Theorem lltropt 27786

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltropt	⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Proof of Theorem lltropt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltleft 27784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
2		ssltright 27785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
3		snnzg 4726	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sslttr 27718	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s ( R ‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
6		0elpw 5295	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulssgt 27709	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 27779	. . . . . 6 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6663	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
12		ndmfv 6855	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → ( L ‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = ∅)
14		rightf 27780	. . . . . 6 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6663	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
17		ndmfv 6855	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → ( R ‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5124	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ‘cfv 6482   No csur 27549   <<s csslt 27691   L cleft 27755   R cright 27756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-1o 8388  df-2o 8389  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554  df-sslt 27692  df-scut 27694  df-made 27757  df-old 27758  df-left 27760  df-right 27761

This theorem is referenced by:  madebdaylemlrcut  27813  madebday  27814  scutfo  27819  sltn0  27820  sltlpss  27822  slelss  27823  bdayiun  27829  cutpos  27846  addsproplem2  27882  addsasslem1  27915  addsasslem2  27916  negsproplem2  27940  negsid  27952  mulsproplem5  28028  mulsproplem6  28029  mulsproplem7  28030  mulsproplem8  28031  addsdilem1  28059  mulsasslem1  28071  mulsasslem2  28072  precsexlem11  28124  onscutlt  28170  n0sfincut  28251  halfcut  28346