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Theorem pcaddlem 16818
Description: Lemma for pcadd 16819. The original numbers 𝐴 and 𝐵 have been decomposed using the prime count function as (𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆) where 𝑅, 𝑆 are both not divisible by 𝑃 and 𝑀 = (𝑃 pCnt 𝐴), and similarly for 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcaddlem.2 (𝜑𝐴 = ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
pcaddlem.3 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
pcaddlem.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
pcaddlem.5 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅))
pcaddlem.6 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑆))
pcaddlem.7 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑇))
pcaddlem.8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑈))
Assertion
Ref Expression
pcaddlem (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7414 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑃 pCnt 0))
21breq2d 5160 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ↔ 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0)))
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 12824 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65zred 12663 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 16608 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nncnd 12225 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1210nnne0d 12259 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ≠ 0)
13 eluzelz 12829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514, 5zsubcld 12668 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
1611, 12, 15expclzd 14113 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑇))
1817simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
1918zcnd 12664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑈))
2120simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
2221nncnd 12225 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2321nnne0d 12259 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ≠ 0)
2416, 19, 22, 23divassd 12022 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈) = ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))
2524oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅))
2726simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
2827zcnd 12664 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑆))
3029simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
3130nncnd 12225 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3216, 19mulcld 11231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ)
3330nnne0d 12259 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ≠ 0)
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 12031 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
3525, 34eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
3635oveq2d 7422 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
3736adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
388adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
3921nnzd 12582 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℤ)
4027, 39zmulcld 12669 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 · 𝑈) ∈ ℤ)
41 uznn0sub 12858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
423, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
4310, 42nnexpcld 14205 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℕ)
4443nnzd 12582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ)
4544, 18zmulcld 12669 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℤ)
4630nnzd 12582 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
4745, 46zmulcld 12669 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆) ∈ ℤ)
4840, 47zaddcld 12667 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
4948adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
5011, 12, 5expclzd 14113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
5150mul01d 11410 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · 0) = 0)
52 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = ((𝑃𝑀) · 0))
5352eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0 ↔ ((𝑃𝑀) · 0) = 0))
5451, 53syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0))
5554necon3d 2962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
5628, 31, 33divcld 11987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℂ)
5719, 22, 23divcld 11987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℂ)
5816, 57mulcld 11231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℂ)
5950, 56, 58adddid 11235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
625zcnd 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
6314zcnd 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6462, 63pncan3d 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
6564oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = (𝑃𝑁))
66 expaddz 14069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6865, 67eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃𝑁) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6968oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) = (((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)))
7050, 16, 57mulassd 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)) = ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
7161, 69, 703eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
7260, 71oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
7359, 72eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝐴 + 𝐵))
7473neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
7535neeq1d 3001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0 ↔ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
7655, 74, 753imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
7730, 21nnmulcld 12262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
7877nncnd 12225 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℂ)
7977nnne0d 12259 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ≠ 0)
8078, 79div0d 11986 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0)
81 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = (0 / (𝑆 · 𝑈)))
8281eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0 ↔ (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
8380, 82syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
8483necon3d 2962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
8576, 84syld 47 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
8685imp 408 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)
8777adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
88 pcdiv 16782 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0) ∧ (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1376 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
90 pcmul 16781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ (𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1380 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
9229simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑆)
93 pceq0 16801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑆))
948, 30, 93syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑆))
9592, 94mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑆) = 0)
9620simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑈)
97 pceq0 16801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑈))
988, 21, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑈))
9996, 98mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑈) = 0)
10095, 99oveq12d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = (0 + 0))
101 00id 11386 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
102100, 101eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = 0)
10391, 102eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = 0)
104103oveq2d 7422 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
105104adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
106 pczcl 16778 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ0)
10738, 49, 86, 106syl12anc 836 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ0)
108107nn0cnd 12531 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℂ)
109108subid1d 11557 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
110105, 109eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
11137, 89, 1103eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
112111, 107eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ0)
113 nn0addge1 12515 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
1147, 112, 113syl2anc 585 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
115 nnq 12943 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
11610, 115syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
117 qexpclz 14044 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
118116, 12, 5, 117syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
119118adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
12011, 12, 5expne0d 14114 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑀) ≠ 0)
121120adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃𝑀) ≠ 0)
122 znq 12933 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
12327, 30, 122syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
124 qexpclz 14044 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ)
125116, 12, 15, 124syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ)
126 znq 12933 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
12718, 21, 126syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
128 qmulcl 12948 . . . . . . . 8 (((𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
129125, 127, 128syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
130 qaddcl 12946 . . . . . . 7 (((𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
131123, 129, 130syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
132131adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
13374, 55sylbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
134133imp 408 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)
135 pcqmul 16783 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑃𝑀) ≠ 0) ∧ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ ∧ ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1380 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
13773oveq2d 7422 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
138137adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
139 pcid 16803 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) = 𝑀)
1408, 5, 139syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) = 𝑀)
141140oveq1d 7421 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
142141adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
143136, 138, 1423eqtr3d 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
144114, 143breqtrrd 5176 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
1456rexrd 11261 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
146 pnfge 13107 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≤ +∞)
147145, 146syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ≤ +∞)
148 pc0 16784 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
1498, 148syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
150147, 149breqtrrd 5176 . 2 (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
1512, 144, 150pm2.61ne 3028 1 (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   · cmul 11112  +∞cpnf 11242  *cxr 11244  cle 11246  cmin 11441   / cdiv 11868  cn 12209  0cn0 12469  cz 12555  cuz 12819  cq 12929  cexp 14024  cdvds 16194  cprime 16605   pCnt cpc 16766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16767
This theorem is referenced by:  pcadd  16819
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