Theorem cutpos 27794

Description: Reduce the elements of a cut for a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutpos.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
cutpos.2	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cutpos	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({ 0s } ∪ {𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∣ 0s <s 𝑥}) |s ( R ‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem cutpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lltropt 27740	. . 3 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
3		cutpos.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		lrcut 27770	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)))
7		cutpos.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
8	3, 7	0elleft 27777	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))
9	2, 6, 8	cutlt 27793	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({ 0s } ∪ {𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∣ 0s <s 𝑥}) |s ( R ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   ∪ cun 3939  {csn 4621   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   No csur 27514   <s cslt 27515   <<s csslt 27654   |s cscut 27656   0_s c0s 27696   L cleft 27713   R cright 27714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27517  df-slt 27518  df-bday 27519  df-sle 27619  df-sslt 27655  df-scut 27657  df-0s 27698  df-made 27715  df-old 27716  df-left 27718  df-right 27719

This theorem is referenced by:  precsexlem11  28056