Theorem lltropt 27791

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltropt	⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Proof of Theorem lltropt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltleft 27789	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
2		ssltright 27790	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
3		snnzg 4741	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sslttr 27726	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s ( R ‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
6		0elpw 5314	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulssgt 27717	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 27784	. . . . . 6 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6702	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
12		ndmfv 6896	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → ( L ‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = ∅)
14		rightf 27785	. . . . . 6 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6702	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
17		ndmfv 6896	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → ( R ‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5142	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ‘cfv 6514   No csur 27558   <<s csslt 27699   L cleft 27760   R cright 27761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-1o 8437  df-2o 8438  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765  df-right 27766

This theorem is referenced by:  madebdaylemlrcut  27817  madebday  27818  scutfo  27823  sltn0  27824  sltlpss  27826  slelss  27827  cutpos  27848  addsproplem2  27884  addsasslem1  27917  addsasslem2  27918  negsproplem2  27942  negsid  27954  mulsproplem5  28030  mulsproplem6  28031  mulsproplem7  28032  mulsproplem8  28033  addsdilem1  28061  mulsasslem1  28073  mulsasslem2  28074  precsexlem11  28126  onscutlt  28172  n0sfincut  28253  halfcut  28340