Theorem coeeulem 26283

Description: Lemma for coeeu 26284. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coeeu.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeeu.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ↑m ℕ0))
coeeu.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ↑m ℕ0))
coeeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
coeeu.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
coeeu.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeeu.7	⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
coeeu.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
coeeu.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
coeeulem	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝜑,𝑘,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeulem

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4032	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2		coeeu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		coeeu.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nn0addcld 12617	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
5		subcl 11535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
7		coeeu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ↑m ℕ0))
8		cnex 11265	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
9		nn0ex 12559	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
10	8, 9	elmap 8929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11	7, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12		coeeu.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ↑m ℕ0))
13	8, 9	elmap 8929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℂ ↑m ℕ0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
14	12, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
15	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
16		inidm 4248	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
17	6, 11, 14, 15, 15, 16	off 7732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘f − 𝐵):ℕ0⟶ℂ)
18	8, 9	elmap 8929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∘f − 𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℕ0) ↔ (𝐴 ∘f − 𝐵):ℕ0⟶ℂ)
19	17, 18	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘f − 𝐵) ∈ (ℂ ↑m ℕ0))
20		0cn 11282	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
21		snssi 4833	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {0} ⊆ ℂ
23		ssequn2 4212	. . . . . 6 ⊢ ({0} ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∪ {0}) = ℂ)
24	22, 23	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∪ {0}) = ℂ
25	24	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∪ {0}) ↑m ℕ0) = (ℂ ↑m ℕ0)
26	19, 25	eleqtrrdi 2855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘f − 𝐵) ∈ ((ℂ ∪ {0}) ↑m ℕ0))
27	4	nn0red 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
28		nn0re 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
29		ltnle 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30	27, 28, 29	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
31	11	ffnd 6748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
32	14	ffnd 6748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Fn ℕ0)
33		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
34		eqidd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
35	31, 32, 15, 15, 16, 33, 34	ofval 7725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) − (𝐵‘𝑘)))
36	35	adantrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) − (𝐵‘𝑘)))
37	2	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
40	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
41	40	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	2	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
43	3	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
44	42, 43	addcomd 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
45		nn0uz 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
46	3, 45	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
47	2	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
48		eluzadd 12932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)))
49	46, 47, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)))
50	44, 49	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)))
51	42	addlidd 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
52	51	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
53	50, 52	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
54		eluzle 12916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
57		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)
58	38, 39, 41, 56, 57	lelttrd 11448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 < 𝑘)
59	38, 41	ltnled 11437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑀))
60	58, 59	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑀)
61		coeeu.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0})
62		plyco0 26251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑀)))
63	2, 11, 62	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑀)))
64	61, 63	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑀))
65	64	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑀))
66	65	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑀))
67	66	necon1bd 2964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (¬ 𝑘 ≤ 𝑀 → (𝐴‘𝑘) = 0))
68	60, 67	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝐴‘𝑘) = 0)
69	3	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 ∈ ℝ)
71	2, 45	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
72	3	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
73		eluzadd 12932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑁)))
74	71, 72, 73	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑁)))
75	43	addlidd 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
76	75	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 + 𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
77	74, 76	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
78		eluzle 12916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
81	70, 39, 41, 80, 57	lelttrd 11448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 < 𝑘)
82	70, 41	ltnled 11437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑁))
83	81, 82	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑁)
84		coeeu.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
85		plyco0 26251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
86	3, 14, 85	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)))
87	84, 86	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
88	87	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
89	88	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐵‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
90	89	necon1bd 2964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → (𝐵‘𝑘) = 0))
91	83, 90	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝐵‘𝑘) = 0)
92	68, 91	oveq12d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴‘𝑘) − (𝐵‘𝑘)) = (0 − 0))
93		0m0e0 12413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
94	92, 93	eqtrdi 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴‘𝑘) − (𝐵‘𝑘)) = 0)
95	36, 94	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) = 0)
96	95	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 → ((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) = 0))
97	30, 96	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁) → ((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) = 0))
98	97	necon1ad 2963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
99	98	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
100		plyco0 26251	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∘f − 𝐵):ℕ0⟶ℂ) → (((𝐴 ∘f − 𝐵) “ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
