MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeulem 24502
Description: Lemma for coeeu 24503. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeu.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeeu.2 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚0))
coeeu.3 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ↑𝑚0))
coeeu.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
coeeu.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
coeeu.6 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeeu.7 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
coeeu.8 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
coeeu.9 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeeulem (𝜑𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝜑,𝑘,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeulem
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 3915 . . 3 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2 coeeu.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 coeeu.5 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nn0addcld 11812 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
5 subcl 10737 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
7 coeeu.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚0))
8 cnex 10469 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
9 nn0ex 11756 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9elmap 8290 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
117, 10sylib 219 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12 coeeu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ↑𝑚0))
138, 9elmap 8290 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℂ ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
1412, 13sylib 219 . . . . . 6 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
159a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
16 inidm 4119 . . . . . 6 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
176, 11, 14, 15, 15, 16off 7287 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑓𝐵):ℕ0⟶ℂ)
188, 9elmap 8290 . . . . 5 ((𝐴𝑓𝐵) ∈ (ℂ ↑𝑚0) ↔ (𝐴𝑓𝐵):ℕ0⟶ℂ)
1917, 18sylibr 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑓𝐵) ∈ (ℂ ↑𝑚0))
20 0cn 10484 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
21 snssi 4652 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 {0} ⊆ ℂ
23 ssequn2 4084 . . . . . 6 ({0} ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∪ {0}) = ℂ)
2422, 23mpbi 231 . . . . 5 (ℂ ∪ {0}) = ℂ
2524oveq1i 7031 . . . 4 ((ℂ ∪ {0}) ↑𝑚0) = (ℂ ↑𝑚0)
2619, 25syl6eleqr 2894 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑓𝐵) ∈ ((ℂ ∪ {0}) ↑𝑚0))
274nn0red 11809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
28 nn0re 11759 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
29 ltnle 10572 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3027, 28, 29syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3111ffnd 6388 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
3214ffnd 6388 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 Fn ℕ0)
33 eqidd 2796 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑘))
34 eqidd 2796 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑘))
3531, 32, 15, 15, 16, 33, 34ofval 7281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
3635adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
372nn0red 11809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3927adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4028adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
4140adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
422nn0cnd 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
433nn0cnd 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4442, 43addcomd 10694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
45 nn0uz 12134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 = (ℤ‘0)
463, 45syl6eleq 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
472nn0zd 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
48 eluzadd 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
4946, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
5044, 49eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
5142addid2d 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
5251fveq2d 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
5350, 52eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
54 eluzle 12111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
57 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)
5838, 39, 41, 56, 57lelttrd 10650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 < 𝑘)
5938, 41ltnled 10639 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑀))
6058, 59mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ¬ 𝑘𝑀)
61 coeeu.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
62 plyco0 24470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀)))
632, 11, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀)))
6461, 63mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
6564r19.21bi 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
6665adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
6766necon1bd 3002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (¬ 𝑘𝑀 → (𝐴𝑘) = 0))
6860, 67mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝐴𝑘) = 0)
693nn0red 11809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 ∈ ℝ)
712, 45syl6eleq 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
723nn0zd 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
73 eluzadd 12127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
7471, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
7543addid2d 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
7675fveq2d 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑁)) = (ℤ𝑁))
7774, 76eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁))
78 eluzle 12111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
8170, 39, 41, 80, 57lelttrd 10650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 < 𝑘)
8270, 41ltnled 10639 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑁))
8381, 82mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ¬ 𝑘𝑁)
84 coeeu.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
85 plyco0 24470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
863, 14, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
8784, 86mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
8887r19.21bi 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
8988adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
9089necon1bd 3002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (¬ 𝑘𝑁 → (𝐵𝑘) = 0))
9183, 90mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝐵𝑘) = 0)
9268, 91oveq12d 7039 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) = (0 − 0))
93 0m0e0 11610 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
9492, 93syl6eq 2847 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) = 0)
9536, 94eqtrd 2831 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = 0)
9695expr 457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = 0))
9730, 96sylbird 261 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = 0))
9897necon1ad 3001 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
9998ralrimiva 3149 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
100 plyco0 24470 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑓𝐵):ℕ0⟶ℂ) → (((𝐴𝑓𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
1014, 17, 100syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝑓𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
