Theorem cvmlift 35502

Description: One of the important properties of covering maps is that any path 𝐺 in the base space "lifts" to a path 𝑓 in the covering space such that 𝐹 ∘ 𝑓 = 𝐺, and given a starting point 𝑃 in the covering space this lift is unique. The proof is contained in cvmliftlem1 35488 thru cvmliftlem15 35501. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmlift.1	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
cvmlift	⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))) → ∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝐵,𝑓

Proof of Theorem cvmlift

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))}) = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
2	1	cvmscbv 35461	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))}) = (𝑎 ∈ 𝐽 ↦ {𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑏 = (◡𝐹 “ 𝑎) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (∀𝑑 ∈ (𝑏 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑎))))})
3		cvmlift.1	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
4		eqid 2737	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5		simpll 767	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
6		simplr 769	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
7		simprl 771	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		simprr 773	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))) → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cvmliftlem15 35501	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))) → ∃!𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃!wreu 3341  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   “ cima 5625   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027   ↾_t crest 17372   Cn ccn 23198  Homeochmeo 23727  IIcii 24851   CovMap ccvm 35458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-ec 8636  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cld 22993  df-ntr 22994  df-cls 22995  df-nei 23072  df-cn 23201  df-cnp 23202  df-cmp 23361  df-conn 23386  df-lly 23440  df-nlly 23441  df-tx 23536  df-hmeo 23729  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-ii 24853  df-cncf 24854  df-htpy 24946  df-phtpy 24947  df-phtpc 24968  df-pconn 35424  df-sconn 35425  df-cvm 35459

This theorem is referenced by:  cvmliftiota  35504  cvmliftphtlem  35520  cvmlift3lem6  35527  cvmlift3lem9  35530