Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1203 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp11l 1284 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37417 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β πΎ β Lat) |
4 | | simp12 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
5 | | simp13 1205 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
6 | | dihjatc1.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | dihjatc1.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
8 | 6, 7 | latmcl 18199 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
9 | 3, 4, 5, 8 | syl3anc 1371 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β§ π) β π΅) |
10 | | simp2l 1199 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΄) |
11 | | dihjatc1.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 6, 11 | atbase 37342 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
13 | 10, 12 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
14 | | dihjatc1.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | 6, 14 | latjcl 18198 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π β§ π) β¨ π) β π΅) |
16 | 3, 9, 13, 15 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((π β§ π) β¨ π) β π΅) |
17 | | simp2 1137 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
18 | | simp3l 1201 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β€ π) |
19 | | dihjatc1.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
20 | | dihjatc1.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
21 | 6, 19, 20, 14, 7, 11 | dihmeetlem6 39362 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π)) β Β¬ (π β§ (π β¨ π)) β€ π) |
22 | 1, 4, 5, 17, 18, 21 | syl32anc 1378 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β Β¬ (π β§ (π β¨ π)) β€ π) |
23 | 6, 19, 14, 7, 11 | dihmeetlem5 39361 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β (π β§ (π β¨ π)) = ((π β§ π) β¨ π)) |
24 | 2, 4, 5, 10, 18, 23 | syl32anc 1378 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β§ (π β¨ π)) = ((π β§ π) β¨ π)) |
25 | 24 | breq1d 5091 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((π β§ (π β¨ π)) β€ π β ((π β§ π) β¨ π) β€ π)) |
26 | 22, 25 | mtbid 325 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β Β¬ ((π β§ π) β¨ π) β€ π) |
27 | 6, 19, 14 | latlej2 18208 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β π β€ ((π β§ π) β¨ π)) |
28 | 3, 9, 13, 27 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β€ ((π β§ π) β¨ π)) |
29 | | dihjatc1.i |
. . . 4
β’ πΌ = ((DIsoHβπΎ)βπ) |
30 | | dihjatc1.u |
. . . 4
β’ π = ((DVecHβπΎ)βπ) |
31 | | dihjatc1.s |
. . . 4
β’ β =
(LSSumβπ) |
32 | 6, 19, 14, 7, 11, 20, 29, 30, 31 | dihvalcq2 39300 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (((π β§ π) β¨ π) β π΅ β§ Β¬ ((π β§ π) β¨ π) β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ ((π β§ π) β¨ π))) β (πΌβ((π β§ π) β¨ π)) = ((πΌβπ) β (πΌβ(((π β§ π) β¨ π) β§ π)))) |
33 | 1, 16, 26, 17, 28, 32 | syl122anc 1379 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ((π β§ π) β¨ π)) = ((πΌβπ) β (πΌβ(((π β§ π) β¨ π) β§ π)))) |
34 | | eqid 2736 |
. . . . . . . 8
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
35 | 19, 7, 34, 11, 20 | lhpmat 38083 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
36 | 1, 17, 35 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β§ π) = (0.βπΎ)) |
37 | 36 | oveq2d 7319 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = ((π β§ π) β¨ (0.βπΎ))) |
38 | | simp11r 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π») |
39 | 6, 20 | lhpbase 38051 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β π΅) |
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
41 | | simp3r 1202 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β§ π) β€ π) |
42 | 6, 19, 14, 7, 11 | atmod1i2 37912 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β§ π) β€ π) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = (((π β§ π) β¨ π) β§ π)) |
43 | 2, 10, 9, 40, 41, 42 | syl131anc 1383 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((π β§ π) β¨ (π β§ π)) = (((π β§ π) β¨ π) β§ π)) |
44 | | hlol 37414 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
45 | 2, 44 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β πΎ β OL) |
46 | 6, 14, 34 | olj01 37278 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OL β§ (π β§ π) β π΅) β ((π β§ π) β¨ (0.βπΎ)) = (π β§ π)) |
47 | 45, 9, 46 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((π β§ π) β¨ (0.βπΎ)) = (π β§ π)) |
48 | 37, 43, 47 | 3eqtr3d 2784 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (((π β§ π) β¨ π) β§ π) = (π β§ π)) |
49 | 48 | fveq2d 6804 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ(((π β§ π) β¨ π) β§ π)) = (πΌβ(π β§ π))) |
50 | 49 | oveq2d 7319 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((πΌβπ) β (πΌβ(((π β§ π) β¨ π) β§ π))) = ((πΌβπ) β (πΌβ(π β§ π)))) |
51 | 33, 50 | eqtrd 2776 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ((π β§ π) β¨ π)) = ((πΌβπ) β (πΌβ(π β§ π)))) |