MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plysubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plysubcl 25489
Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plysubcl ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โ†’ (๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))

Proof of Theorem plysubcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 25467 . . 3 (Polyโ€˜๐‘†) โŠ† (Polyโ€˜โ„‚)
2 simpl 483 . . 3 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
31, 2sselid 3930 . 2 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
4 simpr 485 . . 3 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
51, 4sselid 3930 . 2 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
6 addcl 11054 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
76adantl 482 . 2 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11056 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
98adantl 482 . 2 (((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
10 neg1cn 12188 . . 3 -1 โˆˆ โ„‚
1110a1i 11 . 2 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
123, 5, 7, 9, 11plysub 25486 1 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โˆง ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)) โ†’ (๐น โˆ˜f โˆ’ ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2105  โ€˜cfv 6479  (class class class)co 7337   โˆ˜f cof 7593  โ„‚cc 10970  1c1 10973   + caddc 10975   ยท cmul 10977   โˆ’ cmin 11306  -cneg 11307  Polycply 25451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-ply 25455
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  25541  plyremlem  25570  plyrem  25571  fta1lem  25573  quotcan  25575  plyexmo  25579  dchrfi  26509  dgrsub2  41223
  Copyright terms: Public domain W3C validator