Theorem colinearalglem1 29237

Description: Lemma for colinearalg 29241. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))

Proof of Theorem colinearalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11570	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐹 ∈ ℂ)
5		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	subdid 11671	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)))
7	1, 2, 4	subdird 11672	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) = ((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)))
8	1, 2, 5	subdird 11672	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷) = ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)))
9	7, 8	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))))
10		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ ℂ)
12		mulcl 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
14		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		mulcl 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
16	14, 11, 15	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
17	13, 16	subcld 11570	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
18		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
19		mulcl 11185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
20	10, 18, 19	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
21		mulcl 11185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
22	14, 18, 21	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	17, 20, 22	subsub3d 11600	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐵 · 𝐷)))
24	17, 22, 20	addsubd 11591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐵 · 𝐷)) = ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)))
25	9, 23, 24	3eqtrrd 2803	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)))
26	13, 16, 20	subsub4d 11601	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))))
27	26	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
28	6, 25, 27	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
29		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30	29, 5	subcld 11570	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐸 − 𝐷) ∈ ℂ)
31		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
32	31, 2	subcld 11570	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
33	30, 32	mulcomd 11231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) · (𝐸 − 𝐷)))
34	32, 29, 5	subdid 11671	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · (𝐸 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)))
35	31, 2, 29	subdird 11672	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)))
36	31, 2, 5	subdird 11672	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷) = ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)))
37	35, 36	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))))
38		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
39		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐸 ∈ ℂ)
40		mulcl 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐸) ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐸) ∈ ℂ)
42		mulcl 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
43	14, 39, 42	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 11570	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
45		mulcl 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
46	38, 18, 45	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
47	44, 46, 22	subsub3d 11600	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐶 · 𝐷)))
48	44, 22, 46	addsubd 11591	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐶 · 𝐷)) = ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)))
49	37, 47, 48	3eqtrrd 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)))
50	41, 43, 46	subsub4d 11601	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))))
51	50	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
52	49, 51	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
53	33, 34, 52	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
54	28, 53	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷))))
55	16, 20	addcld 11229	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
56	13, 55	subcld 11570	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) ∈ ℂ)
57	43, 46	addcld 11229	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)) ∈ ℂ)
58	41, 57	subcld 11570	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) ∈ ℂ)
59	56, 58, 22	addcan2d 11415	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))
60	54, 59	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  colinearalglem2  29238