Theorem colinearalglem1 28869

Description: Lemma for colinearalg 28873. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))

Proof of Theorem colinearalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐹 ∈ ℂ)
5		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	subdid 11594	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)))
7	1, 2, 4	subdird 11595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) = ((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)))
8	1, 2, 5	subdird 11595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷) = ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)))
9	7, 8	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))))
10		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ ℂ)
12		mulcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
14		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		mulcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
16	14, 11, 15	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
17	13, 16	subcld 11493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
18		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
19		mulcl 11112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
20	10, 18, 19	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
21		mulcl 11112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
22	14, 18, 21	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	17, 20, 22	subsub3d 11523	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐵 · 𝐷)))
24	17, 22, 20	addsubd 11514	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐵 · 𝐷)) = ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)))
25	9, 23, 24	3eqtrrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)))
26	13, 16, 20	subsub4d 11524	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))))
27	26	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
28	6, 25, 27	3eqtr2d 2770	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
29		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30	29, 5	subcld 11493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐸 − 𝐷) ∈ ℂ)
31		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
32	31, 2	subcld 11493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
33	30, 32	mulcomd 11155	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) · (𝐸 − 𝐷)))
34	32, 29, 5	subdid 11594	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · (𝐸 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)))
35	31, 2, 29	subdird 11595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)))
36	31, 2, 5	subdird 11595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷) = ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)))
37	35, 36	oveq12d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))))
38		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
39		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐸 ∈ ℂ)
40		mulcl 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐸) ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐸) ∈ ℂ)
42		mulcl 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
43	14, 39, 42	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 11493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
45		mulcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
46	38, 18, 45	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
47	44, 46, 22	subsub3d 11523	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐶 · 𝐷)))
48	44, 22, 46	addsubd 11514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐶 · 𝐷)) = ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)))
49	37, 47, 48	3eqtrrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)))
50	41, 43, 46	subsub4d 11524	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))))
51	50	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
52	49, 51	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
53	33, 34, 52	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
54	28, 53	eqeq12d 2745	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷))))
55	16, 20	addcld 11153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
56	13, 55	subcld 11493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) ∈ ℂ)
57	43, 46	addcld 11153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)) ∈ ℂ)
58	41, 57	subcld 11493	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) ∈ ℂ)
59	56, 58, 22	addcan2d 11338	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))
60	54, 59	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  colinearalglem2  28870