Theorem cdleml2N 41086

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleml2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑉‘𝑓))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem cdleml2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp21 1207	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
3		simp23 1209	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑓 ∈ 𝑇)
4		cdleml1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdleml1.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		cdleml1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7	4, 5, 6	tendocl 40876	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑓) ∈ 𝑇)
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘𝑓) ∈ 𝑇)
9		simp22 1208	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐸)
10	4, 5, 6	tendocl 40876	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑉‘𝑓) ∈ 𝑇)
11	1, 9, 3, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑉‘𝑓) ∈ 𝑇)
12		cdleml1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		cdleml1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14	12, 4, 5, 13, 6	cdleml1N 41085	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑅‘(𝑉‘𝑓)))
15	4, 5, 13, 6	cdlemk 41083	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘𝑓) ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑅‘(𝑉‘𝑓))) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑉‘𝑓))
16	1, 8, 11, 14, 15	syl121anc 1377	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉‘𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑠‘(𝑈‘𝑓)) = (𝑉‘𝑓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   I cid 5515   ↾ cres 5623  ‘cfv 6489  Basecbs 17130  HLchlt 39459  LHypclh 40093  LTrncltrn 40210  trLctrl 40267  TEndoctendo 40861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-undef 8212  df-map 8761  df-proset 18210  df-poset 18229  df-plt 18244  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-p0 18339  df-p1 18340  df-lat 18348  df-clat 18415  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tendo 40864

This theorem is referenced by:  cdleml3N  41087