Theorem cutsfo 27968

Description: The surreal cut function is onto. (Contributed by Scott Fenton, 23-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cutsfo	⊢ |s : <<s –onto→ No

Proof of Theorem cutsfo

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutsf 27855	. 2 ⊢ |s : <<s ⟶ No
2		lltr 27925	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝑥) <<s ( R ‘𝑥)
3		df-br 5095	. . . . 5 ⊢ (( L ‘𝑥) <<s ( R ‘𝑥) ↔ ⟨( L ‘𝑥), ( R ‘𝑥)⟩ ∈ <<s )
4	2, 3	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ⟨( L ‘𝑥), ( R ‘𝑥)⟩ ∈ <<s
5		lrcut 27967	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → (( L ‘𝑥) |s ( R ‘𝑥)) = 𝑥)
6	5	eqcomd 2762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 = (( L ‘𝑥) |s ( R ‘𝑥)))
7		fveq2 6856	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ⟨( L ‘𝑥), ( R ‘𝑥)⟩ → ( |s ‘𝑦) = ( |s ‘⟨( L ‘𝑥), ( R ‘𝑥)⟩))
8		df-ov 7388	. . . . . 6 ⊢ (( L ‘𝑥) |s ( R ‘𝑥)) = ( |s ‘⟨( L ‘𝑥), ( R ‘𝑥)⟩)
9	7, 8	eqtr4di 2809	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ⟨( L ‘𝑥), ( R ‘𝑥)⟩ → ( |s ‘𝑦) = (( L ‘𝑥) |s ( R ‘𝑥)))
10	9	rspceeqv 3599	. . . 4 ⊢ ((⟨( L ‘𝑥), ( R ‘𝑥)⟩ ∈ <<s ∧ 𝑥 = (( L ‘𝑥) |s ( R ‘𝑥))) → ∃𝑦 ∈ <<s 𝑥 = ( |s ‘𝑦))
11	4, 6, 10	sylancr 595	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ No → ∃𝑦 ∈ <<s 𝑥 = ( |s ‘𝑦))
12	11	rgen 3072	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ No ∃𝑦 ∈ <<s 𝑥 = ( |s ‘𝑦)
13		dffo3 7072	. 2 ⊢ ( |s : <<s –onto→ No ↔ ( |s : <<s ⟶ No ∧ ∀𝑥 ∈ No ∃𝑦 ∈ <<s 𝑥 = ( |s ‘𝑦)))
14	1, 12, 13	mpbir2an 719	1 ⊢ |s : <<s –onto→ No

Syntax hints:   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  ∃wrex 3080  ⟨cop 4582   class class class wbr 5094  ⟶wf 6506  –onto→wfo 6508  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   No csur 27674   <<s cslts 27820   |s ccuts 27822   L cleft 27888   R cright 27889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-1o 8425  df-2o 8426  df-no 27677  df-lts 27678  df-bday 27679  df-slts 27821  df-cuts 27823  df-made 27890  df-old 27891  df-left 27893  df-right 27894

This theorem is referenced by: (None)