MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeulem 25974
Description: Lemma for coeeu 25975. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeu.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
coeeu.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ ↑m β„•0))
coeeu.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„‚ ↑m β„•0))
coeeu.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
coeeu.5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
coeeu.6 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
coeeu.7 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
coeeu.8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
coeeu.9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
coeeulem (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐡   πœ‘,π‘˜,𝑧   𝐴,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑀,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,π‘˜)   𝐹(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem coeeulem
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssidd 4005 . . 3 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
2 coeeu.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 coeeu.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
42, 3nn0addcld 12541 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0)
5 subcl 11464 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
65adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
7 coeeu.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ ↑m β„•0))
8 cnex 11195 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
9 nn0ex 12483 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
108, 9elmap 8869 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„‚ ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
117, 10sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
12 coeeu.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„‚ ↑m β„•0))
138, 9elmap 8869 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„‚ ↑m β„•0) ↔ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
1412, 13sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
159a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
16 inidm 4218 . . . . . 6 (β„•0 ∩ β„•0) = β„•0
176, 11, 14, 15, 15, 16off 7692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚)
188, 9elmap 8869 . . . . 5 ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) ∈ (β„‚ ↑m β„•0) ↔ (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚)
1917, 18sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) ∈ (β„‚ ↑m β„•0))
20 0cn 11211 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
21 snssi 4811 . . . . . . 7 (0 ∈ β„‚ β†’ {0} βŠ† β„‚)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6 {0} βŠ† β„‚
23 ssequn2 4183 . . . . . 6 ({0} βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ βˆͺ {0}) = β„‚)
2422, 23mpbi 229 . . . . 5 (β„‚ βˆͺ {0}) = β„‚
2524oveq1i 7422 . . . 4 ((β„‚ βˆͺ {0}) ↑m β„•0) = (β„‚ ↑m β„•0)
2619, 25eleqtrrdi 2843 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) ∈ ((β„‚ βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
274nn0red 12538 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
28 nn0re 12486 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
29 ltnle 11298 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝑁) < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ (𝑀 + 𝑁)))
3027, 28, 29syl2an 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 𝑁) < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ (𝑀 + 𝑁)))
3111ffnd 6718 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
3214ffnd 6718 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 Fn β„•0)
33 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
34 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
3531, 32, 15, 15, 16, 33, 34ofval 7685 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘˜)))
3635adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘˜)))
372nn0red 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3927adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4028adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4140adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
422nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
433nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
4442, 43addcomd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
45 nn0uz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
463, 45eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
472nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
48 eluzadd 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 𝑀)))
4946, 47, 48syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 𝑀) ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 𝑀)))
5044, 49eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 𝑀)))
5142addlidd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (0 + 𝑀) = 𝑀)
5251fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(0 + 𝑀)) = (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5350, 52eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
54 eluzle 12840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑀 + 𝑁))
57 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)
5838, 39, 41, 56, 57lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ 𝑀 < π‘˜)
5938, 41ltnled 11366 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ (𝑀 < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀))
6058, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀)
61 coeeu.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
62 plyco0 25942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)))
632, 11, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)))
6461, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
6564r19.21bi 3247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
6665adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
6766necon1bd 2957 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑀 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
6860, 67mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
693nn0red 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
712, 45eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
723nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
73 eluzadd 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 𝑁)))
7471, 72, 73syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 𝑁)))
7543addlidd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (0 + 𝑁) = 𝑁)
7675fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(0 + 𝑁)) = (β„€β‰₯β€˜π‘))
7774, 76eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
78 eluzle 12840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ≀ (𝑀 + 𝑁))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ (𝑀 + 𝑁))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ 𝑁 ≀ (𝑀 + 𝑁))
8170, 39, 41, 80, 57lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ 𝑁 < π‘˜)
8270, 41ltnled 11366 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ (𝑁 < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁))
8381, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁)
84 coeeu.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
85 plyco0 25942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
863, 14, 85syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
8784, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
8887r19.21bi 3247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
8988adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
9089necon1bd 2957 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = 0))
9183, 90mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = 0)
9268, 91oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘˜)) = (0 βˆ’ 0))
93 0m0e0 12337 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
9492, 93eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘˜)) = 0)
9536, 94eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < π‘˜)) β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) = 0)
9695expr 456 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 𝑁) < π‘˜ β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) = 0))
