Theorem colinearalglem1 29063

Description: Lemma for colinearalg 29067. Expand out a multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
colinearalglem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))

Proof of Theorem colinearalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl1 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11535	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr3 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐹 ∈ ℂ)
5		simpr1 1207	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	subdid 11636	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)))
7	1, 2, 4	subdird 11637	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) = ((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)))
8	1, 2, 5	subdird 11637	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷) = ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)))
9	7, 8	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))))
10		simp2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		simp3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ ℂ)
12		mulcl 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	syl2an 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐹) ∈ ℂ)
14		simp1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		mulcl 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
16	14, 11, 15	syl2an 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐹) ∈ ℂ)
17	13, 16	subcld 11535	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) ∈ ℂ)
18		simp1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
19		mulcl 11150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
20	10, 18, 19	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
21		mulcl 11150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
22	14, 18, 21	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	17, 20, 22	subsub3d 11565	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − ((𝐵 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐵 · 𝐷)))
24	17, 22, 20	addsubd 11556	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐵 · 𝐷)) = ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)))
25	9, 23, 24	3eqtrrd 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐵 − 𝐴) · 𝐹) − ((𝐵 − 𝐴) · 𝐷)))
26	13, 16, 20	subsub4d 11566	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))))
27	26	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − (𝐴 · 𝐹)) − (𝐵 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
28	6, 25, 27	3eqtr2d 2802	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
29		simpr2 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐸 ∈ ℂ)
30	29, 5	subcld 11535	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐸 − 𝐷) ∈ ℂ)
31		simpl3 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
32	31, 2	subcld 11535	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
33	30, 32	mulcomd 11196	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐴) · (𝐸 − 𝐷)))
34	32, 29, 5	subdid 11636	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · (𝐸 − 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)))
35	31, 2, 29	subdird 11637	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) = ((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)))
36	31, 2, 5	subdird 11637	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷) = ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷)))
37	35, 36	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))))
38		simp3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
39		simp2 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ) → 𝐸 ∈ ℂ)
40		mulcl 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐸) ∈ ℂ)
41	38, 39, 40	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐸) ∈ ℂ)
42		mulcl 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
43	14, 39, 42	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
44	41, 43	subcld 11535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) ∈ ℂ)
45		mulcl 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
46	38, 18, 45	syl2an 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
47	44, 46, 22	subsub3d 11565	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − ((𝐶 · 𝐷) − (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐶 · 𝐷)))
48	44, 22, 46	addsubd 11556	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) + (𝐴 · 𝐷)) − (𝐶 · 𝐷)) = ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)))
49	37, 47, 48	3eqtrrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)))
50	41, 43, 46	subsub4d 11566	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))))
51	50	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐶 · 𝐸) − (𝐴 · 𝐸)) − (𝐶 · 𝐷)) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
52	49, 51	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐶 − 𝐴) · 𝐸) − ((𝐶 − 𝐴) · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
53	33, 34, 52	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)))
54	28, 53	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ (((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷))))
55	16, 20	addcld 11194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
56	13, 55	subcld 11535	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) ∈ ℂ)
57	43, 46	addcld 11194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)) ∈ ℂ)
58	41, 57	subcld 11535	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) ∈ ℂ)
59	56, 58, 22	addcan2d 11380	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → ((((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) = (((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷))) + (𝐴 · 𝐷)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))
60	54, 59	bitrd 281	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ)) → (((𝐵 − 𝐴) · (𝐹 − 𝐷)) = ((𝐸 − 𝐷) · (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((𝐵 · 𝐹) − ((𝐴 · 𝐹) + (𝐵 · 𝐷))) = ((𝐶 · 𝐸) − ((𝐴 · 𝐸) + (𝐶 · 𝐷)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390  ℂcc 11064   + caddc 11069   · cmul 11071   − cmin 11407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-sub 11409

This theorem is referenced by:  colinearalglem2  29064