101	4, 17, 100	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ∘f − 𝐵) “ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
102	99, 101	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∘f − 𝐵) “ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0})
103		df-0p 25724	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
104		fconstmpt 5762	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
105	103, 104	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
106		elfznn0 13677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
107	35	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴‘𝑘) − (𝐵‘𝑘)))
108	107	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝐴‘𝑘) − (𝐵‘𝑘)) · (𝑧↑𝑘)))
109	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
110	109	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
111	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
112	111	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℂ)
113		expcl 14130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
114	113	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
115	110, 112, 114	subdird 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴‘𝑘) − (𝐵‘𝑘)) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) − ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
116	108, 115	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) − ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
117	106, 116	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) − ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
118	117	sumeq2dv 15750	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) − ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
119		fzfid 14024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
120	110, 114	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
121	106, 120	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
122	112, 114	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
123	106, 122	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
124	119, 121, 123	fsumsub 15836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) − ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
125	119, 121	fsumcl 15781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
126		coeeu.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
127		coeeu.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
128	126, 127	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
129	128	fveq1d 6922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧))
130	129	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧))
131		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
132		sumex 15736	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ V
133		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
134	133	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
135	131, 132, 134	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
136		fzss2 13624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
137	53, 136	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
138	137	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
139	138	sselda 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
140	139, 121	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
141		eldifn 4155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
142	141	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
143		eldifi 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
144	143, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
145		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
146	145, 45	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
147	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
148		elfz5 13576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑘 ≤ 𝑀))
149	146, 147, 148	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑘 ≤ 𝑀))
150	65, 149	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑀)))
151	150	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑀)))
152	151	necon1bd 2964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝐴‘𝑘) = 0))
153	144, 152	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝐴‘𝑘) = 0))
154	142, 153	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
155	154	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
156	131, 144, 113	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
157	156	mul02d 11488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
158	155, 157	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
159	138, 140, 158, 119	fsumss 15773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
160	135, 159	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
161		sumex 15736	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ V
162		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
163	162	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
164	131, 161, 163	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
165		fzss2 13624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
166	77, 165	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
167	166	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
168	167	sselda 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
169	168, 123	syldan 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
170		eldifn 4155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
171	170	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
172		eldifi 4154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
173	172, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
174	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
175		elfz5 13576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
176	146, 174, 175	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
177	88, 176	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
178	177	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
179	178	necon1bd 2964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐵‘𝑘) = 0))
180	173, 179	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐵‘𝑘) = 0))
181	171, 180	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵‘𝑘) = 0)
182	181	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
183	131, 173, 113	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
184	183	mul02d 11488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
185	182, 184	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
186	167, 169, 185, 119	fsumss 15773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
187	164, 186	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
188	130, 160, 187	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
189	125, 188	subeq0bd 11716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = 0)
190	118, 124, 189	3eqtrrd 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
191	190	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
192	105, 191	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴 ∘f − 𝐵)‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
193	1, 4, 26, 102, 192	plyeq0 26270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘f − 𝐵) = (ℕ0 × {0}))
194		ofsubeq0 12290	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 ∘f − 𝐵) = (ℕ0 × {0}) ↔ 𝐴 = 𝐵))
195	9, 11, 14, 194	mp3an2i 1466	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∘f − 𝐵) = (ℕ0 × {0}) ↔ 𝐴 = 𝐵))
196	193, 195	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   “ cima 5703  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   ↑_m cmap 8884  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  Σcsu 15734  0_𝑝c0p 25723  Polycply 26243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-0p 25724

This theorem is referenced by:  coeeu  26284