Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simprr 772 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
2 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
3 | | hlatl 37872 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β AtLat) |
5 | | simprl 770 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
6 | | simpl3 1194 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
7 | | dihmeetlem7.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
8 | | dihmeetlem7.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | dihmeetlem7.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
11 | | dihmeetlem7.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 7, 8, 9, 10, 11 | atnle 37829 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ π β π΅) β (Β¬ π β€ π β (π β§ π) = (0.βπΎ))) |
13 | 4, 5, 6, 12 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (Β¬ π β€ π β (π β§ π) = (0.βπΎ))) |
14 | 1, 13 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
15 | 14 | oveq2d 7377 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = ((π β§ π) β¨ (0.βπΎ))) |
16 | 2 | hllatd 37876 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
17 | | simpl2 1193 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
18 | 7, 9 | latmcl 18337 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
19 | 16, 17, 6, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) β π΅) |
20 | 7, 8, 9 | latmle2 18362 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β€ π) |
21 | 16, 17, 6, 20 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) β€ π) |
22 | | dihmeetlem7.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
23 | 7, 8, 22, 9, 11 | atmod1i2 38372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = (((π β§ π) β¨ π) β§ π)) |
24 | 2, 5, 19, 6, 21, 23 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = (((π β§ π) β¨ π) β§ π)) |
25 | | hlol 37873 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
26 | 2, 25 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β OL) |
27 | 7, 22, 10 | olj01 37737 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ (π β§ π) β π΅) β ((π β§ π) β¨ (0.βπΎ)) = (π β§ π)) |
28 | 26, 19, 27 | syl2anc 585 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((π β§ π) β¨ (0.βπΎ)) = (π β§ π)) |
29 | 15, 24, 28 | 3eqtr3d 2781 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((π β§ π) β¨ π) β§ π) = (π β§ π)) |