Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem7N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihmeetlem7N 40273
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem7.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem7N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Proof of Theorem dihmeetlem7N
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
2 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hlatl 38322 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
42, 3syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
5 simprl 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
6 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 dihmeetlem7.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 dihmeetlem7.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dihmeetlem7.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
11 dihmeetlem7.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
127, 8, 9, 10, 11atnle 38279 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
134, 5, 6, 12syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
141, 13mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
1514oveq2d 7427 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
162hllatd 38326 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 simpl2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
187, 9latmcl 18395 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
1916, 17, 6, 18syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
207, 8, 9latmle2 18420 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
2116, 17, 6, 20syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
22 dihmeetlem7.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
237, 8, 22, 9, 11atmod1i2 38822 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ))
242, 5, 19, 6, 21, 23syl131anc 1383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ))
25 hlol 38323 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
262, 25syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
277, 22, 10olj01 38187 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2826, 19, 27syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2915, 24, 283eqtr3d 2780 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  joincjn 18266  meetcmee 18267  0.cp0 18378  Latclat 18386  OLcol 38136  Atomscatm 38225  AtLatcal 38226  HLchlt 38312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator