MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divadddiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divadddiv 11967
Description: Addition of two ratios. Theorem I.13 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
divadddiv (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divadddiv
StepHypRef Expression
1 mulcl 11230 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
21ad2ant2r 745 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
32adantrl 714 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11230 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
54adantrr 715 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
65ad2ant2lr 746 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
7 mulcl 11230 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
87ad2ant2r 745 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
9 mulne0 11894 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โ‰  0)
108, 9jca 510 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โ‰  0))
1110adantl 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โ‰  0))
12 divdir 11935 . . 3 (((๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โ‰  0)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) / (๐ถ ยท ๐ท)) + ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถ ยท ๐ท))))
133, 6, 11, 12syl3anc 1368 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) / (๐ถ ยท ๐ท)) + ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถ ยท ๐ท))))
14 simpll 765 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))
1615simpld 493 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1714, 16mulcomd 11273 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ด))
18 simprll 777 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1918, 16mulcomd 11273 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
2017, 19oveq12d 7444 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ท ยท ๐ด) / (๐ท ยท ๐ถ)))
21 simprl 769 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
22 divcan5 11954 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ ((๐ท ยท ๐ด) / (๐ท ยท ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ))
2314, 21, 15, 22syl3anc 1368 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ท ยท ๐ด) / (๐ท ยท ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ))
2420, 23eqtrd 2768 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (๐ด / ๐ถ))
25 simplr 767 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2625, 18mulcomd 11273 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
2726oveq1d 7441 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ถ ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)))
28 divcan5 11954 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (๐ต / ๐ท))
2925, 15, 21, 28syl3anc 1368 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (๐ต / ๐ท))
3027, 29eqtrd 2768 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (๐ต / ๐ท))
3124, 30oveq12d 7444 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) / (๐ถ ยท ๐ท)) + ((๐ต ยท ๐ถ) / (๐ถ ยท ๐ท))) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ท)))
3213, 31eqtr2d 2769 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146   + caddc 11149   ยท cmul 11151   / cdiv 11909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910
This theorem is referenced by:  divsubdiv  11968  divadddivi  12014  divadddivd  12072  qaddcl  12987
  Copyright terms: Public domain W3C validator