MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colinearalglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinearalglem1 28704
Description: Lemma for colinearalg 28708. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท (๐น โˆ’ ๐ท)) = ((๐ธ โˆ’ ๐ท) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†” ((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))) = ((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท)))))

Proof of Theorem colinearalglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2 1190 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2 simpl1 1189 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31, 2subcld 11593 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 simpr3 1194 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
5 simpr1 1192 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
63, 4, 5subdid 11692 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท (๐น โˆ’ ๐ท)) = (((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท ๐น) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท)))
71, 2, 4subdird 11693 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท ๐น) = ((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)))
81, 2, 5subdird 11693 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท) = ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))
97, 8oveq12d 7432 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท ๐น) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท)) = (((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆ’ ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
10 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
12 mulcl 11214 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
1310, 11, 12syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
14 simp1 1134 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 mulcl 11214 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
1614, 11, 15syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐น) โˆˆ โ„‚)
1713, 16subcld 11593 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆˆ โ„‚)
18 simp1 1134 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
19 mulcl 11214 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2010, 18, 19syl2an 595 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
21 mulcl 11214 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2214, 18, 21syl2an 595 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2317, 20, 22subsub3d 11623 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆ’ ((๐ต ยท ๐ท) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) = ((((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)))
2417, 22, 20addsubd 11614 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) = ((((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (๐ด ยท ๐ท)))
259, 23, 243eqtrrd 2772 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (๐ด ยท ๐ท)) = (((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท ๐น) โˆ’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท)))
2613, 16, 20subsub4d 11624 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) = ((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))))
2726oveq1d 7429 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐น) โˆ’ (๐ด ยท ๐น)) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (๐ด ยท ๐ท)) = (((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท)))
286, 25, 273eqtr2d 2773 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท (๐น โˆ’ ๐ท)) = (((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท)))
29 simpr2 1193 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
3029, 5subcld 11593 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ธ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„‚)
31 simpl3 1191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3231, 2subcld 11593 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3330, 32mulcomd 11257 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ธ โˆ’ ๐ท) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท (๐ธ โˆ’ ๐ท)))
3432, 29, 5subdid 11692 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท (๐ธ โˆ’ ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท)))
3531, 2, 29subdird 11693 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ธ) = ((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)))
3631, 2, 5subdird 11693 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท) = ((๐ถ ยท ๐ท) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท)))
3735, 36oveq12d 7432 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท)) = (((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ท) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))))
38 simp3 1136 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
39 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
40 mulcl 11214 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
4138, 39, 40syl2an 595 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11214 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
4314, 39, 42syl2an 595 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ด ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
4441, 43subcld 11593 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„‚)
45 mulcl 11214 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4638, 18, 45syl2an 595 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4744, 46, 22subsub3d 11623 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ท) โˆ’ (๐ด ยท ๐ท))) = ((((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ท)))
4844, 22, 46addsubd 11614 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) + (๐ด ยท ๐ท)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ท)) = ((((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ท)) + (๐ด ยท ๐ท)))
4937, 47, 483eqtrrd 2772 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ท)) + (๐ด ยท ๐ท)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท)))
5041, 43, 46subsub4d 11624 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท))))
5150oveq1d 7429 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ธ)) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ท)) + (๐ด ยท ๐ท)) = (((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท)))
5249, 51eqtr3d 2769 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ถ โˆ’ ๐ด) ยท ๐ท)) = (((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท)))
5333, 34, 523eqtrd 2771 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ธ โˆ’ ๐ท) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท)))
5428, 53eqeq12d 2743 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท (๐น โˆ’ ๐ท)) = ((๐ธ โˆ’ ๐ท) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†” (((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท)) = (((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท))))
5516, 20addcld 11255 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
5613, 55subcld 11593 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
5743, 46addcld 11255 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
5841, 57subcld 11593 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
5956, 58, 22addcan2d 11440 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท)) = (((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท))) + (๐ด ยท ๐ท)) โ†” ((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))) = ((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท)))))
6054, 59bitrd 279 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((๐ต โˆ’ ๐ด) ยท (๐น โˆ’ ๐ท)) = ((๐ธ โˆ’ ๐ท) ยท (๐ถ โˆ’ ๐ด)) โ†” ((๐ต ยท ๐น) โˆ’ ((๐ด ยท ๐น) + (๐ต ยท ๐ท))) = ((๐ถ ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐ด ยท ๐ธ) + (๐ถ ยท ๐ท)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11468
This theorem is referenced by:  colinearalglem2  28705
  Copyright terms: Public domain W3C validator