Theorem subsub3d 11535

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsub3d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐵))

Proof of Theorem subsub3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub3 11426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  12431  bcpasc  14283  pfxccatin12lem2  14693  spllen  14716  revccat  14728  cshwidxmod  14765  fsumparts  15769  binomlem  15794  fallfacfwd  16001  binomfallfaclem2  16005  4sqlem5  16913  4sqlem12  16927  srgbinomlem4  20210  psdmul  22132  ovollb2lem  25455  dvcvx  25987  dvfsumlem4  25996  heron  26802  selberg3lem1  27520  pntrsumo1  27528  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem5  27544  brbtwn2  28974  colinearalglem1  28975  colinearalglem2  28976  colinearalglem4  28978  crctcshwlkn0lem6  29883  clwlkclwwlklem3  30071  constrrtcc  33879  fwddifnp1  36347  dnibndlem7  36744  dnibndlem8  36745  sticksstones10  42594  dvnmul  46371  stoweidlem21  46449  wallispilem5  46497  fourierdlem42  46577  fourierdlem63  46597  submodlt  47798  gpgedgvtx1  48532