  TEndoctendo 38745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-riotaBAD 36946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-undef 8073  df-map 8591  df-proset 17994  df-poset 18012  df-plt 18029  df-lub 18045  df-glb 18046  df-join 18047  df-meet 18048  df-p0 18124  df-p1 18125  df-lat 18131  df-clat 18198  df-oposet 37169  df-ol 37171  df-oml 37172  df-covers 37259  df-ats 37260  df-atl 37291  df-cvlat 37315  df-hlat 37344  df-llines 37491  df-lplanes 37492  df-lvols 37493  df-lines 37494  df-psubsp 37496  df-pmap 37497  df-padd 37789  df-lhyp 37981  df-laut 37982  df-ldil 38097  df-ltrn 38098  df-trl 38152  df-tendo 38748
This theorem is referenced by:  cdleml3N  38971
  Copyright terms: Public domain W3C validator