Theorem lltropt 27911

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltropt	⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Proof of Theorem lltropt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltleft 27909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
2		ssltright 27910	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
3		snnzg 4774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sslttr 27852	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s ( R ‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
6		0elpw 5356	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulssgt 27843	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 27904	. . . . . 6 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6747	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
12		ndmfv 6941	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → ( L ‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = ∅)
14		rightf 27905	. . . . . 6 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6747	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
17		ndmfv 6941	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → ( R ‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5175	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ‘cfv 6561   No csur 27684   <<s csslt 27825   L cleft 27884   R cright 27885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890

This theorem is referenced by:  madebdaylemlrcut  27937  madebday  27938  scutfo  27942  sltn0  27943  sltlpss  27945  slelss  27946  cutpos  27967  addsproplem2  28003  addsasslem1  28036  addsasslem2  28037  negsproplem2  28061  negsid  28073  mulsproplem5  28146  mulsproplem6  28147  mulsproplem7  28148  mulsproplem8  28149  addsdilem1  28177  mulsasslem1  28189  mulsasslem2  28190  precsexlem11  28241  halfcut  28416