Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem7N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetlem7N 39823
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem7.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem7.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem7N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ π‘Œ))

Proof of Theorem dihmeetlem7N
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
2 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hlatl 37872 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
42, 3syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
5 simprl 770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
6 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 dihmeetlem7.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 dihmeetlem7.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dihmeetlem7.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2733 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
11 dihmeetlem7.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
127, 8, 9, 10, 11atnle 37829 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
134, 5, 6, 12syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
141, 13mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
1514oveq2d 7377 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
162hllatd 37876 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
187, 9latmcl 18337 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
1916, 17, 6, 18syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
207, 8, 9latmle2 18362 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
2116, 17, 6, 20syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
22 dihmeetlem7.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
237, 8, 22, 9, 11atmod1i2 38372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ))
242, 5, 19, 6, 21, 23syl131anc 1384 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑝 ∧ π‘Œ)) = (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ))
25 hlol 37873 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
262, 25syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
277, 22, 10olj01 37737 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2826, 19, 27syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
2915, 24, 283eqtr3d 2781 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  lecple 17148  joincjn 18208  meetcmee 18209  0.cp0 18320  Latclat 18328  OLcol 37686  Atomscatm 37775  AtLatcal 37776  HLchlt 37862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator