Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem3N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihmeetlem3N 40164
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihmeetlem3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem3N ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
Proof of Theorem dihmeetlem3N
StepHypRef Expression
1 simp2lr 1241 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)
2 oveq1 7412 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
3 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)
42, 3sylan9eqr 2794 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)
5 dihmeetlem3.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 dihmeetlem3.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 simp11l 1284 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
87hllatd 38222 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simp2ll 1240 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
10 dihmeetlem3.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
115, 10atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
129, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
13 simp12l 1286 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
14 simp12r 1287 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 dihmeetlem3.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
165, 15latmcl 18389 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
178, 13, 14, 16syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
18 simp11r 1285 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
19 dihmeetlem3.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
205, 19lhpbase 38857 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2118, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
225, 15latmcl 18389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
238, 13, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
24 dihmeetlem3.j . . . . . . . . . . . 12 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
255, 6, 24latlej1 18397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
268, 12, 23, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
27 simp2r 1200 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
2826, 27breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑄 ≀ 𝑋)
295, 15latmcl 18389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
308, 14, 21, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
315, 6, 24latlej1 18397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
328, 12, 30, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
33 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)
3432, 33breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑄 ≀ π‘Œ)
355, 6, 15latlem12 18415 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑄 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
368, 12, 13, 14, 35syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ ((𝑄 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑄 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
3728, 34, 36mpbi2and 710 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
38 simp13 1205 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)
395, 6, 8, 12, 17, 21, 37, 38lattrd 18395 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ (𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ 𝑄 ≀ π‘Š)
40393exp 1119 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) β†’ (((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((𝑄 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ β†’ 𝑄 ≀ π‘Š)))
414, 40syl7 74 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) β†’ (((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝑄 ≀ π‘Š)))
4241exp4a 432 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) β†’ (((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ (((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ 𝑄 ≀ π‘Š))))
43423imp 1111 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)) β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ 𝑄 ≀ π‘Š))
4443necon3bd 2954 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š β†’ 𝑄 β‰  𝑅))
451, 44mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator