Theorem cvmfo 35332

Description: A covering map is an onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift.1	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmfo.2	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cvmfo	⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹:𝐵–onto→𝑋)

Proof of Theorem cvmfo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))}) = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2	1	cvmscbv 35290	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))}) = (𝑎 ∈ 𝐽 ↦ {𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑏 = (◡𝐹 “ 𝑎) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (∀𝑑 ∈ (𝑏 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑎))))})
3		cvmlift.1	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
4		cvmfo.2	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	2, 3, 4	cvmfolem 35311	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹:𝐵–onto→𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550  {csn 4576  ∪ cuni 4859   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615   ↾ cres 5618   “ cima 5619  –onto→wfo 6479  (class class class)co 7346   ↾_t crest 17321  Homeochmeo 23666   CovMap ccvm 35287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8752  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295  df-rest 17323  df-topgen 17344  df-top 22807  df-topon 22824  df-bases 22859  df-cn 23140  df-hmeo 23668  df-cvm 35288

This theorem is referenced by: (None)