Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem7N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihmeetlem7N 40485
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem7.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem7N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Proof of Theorem dihmeetlem7N
StepHypRef Expression
1 simprr 770 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
2 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hlatl 38534 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
42, 3syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
5 simprl 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
6 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 dihmeetlem7.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 dihmeetlem7.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dihmeetlem7.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2731 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
11 dihmeetlem7.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
127, 8, 9, 10, 11atnle 38491 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
134, 5, 6, 12syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
141, 13mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
1514oveq2d 7428 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
162hllatd 38538 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 simpl2 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
187, 9latmcl 18398 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
1916, 17, 6, 18syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
207, 8, 9latmle2 18423 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
2116, 17, 6, 20syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
22 dihmeetlem7.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
237, 8, 22, 9, 11atmod1i2 39034 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ))
242, 5, 19, 6, 21, 23syl131anc 1382 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ))
25 hlol 38535 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
262, 25syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
277, 22, 10olj01 38399 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2826, 19, 27syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2915, 24, 283eqtr3d 2779 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  0.cp0 18381  Latclat 18389  OLcol 38348  Atomscatm 38437  AtLatcal 38438  HLchlt 38524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator