Theorem lltropt 27836

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltropt	⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Proof of Theorem lltropt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltleft 27834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
2		ssltright 27835	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
3		snnzg 4750	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sslttr 27771	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s ( R ‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
6		0elpw 5326	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulssgt 27762	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 27829	. . . . . 6 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6717	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2826	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
12		ndmfv 6911	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → ( L ‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = ∅)
14		rightf 27830	. . . . . 6 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6717	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2826	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
17		ndmfv 6911	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → ( R ‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5151	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  {csn 4601   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531   No csur 27603   <<s csslt 27744   L cleft 27805   R cright 27806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811

This theorem is referenced by:  madebdaylemlrcut  27862  madebday  27863  scutfo  27868  sltn0  27869  sltlpss  27871  slelss  27872  cutpos  27893  addsproplem2  27929  addsasslem1  27962  addsasslem2  27963  negsproplem2  27987  negsid  27999  mulsproplem5  28075  mulsproplem6  28076  mulsproplem7  28077  mulsproplem8  28078  addsdilem1  28106  mulsasslem1  28118  mulsasslem2  28119  precsexlem11  28171  onscutlt  28217  n0sfincut  28298  halfcut  28385