Theorem cvmfo 34587

Description: A covering map is an onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift.1	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmfo.2	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cvmfo	⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹:𝐵–onto→𝑋)

Proof of Theorem cvmfo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))}) = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2	1	cvmscbv 34545	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))}) = (𝑎 ∈ 𝐽 ↦ {𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑏 = (◡𝐹 “ 𝑎) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (∀𝑑 ∈ (𝑏 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑎))))})
3		cvmlift.1	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
4		cvmfo.2	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	2, 3, 4	cvmfolem 34566	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹:𝐵–onto→𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  {crab 3430   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  ∪ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  ^◡ccnv 5676   ↾ cres 5679   “ cima 5680  –onto→wfo 6542  (class class class)co 7413   ↾_t crest 17372  Homeochmeo 23479   CovMap ccvm 34542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8826  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-cn 22953  df-hmeo 23481  df-cvm 34543

This theorem is referenced by: (None)