10299, 101mpbird 258 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑓𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0})
103 df-0p 23959 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
104 fconstmpt 5505 . . . . 5 (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
105103, 104eqtri 2819 . . . 4 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
106 elfznn0 12855 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10735adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
108107oveq1d 7036 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)))
10911adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
110109ffvelrnda 6721 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
11114adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
112111ffvelrnda 6721 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
113 expcl 13302 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
114113adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
115110, 112, 114subdird 10950 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
116108, 115eqtrd 2831 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
117106, 116sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
118117sumeq2dv 14898 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
119 fzfid 13196 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
120110, 114mulcld 10512 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
121106, 120sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
122112, 114mulcld 10512 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
123106, 122sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
124119, 121, 123fsumsub 14981 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
125119, 121fsumcl 14928 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
126 coeeu.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
127 coeeu.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
128126, 127eqtr3d 2833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
129128fveq1d 6545 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧))
130129adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧))
131 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
132 sumex 14883 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
133 eqid 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
134133fvmpt2 6650 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
135131, 132, 134sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
136 fzss2 12802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
13753, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
138137adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
139138sselda 3893 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
140139, 121syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
141 eldifn 4029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
142141adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
143 eldifi 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
144143, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
145 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
146145, 45syl6eleq 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
14747adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
148 elfz5 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑘𝑀))
149146, 147, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑘𝑀))
15065, 149sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑀)))
151150adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑀)))
152151necon1bd 3002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝐴𝑘) = 0))
153144, 152sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝐴𝑘) = 0))
154142, 153mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
155154oveq1d 7036 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
156131, 144, 113syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
157156mul02d 10690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
158155, 157eqtrd 2831 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
159138, 140, 158, 119fsumss 14920 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
160135, 159eqtrd 2831 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
161 sumex 14883 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
162 eqid 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
163162fvmpt2 6650 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
164131, 161, 163sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
165 fzss2 12802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
16677, 165syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
167166adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
168167sselda 3893 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
169168, 123syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
170 eldifn 4029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
171170adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
172 eldifi 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
173172, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17472adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
175 elfz5 12755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
176146, 174, 175syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
17788, 176sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
178177adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
179178necon1bd 3002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐵𝑘) = 0))
180173, 179sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐵𝑘) = 0))
181171, 180mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) = 0)
182181oveq1d 7036 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
183131, 173, 113syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
184183mul02d 10690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
185182, 184eqtrd 2831 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
186167, 169, 185, 119fsumss 14920 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
187164, 186eqtrd 2831 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
188130, 160, 1873eqtr3d 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
189125, 188subeq0bd 10919 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = 0)
190118, 124, 1893eqtrrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
191190mpteq2dva 5060 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
192105, 191syl5eq 2843 . . 3 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
1931, 4, 26, 102, 192plyeq0 24489 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑓𝐵) = (ℕ0 × {0}))
194 ofsubeq0 11488 . . 3 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴𝑓𝐵) = (ℕ0 × {0}) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1959, 11, 14, 194mp3an2i 1458 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑓𝐵) = (ℕ0 × {0}) ↔ 𝐴 = 𝐵))
196193, 195mpbid 233 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  Vcvv 3437  cdif 3860  cun 3861  wss 3863  {csn 4476   class class class wbr 4966  cmpt 5045   × cxp 5446  cima 5451  wf 6226  cfv 6230  (class class class)co 7021  𝑓 cof 7270  𝑚 cmap 8261  cc 10386  cr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   · cmul 10393   < clt 10526  cle 10527  cmin 10722  0cn0 11750  cz 11834  cuz 12098  ...cfz 12747  cexp 13284  Σcsu 14881  0𝑝c0p 23958  Polycply 24462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-0p 23959
This theorem is referenced by:  coeeu  24503
  Copyright terms: Public domain W3C validator