Theorem cutpos 27903

Description: Reduce the elements of a cut for a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutpos.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
cutpos.2	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cutpos	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({ 0s } ∪ {𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∣ 0s <s 𝑥}) |s ( R ‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem cutpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lltropt 27847	. . 3 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
3		cutpos.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		lrcut 27877	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)))
7		cutpos.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐴)
8	3, 7	0elleft 27884	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( L ‘𝐴))
9	2, 6, 8	cutlt 27902	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({ 0s } ∪ {𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∣ 0s <s 𝑥}) |s ( R ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3419   ∪ cun 3929  {csn 4606   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   No csur 27620   <s cslt 27621   <<s csslt 27761   |s cscut 27763   0_s c0s 27803   L cleft 27820   R cright 27821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-1o 8488  df-2o 8489  df-no 27623  df-slt 27624  df-bday 27625  df-sle 27726  df-sslt 27762  df-scut 27764  df-0s 27805  df-made 27822  df-old 27823  df-left 27825  df-right 27826

This theorem is referenced by:  precsexlem11  28177