Theorem lltropt 27929

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltropt	⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Proof of Theorem lltropt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltleft 27927	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
2		ssltright 27928	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
3		snnzg 4799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sslttr 27870	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s ( R ‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
6		0elpw 5374	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulssgt 27861	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 27922	. . . . . 6 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6758	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2836	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
12		ndmfv 6955	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → ( L ‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = ∅)
14		rightf 27923	. . . . . 6 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6758	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2836	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
17		ndmfv 6955	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → ( R ‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5198	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573   No csur 27702   <<s csslt 27843   L cleft 27902   R cright 27903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-1o 8522  df-2o 8523  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-made 27904  df-old 27905  df-left 27907  df-right 27908

This theorem is referenced by:  madebdaylemlrcut  27955  madebday  27956  scutfo  27960  sltn0  27961  sltlpss  27963  slelss  27964  cutpos  27985  addsproplem2  28021  addsasslem1  28054  addsasslem2  28055  negsproplem2  28079  negsid  28091  mulsproplem5  28164  mulsproplem6  28165  mulsproplem7  28166  mulsproplem8  28167  addsdilem1  28195  mulsasslem1  28207  mulsasslem2  28208  precsexlem11  28259  halfcut  28434