MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcaddlem 16825
Description: Lemma for pcadd 16826. The original numbers ๐ด and ๐ต have been decomposed using the prime count function as (๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†) where ๐‘…, ๐‘† are both not divisible by ๐‘ƒ and ๐‘€ = (๐‘ƒ pCnt ๐ด), and similarly for ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pcaddlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†)))
pcaddlem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐‘ƒโ†‘๐‘) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))
pcaddlem.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
pcaddlem.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…))
pcaddlem.6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†))
pcaddlem.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘‡))
pcaddlem.8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
pcaddlem (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . 3 ((๐ด + ๐ต) = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt 0))
21breq2d 5159 . 2 ((๐ด + ๐ต) = 0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)) โ†” ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt 0)))
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 eluzel2 12831 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
65zred 12670 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
76adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
9 prmnn 16615 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1110nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1210nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
13 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1514, 5zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1611, 12, 15expclzd 14120 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘‡))
1817simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„ค)
1918zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ))
2120simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•)
2221nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
2321nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰  0)
2416, 19, 22, 23divassd 12029 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) / ๐‘ˆ) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))
2524oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) / ๐‘ˆ)) = ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…))
2726simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†))
3029simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
3216, 19mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3330nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 12038 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) / ๐‘ˆ)) = (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)))
3525, 34eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) = (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)))
3635oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (๐‘ƒ pCnt (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ))))
3736adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (๐‘ƒ pCnt (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ))))
388adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3921nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„ค)
4027, 39zmulcld 12676 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„ค)
41 uznn0sub 12865 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
423, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
4310, 42nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„•)
4443nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4544, 18zmulcld 12676 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„ค)
4630nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
4745, 46zmulcld 12676 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†) โˆˆ โ„ค)
4840, 47zaddcld 12674 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค)
4948adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค)
5011, 12, 5expclzd 14120 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5150mul01d 11417 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0)
52 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) = 0 โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 0))
5352eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) = 0 โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = 0 โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0))
5451, 53syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) = 0 โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = 0))
5554necon3d 2959 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) โ‰  0 โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0))
5628, 31, 33divcld 11994 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
5719, 22, 23divcld 11994 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„‚)
5816, 57mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) โˆˆ โ„‚)
5950, 56, 58adddid 11242 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†)) + ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))))
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†)))
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐‘ƒโ†‘๐‘) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))
625zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
6314zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6462, 63pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ๐‘)
6564oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘€ + (๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (๐‘ƒโ†‘๐‘))
66 expaddz 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘€ + (๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘€ + (๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
6865, 67eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
6968oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) = (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))
7050, 16, 57mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))
7161, 69, 703eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))
7260, 71oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†)) + ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))))
7359, 72eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (๐ด + ๐ต))
7473neeq1d 2998 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) โ‰  0 โ†” (๐ด + ๐ต) โ‰  0))
7535neeq1d 2998 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0 โ†” (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) โ‰  0))
7655, 74, 753imtr3d 292 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) โ‰  0))
7730, 21nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„•)
7877nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„‚)
7977nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โ‰  0)
8078, 79div0d 11993 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0)
81 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) = 0 โ†’ (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = (0 / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)))
8281eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) = 0 โ†’ ((((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0 โ†” (0 / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0))
8380, 82syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) = 0 โ†’ (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0))
8483necon3d 2959 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) โ‰  0 โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0))
8576, 84syld 47 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0))
8685imp 405 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0)
8777adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„•)
88 pcdiv 16789 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0) โˆง (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))))
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1373 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))))
90 pcmul 16788 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘† โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘† โ‰  0) โˆง (๐‘ˆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ˆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ)))
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ)))
9229simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†)
93 pceq0 16808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†))
948, 30, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†))
9592, 94mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘†) = 0)
9620simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ)
97 pceq0 16808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ))
988, 21, 97syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ))
9996, 98mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ) = 0)
10095, 99oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ)) = (0 + 0))
101 00id 11393 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
102100, 101eqtrdi 2786 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ)) = 0)
10391, 102eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0)
104103oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ 0))
105104adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ 0))
106 pczcl 16785 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆˆ โ„•0)
10738, 49, 86, 106syl12anc 833 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆˆ โ„•0)
108107nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆˆ โ„‚)
109108subid1d 11564 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ 0) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))))
110105, 109eqtrd 2770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))))
11137, 89, 1103eqtrd 2774 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))))
112111, 107eqeltrd 2831 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) โˆˆ โ„•0)
113 nn0addge1 12522 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
1147, 112, 113syl2anc 582 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
115 nnq 12950 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
11610, 115syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
117 qexpclz 14051 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ƒ โ‰  0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„š)
118116, 12, 5, 117syl3anc 1369 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„š)
119118adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„š)
12011, 12, 5expne0d 14121 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰  0)
121120adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰  0)
122 znq 12940 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘† โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐‘†) โˆˆ โ„š)
12327, 30, 122syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / ๐‘†) โˆˆ โ„š)
124 qexpclz 14051 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ƒ โ‰  0 โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„š)
125116, 12, 15, 124syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„š)
126 znq 12940 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„š)
12718, 21, 126syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„š)
128 qmulcl 12955 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘‡ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) โˆˆ โ„š)
129125, 127, 128syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) โˆˆ โ„š)
130 qaddcl 12953 . . . . . . 7 (((๐‘… / ๐‘†) โˆˆ โ„š โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โˆˆ โ„š)
131123, 129, 130syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โˆˆ โ„š)
132131adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โˆˆ โ„š)
13374, 55sylbird 259 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0))
134133imp 405 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0)
135 pcqmul 16790 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰  0) โˆง (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โˆˆ โ„š โˆง ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1377 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
13773oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
138137adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
139 pcid 16810 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) = ๐‘€)
1408, 5, 139syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) = ๐‘€)
141140oveq1d 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
142141adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
143136, 138, 1423eqtr3d 2778 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)) = (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
144114, 143breqtrrd 5175 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
1456rexrd 11268 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
146 pnfge 13114 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„* โ†’ ๐‘€ โ‰ค +โˆž)
147145, 146syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค +โˆž)
148 pc0 16791 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) = +โˆž)
1498, 148syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) = +โˆž)
150147, 149breqtrrd 5175 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt 0))
1512, 144, 150pm2.61ne 3025 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„šcq 12936  โ†‘cexp 14031   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612   pCnt cpc 16773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774
This theorem is referenced by:  pcadd  16826
  Copyright terms: Public domain W3C validator