9730, 96sylbird 260 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ≀ (𝑀 + 𝑁) β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) = 0))
9897necon1ad 2956 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑀 + 𝑁)))
9998ralrimiva 3145 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑀 + 𝑁)))
100 plyco0 25942 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑀 + 𝑁))))
1014, 17, 100syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑀 + 𝑁))))
10299, 101mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0})
103 df-0p 25420 . . . . 5 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
104 fconstmpt 5738 . . . . 5 (β„‚ Γ— {0}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 0)
105103, 104eqtri 2759 . . . 4 0𝑝 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 0)
106 elfznn0 13599 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
10735adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘˜)))
108107oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘˜)) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
10911adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
110109ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
11114adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
112111ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
113 expcl 14050 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
114113adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
115110, 112, 114subdird 11676 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) βˆ’ (π΅β€˜π‘˜)) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) βˆ’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
116108, 115eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) βˆ’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
117106, 116sylan2 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) β†’ (((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) βˆ’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
118117sumeq2dv 15654 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) βˆ’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
119 fzfid 13943 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
120110, 114mulcld 11239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
121106, 120sylan2 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
122112, 114mulcld 11239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
123106, 122sylan2 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
124119, 121, 123fsumsub 15739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) βˆ’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
125119, 121fsumcl 15684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
126 coeeu.8 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
127 coeeu.9 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
128126, 127eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
129128fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§))
130129adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§))
131 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
132 sumex 15639 . . . . . . . . . 10 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ V
133 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
134133fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
135131, 132, 134sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
136 fzss2 13546 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 𝑁)))
13753, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 𝑁)))
138137adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑀) βŠ† (0...(𝑀 + 𝑁)))
139138sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
140139, 121syldan 590 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
141 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
143 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
144143, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
145 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
146145, 45eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
14747adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
148 elfz5 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↔ π‘˜ ≀ 𝑀))
149146, 147, 148syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↔ π‘˜ ≀ 𝑀))
15065, 149sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀)))
151150adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀)))
152151necon1bd 2957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
153144, 152sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
154142, 153mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
155154oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
156131, 144, 113syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
157156mul02d 11417 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
158155, 157eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑀))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
159138, 140, 158, 119fsumss 15676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
160135, 159eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
161 sumex 15639 . . . . . . . . . 10 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ V
162 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
163162fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
164131, 161, 163sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
165 fzss2 13546 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...(𝑀 + 𝑁)))
16677, 165syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...(𝑀 + 𝑁)))
167166adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...(𝑀 + 𝑁)))
168167sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
169168, 123syldan 590 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
170 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
171170adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
172 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
173172, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
17472adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
175 elfz5 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
176146, 174, 175syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
17788, 176sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁)))
178177adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁)))
179178necon1bd 2957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = 0))
180173, 179sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = 0))
181171, 180mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = 0)
182181oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
183131, 173, 113syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘§β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
184183mul02d 11417 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (0 Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
185182, 184eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = 0)
186167, 169, 185, 119fsumss 15676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
187164, 186eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘§) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
188130, 160, 1873eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
189125, 188subeq0bd 11645 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = 0)
190118, 124, 1893eqtrrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
191190mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 0) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
192105, 191eqtrid 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ 0𝑝 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
1931, 4, 26, 102, 192plyeq0 25961 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) = (β„•0 Γ— {0}))
194 ofsubeq0 12214 . . 3 ((β„•0 ∈ V ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) = (β„•0 Γ— {0}) ↔ 𝐴 = 𝐡))
1959, 11, 14, 194mp3an2i 1465 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡) = (β„•0 Γ— {0}) ↔ 𝐴 = 𝐡))
196193, 195mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672   ↑m cmap 8824  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15637  0𝑝c0p 25419  Polycply 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-0p 25420
This theorem is referenced by:  coeeu  25975
  Copyright terms: Public domain W3C validator