MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeulem 26278
Description: Lemma for coeeu 26279. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeu.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeeu.2 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ↑m0))
coeeu.3 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ↑m0))
coeeu.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
coeeu.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
coeeu.6 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeeu.7 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
coeeu.8 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
coeeu.9 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeeulem (𝜑𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝜑,𝑘,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeulem
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 4019 . . 3 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2 coeeu.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3 coeeu.5 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nn0addcld 12589 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
5 subcl 11505 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
7 coeeu.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ↑m0))
8 cnex 11234 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
9 nn0ex 12530 . . . . . . . 8 0 ∈ V
108, 9elmap 8910 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
117, 10sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12 coeeu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ↑m0))
138, 9elmap 8910 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℂ ↑m0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
1412, 13sylib 218 . . . . . 6 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
159a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
16 inidm 4235 . . . . . 6 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
176, 11, 14, 15, 15, 16off 7715 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴f𝐵):ℕ0⟶ℂ)
188, 9elmap 8910 . . . . 5 ((𝐴f𝐵) ∈ (ℂ ↑m0) ↔ (𝐴f𝐵):ℕ0⟶ℂ)
1917, 18sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → (𝐴f𝐵) ∈ (ℂ ↑m0))
20 0cn 11251 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
21 snssi 4813 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 {0} ⊆ ℂ
23 ssequn2 4199 . . . . . 6 ({0} ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∪ {0}) = ℂ)
2422, 23mpbi 230 . . . . 5 (ℂ ∪ {0}) = ℂ
2524oveq1i 7441 . . . 4 ((ℂ ∪ {0}) ↑m0) = (ℂ ↑m0)
2619, 25eleqtrrdi 2850 . . 3 (𝜑 → (𝐴f𝐵) ∈ ((ℂ ∪ {0}) ↑m0))
274nn0red 12586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
28 nn0re 12533 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
29 ltnle 11338 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3027, 28, 29syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3111ffnd 6738 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
3214ffnd 6738 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 Fn ℕ0)
33 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑘))
34 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑘))
3531, 32, 15, 15, 16, 33, 34ofval 7708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴f𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
3635adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴f𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
372nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3927adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4028adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
4140adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
422nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
433nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4442, 43addcomd 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
45 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 = (ℤ‘0)
463, 45eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
472nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
48 eluzadd 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
4946, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
5044, 49eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
5142addlidd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
5251fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
5350, 52eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
54 eluzle 12889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
57 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)
5838, 39, 41, 56, 57lelttrd 11417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 < 𝑘)
5938, 41ltnled 11406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑀))
6058, 59mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ¬ 𝑘𝑀)
61 coeeu.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
62 plyco0 26246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀)))
632, 11, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀)))
6461, 63mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
6564r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
6665adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
6766necon1bd 2956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (¬ 𝑘𝑀 → (𝐴𝑘) = 0))
6860, 67mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝐴𝑘) = 0)
693nn0red 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 ∈ ℝ)
712, 45eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
723nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
73 eluzadd 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
7471, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
7543addlidd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
7675fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑁)) = (ℤ𝑁))
7774, 76eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁))
78 eluzle 12889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
8170, 39, 41, 80, 57lelttrd 11417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 < 𝑘)
8270, 41ltnled 11406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑁))
8381, 82mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ¬ 𝑘𝑁)
84 coeeu.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
85 plyco0 26246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
863, 14, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
8784, 86mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
8887r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
8988adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
9089necon1bd 2956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (¬ 𝑘𝑁 → (𝐵𝑘) = 0))
9183, 90mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝐵𝑘) = 0)
9268, 91oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) = (0 − 0))
93 0m0e0 12384 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
9492, 93eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) = 0)
9536, 94eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴f𝐵)‘𝑘) = 0)
9695expr 456 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 → ((𝐴f𝐵)‘𝑘) = 0))
9730, 96sylbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁) → ((𝐴f𝐵)‘𝑘) = 0))
9897necon1ad 2955 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴f𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
9998ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴f𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
100 plyco0 26246 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴f𝐵):ℕ0⟶ℂ) → (((𝐴f𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴f𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
1014, 17, 100syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴f𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴f𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
10299, 101mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝐴f𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0})
103 df-0p 25719 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
104 fconstmpt 5751 . . . . 5 (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
105103, 104eqtri 2763 . . . 4 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
106 elfznn0 13657 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10735adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴f𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
108107oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴f𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)))
10911adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
110109ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
11114adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
112111ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
113 expcl 14117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
114113adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
115110, 112, 114subdird 11718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
116108, 115eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴f𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
117106, 116sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (((𝐴f𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
118117sumeq2dv 15735 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴f𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
119 fzfid 14011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
120110, 114mulcld 11279 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
121106, 120sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
122112, 114mulcld 11279 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
123106, 122sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
124119, 121, 123fsumsub 15821 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
125119, 121fsumcl 15766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
126 coeeu.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
127 coeeu.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
128126, 127eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
129128fveq1d 6909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧))
130129adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧))
131 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
132 sumex 15721 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
133 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
134133fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
135131, 132, 134sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
136 fzss2 13601 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
13753, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
138137adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
139138sselda 3995 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
140139, 121syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
141 eldifn 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
143 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
144143, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
145 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
146145, 45eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
14747adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
148 elfz5 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑘𝑀))
149146, 147, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑘𝑀))
15065, 149sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑀)))
151150adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑀)))
152151necon1bd 2956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝐴𝑘) = 0))
153144, 152sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝐴𝑘) = 0))
154142, 153mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
155154oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
156131, 144, 113syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
157156mul02d 11457 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
158155, 157eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
159138, 140, 158, 119fsumss 15758 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
160135, 159eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
161 sumex 15721 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
162 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
163162fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
164131, 161, 163sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
165 fzss2 13601 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
16677, 165syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
167166adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
168167sselda 3995 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
169168, 123syldan 591 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
170 eldifn 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
171170adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
172 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
173172, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17472adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
175 elfz5 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
176146, 174, 175syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
17788, 176sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
178177adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
179178necon1bd 2956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐵𝑘) = 0))
180173, 179sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐵𝑘) = 0))
181171, 180mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) = 0)
182181oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
183131, 173, 113syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
184183mul02d 11457 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
185182, 184eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
186167, 169, 185, 119fsumss 15758 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
187164, 186eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
188130, 160, 1873eqtr3d 2783 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
189125, 188subeq0bd 11687 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = 0)
190118, 124, 1893eqtrrd 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴f𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
191190mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴f𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
192105, 191eqtrid 2787 . . 3 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴f𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
1931, 4, 26, 102, 192plyeq0 26265 . 2 (𝜑 → (𝐴f𝐵) = (ℕ0 × {0}))
194 ofsubeq0 12261 . . 3 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴f𝐵) = (ℕ0 × {0}) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1959, 11, 14, 194mp3an2i 1465 . 2 (𝜑 → ((𝐴f𝐵) = (ℕ0 × {0}) ↔ 𝐴 = 𝐵))
196193, 195mpbid 232 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719  0𝑝c0p 25718  Polycply 26238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719
This theorem is referenced by:  coeeu  26279
  Copyright terms: Public domain W3C validator