![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > coeval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
coeval | โข (๐น โ (Polyโ๐) โ (coeffโ๐น) = (โฉ๐ โ (โ โm โ0)โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐น = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | plyssc 26052 | . . 3 โข (Polyโ๐) โ (Polyโโ) | |
2 | 1 | sseli 3978 | . 2 โข (๐น โ (Polyโ๐) โ ๐น โ (Polyโโ)) |
3 | eqeq1 2735 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐น โ (๐ = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐))) โ ๐น = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐))))) | |
4 | 3 | anbi2d 628 | . . . . 5 โข (๐ = ๐น โ (((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐ = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))) โ ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐น = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))))) |
5 | 4 | rexbidv 3177 | . . . 4 โข (๐ = ๐น โ (โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐ = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))) โ โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐น = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))))) |
6 | 5 | riotabidv 7370 | . . 3 โข (๐ = ๐น โ (โฉ๐ โ (โ โm โ0)โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐ = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐))))) = (โฉ๐ โ (โ โm โ0)โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐น = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))))) |
7 | df-coe 26042 | . . 3 โข coeff = (๐ โ (Polyโโ) โฆ (โฉ๐ โ (โ โm โ0)โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐ = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))))) | |
8 | riotaex 7372 | . . 3 โข (โฉ๐ โ (โ โm โ0)โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐น = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐))))) โ V | |
9 | 6, 7, 8 | fvmpt 6998 | . 2 โข (๐น โ (Polyโโ) โ (coeffโ๐น) = (โฉ๐ โ (โ โm โ0)โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐น = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))))) |
10 | 2, 9 | syl 17 | 1 โข (๐น โ (Polyโ๐) โ (coeffโ๐น) = (โฉ๐ โ (โ โm โ0)โ๐ โ โ0 ((๐ โ (โคโฅโ(๐ + 1))) = {0} โง ๐น = (๐ง โ โ โฆ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐โ๐) ยท (๐งโ๐)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1540 โ wcel 2105 โwrex 3069 {csn 4628 โฆ cmpt 5231 โ cima 5679 โcfv 6543 โฉcrio 7367 (class class class)co 7412 โm cmap 8826 โcc 11114 0cc0 11116 1c1 11117 + caddc 11119 ยท cmul 11121 โ0cn0 12479 โคโฅcuz 12829 ...cfz 13491 โcexp 14034 ฮฃcsu 15639 Polycply 26036 coeffccoe 26038 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-cnex 11172 ax-1cn 11174 ax-addcl 11176 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-rdg 8416 df-map 8828 df-nn 12220 df-n0 12480 df-ply 26040 df-coe 26042 |
This theorem is referenced by: coelem 26078 coeeq 26079 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |