MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcaddlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcaddlem 16826
Description: Lemma for pcadd 16827. The original numbers ๐ด and ๐ต have been decomposed using the prime count function as (๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†) where ๐‘…, ๐‘† are both not divisible by ๐‘ƒ and ๐‘€ = (๐‘ƒ pCnt ๐ด), and similarly for ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
pcaddlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†)))
pcaddlem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐‘ƒโ†‘๐‘) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))
pcaddlem.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
pcaddlem.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…))
pcaddlem.6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†))
pcaddlem.7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘‡))
pcaddlem.8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
pcaddlem (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . 3 ((๐ด + ๐ต) = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt 0))
21breq2d 5160 . 2 ((๐ด + ๐ต) = 0 โ†’ (๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)) โ†” ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt 0)))
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 eluzel2 12832 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
65zred 12671 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
76adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
9 prmnn 16616 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1110nncnd 12233 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1210nnne0d 12267 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
13 eluzelz 12837 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1514, 5zsubcld 12676 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1611, 12, 15expclzd 14121 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘‡))
1817simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„ค)
1918zcnd 12672 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ))
2120simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„•)
2221nncnd 12233 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
2321nnne0d 12267 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰  0)
2416, 19, 22, 23divassd 12030 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) / ๐‘ˆ) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))
2524oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) / ๐‘ˆ)) = ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…))
2726simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12672 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†))
3029simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12233 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
3216, 19mulcld 11239 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3330nnne0d 12267 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 12039 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) / ๐‘ˆ)) = (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)))
3525, 34eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) = (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)))
3635oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (๐‘ƒ pCnt (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ))))
3736adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (๐‘ƒ pCnt (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ))))
388adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3921nnzd 12590 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„ค)
4027, 39zmulcld 12677 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„ค)
41 uznn0sub 12866 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
423, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
4310, 42nnexpcld 14213 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„•)
4443nnzd 12590 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4544, 18zmulcld 12677 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„ค)
4630nnzd 12590 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
4745, 46zmulcld 12677 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†) โˆˆ โ„ค)
4840, 47zaddcld 12675 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค)
4948adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค)
5011, 12, 5expclzd 14121 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5150mul01d 11418 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0)
52 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) = 0 โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 0))
5352eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) = 0 โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = 0 โ†” ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0))
5451, 53syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) = 0 โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = 0))
5554necon3d 2960 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) โ‰  0 โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0))
5628, 31, 33divcld 11995 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
5719, 22, 23divcld 11995 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„‚)
5816, 57mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) โˆˆ โ„‚)
5950, 56, 58adddid 11243 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†)) + ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))))
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†)))
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐‘ƒโ†‘๐‘) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))
625zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
6314zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6462, 63pncan3d 11579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ๐‘)
6564oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘€ + (๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (๐‘ƒโ†‘๐‘))
66 expaddz 14077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โ‰  0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘€ + (๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘€ + (๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
6865, 67eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
6968oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) = (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))
7050, 16, 57mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))
7161, 69, 703eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))
7260, 71oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) = (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท (๐‘… / ๐‘†)) + ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))))
7359, 72eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (๐ด + ๐ต))
7473neeq1d 2999 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) โ‰  0 โ†” (๐ด + ๐ต) โ‰  0))
7535neeq1d 2999 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0 โ†” (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) โ‰  0))
7655, 74, 753imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰  0 โ†’ (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) โ‰  0))
7730, 21nnmulcld 12270 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„•)
7877nncnd 12233 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„‚)
7977nnne0d 12267 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โ‰  0)
8078, 79div0d 11994 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0 / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0)
81 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) = 0 โ†’ (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = (0 / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)))
8281eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) = 0 โ†’ ((((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0 โ†” (0 / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0))
8380, 82syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) = 0 โ†’ (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0))
8483necon3d 2960 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) โ‰  0 โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0))
8576, 84syld 47 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0))
8685imp 406 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0)
8777adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„•)
88 pcdiv 16790 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0) โˆง (๐‘† ยท ๐‘ˆ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))))
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1374 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) / (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))))
90 pcmul 16789 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘† โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘† โ‰  0) โˆง (๐‘ˆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ˆ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ)))
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1378 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ)))
9229simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†)
93 pceq0 16809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†))
948, 30, 93syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘†))
9592, 94mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘†) = 0)
9620simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ)
97 pceq0 16809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ))
988, 21, 97syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ˆ))
9996, 98mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ) = 0)
10095, 99oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ)) = (0 + 0))
101 00id 11394 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
102100, 101eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ๐‘†) + (๐‘ƒ pCnt ๐‘ˆ)) = 0)
10391, 102eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ)) = 0)
104103oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ 0))
105104adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ 0))
106 pczcl 16786 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†)) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆˆ โ„•0)
10738, 49, 86, 106syl12anc 834 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆˆ โ„•0)
108107nn0cnd 12539 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆˆ โ„‚)
109108subid1d 11565 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ 0) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))))
110105, 109eqtrd 2771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘† ยท ๐‘ˆ))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))))
11137, 89, 1103eqtrd 2775 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) = (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… ยท ๐‘ˆ) + (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท ๐‘‡) ยท ๐‘†))))
112111, 107eqeltrd 2832 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) โˆˆ โ„•0)
113 nn0addge1 12523 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)))) โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
1147, 112, 113syl2anc 583 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
115 nnq 12951 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
11610, 115syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
117 qexpclz 14052 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ƒ โ‰  0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„š)
118116, 12, 5, 117syl3anc 1370 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„š)
119118adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„š)
12011, 12, 5expne0d 14122 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰  0)
121120adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰  0)
122 znq 12941 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘† โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… / ๐‘†) โˆˆ โ„š)
12327, 30, 122syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… / ๐‘†) โˆˆ โ„š)
124 qexpclz 14052 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ƒ โ‰  0 โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„š)
125116, 12, 15, 124syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„š)
126 znq 12941 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ˆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„š)
12718, 21, 126syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„š)
128 qmulcl 12956 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘‡ / ๐‘ˆ) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) โˆˆ โ„š)
129125, 127, 128syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) โˆˆ โ„š)
130 qaddcl 12954 . . . . . . 7 (((๐‘… / ๐‘†) โˆˆ โ„š โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ)) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โˆˆ โ„š)
131123, 129, 130syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โˆˆ โ„š)
132131adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โˆˆ โ„š)
13374, 55sylbird 260 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰  0 โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0))
134133imp 406 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0)
135 pcqmul 16791 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘€) โ‰  0) โˆง (((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โˆˆ โ„š โˆง ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1378 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
13773oveq2d 7428 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
138137adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((๐‘ƒโ†‘๐‘€) ยท ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
139 pcid 16811 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) = ๐‘€)
1408, 5, 139syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) = ๐‘€)
141140oveq1d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
142141adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘ƒโ†‘๐‘€)) + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))) = (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
143136, 138, 1423eqtr3d 2779 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)) = (๐‘€ + (๐‘ƒ pCnt ((๐‘… / ๐‘†) + ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท (๐‘‡ / ๐‘ˆ))))))
144114, 143breqtrrd 5176 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
1456rexrd 11269 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
146 pnfge 13115 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„* โ†’ ๐‘€ โ‰ค +โˆž)
147145, 146syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค +โˆž)
148 pc0 16792 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) = +โˆž)
1498, 148syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 0) = +โˆž)
150147, 149breqtrrd 5176 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt 0))
1512, 144, 150pm2.61ne 3026 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐ด + ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113   + caddc 11116   ยท cmul 11118  +โˆžcpnf 11250  โ„*cxr 11252   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„šcq 12937  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16202  โ„™cprime 16613   pCnt cpc 16774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775
This theorem is referenced by:  pcadd  16827
  Copyright terms: Public domain W3C validator