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Theorem pcaddlem 16589
Description: Lemma for pcadd 16590. The original numbers 𝐴 and 𝐵 have been decomposed using the prime count function as (𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆) where 𝑅, 𝑆 are both not divisible by 𝑃 and 𝑀 = (𝑃 pCnt 𝐴), and similarly for 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcaddlem.2 (𝜑𝐴 = ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
pcaddlem.3 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
pcaddlem.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
pcaddlem.5 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅))
pcaddlem.6 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑆))
pcaddlem.7 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑇))
pcaddlem.8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑈))
Assertion
Ref Expression
pcaddlem (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7283 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑃 pCnt 0))
21breq2d 5086 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ↔ 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0)))
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 12587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65zred 12426 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 16379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nncnd 11989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1210nnne0d 12023 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ≠ 0)
13 eluzelz 12592 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514, 5zsubcld 12431 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
1611, 12, 15expclzd 13869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑇))
1817simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
1918zcnd 12427 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑈))
2120simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
2221nncnd 11989 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2321nnne0d 12023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ≠ 0)
2416, 19, 22, 23divassd 11786 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈) = ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))
2524oveq2d 7291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅))
2726simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
2827zcnd 12427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑆))
3029simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
3130nncnd 11989 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3216, 19mulcld 10995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ)
3330nnne0d 12023 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ≠ 0)
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 11795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
3525, 34eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
3635oveq2d 7291 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
3736adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
388adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
3921nnzd 12425 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℤ)
4027, 39zmulcld 12432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 · 𝑈) ∈ ℤ)
41 uznn0sub 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
423, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
4310, 42nnexpcld 13960 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℕ)
4443nnzd 12425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ)
4544, 18zmulcld 12432 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℤ)
4630nnzd 12425 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
4745, 46zmulcld 12432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆) ∈ ℤ)
4840, 47zaddcld 12430 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
5011, 12, 5expclzd 13869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
5150mul01d 11174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · 0) = 0)
52 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = ((𝑃𝑀) · 0))
5352eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0 ↔ ((𝑃𝑀) · 0) = 0))
5451, 53syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0))
5554necon3d 2964 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
5628, 31, 33divcld 11751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℂ)
5719, 22, 23divcld 11751 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℂ)
5816, 57mulcld 10995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℂ)
5950, 56, 58adddid 10999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
625zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
6314zcnd 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6462, 63pncan3d 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
6564oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = (𝑃𝑁))
66 expaddz 13827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6865, 67eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃𝑁) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6968oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) = (((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)))
7050, 16, 57mulassd 10998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)) = ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
7161, 69, 703eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
7260, 71oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
7359, 72eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝐴 + 𝐵))
7473neeq1d 3003 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
7535neeq1d 3003 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0 ↔ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
7655, 74, 753imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
7730, 21nnmulcld 12026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
7877nncnd 11989 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℂ)
7977nnne0d 12023 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ≠ 0)
8078, 79div0d 11750 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0)
81 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = (0 / (𝑆 · 𝑈)))
8281eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0 ↔ (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
8380, 82syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
8483necon3d 2964 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
8576, 84syld 47 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
8685imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)
8777adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
88 pcdiv 16553 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0) ∧ (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
90 pcmul 16552 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ (𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1378 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
9229simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑆)
93 pceq0 16572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑆))
948, 30, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑆))
9592, 94mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑆) = 0)
9620simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑈)
97 pceq0 16572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑈))
988, 21, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑈))
9996, 98mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑈) = 0)
10095, 99oveq12d 7293 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = (0 + 0))
101 00id 11150 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
102100, 101eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = 0)
10391, 102eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = 0)
104103oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
105104adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
106 pczcl 16549 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ0)
10738, 49, 86, 106syl12anc 834 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ0)
108107nn0cnd 12295 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℂ)
109108subid1d 11321 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
110105, 109eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
11137, 89, 1103eqtrd 2782 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
112111, 107eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ0)
113 nn0addge1 12279 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
1147, 112, 113syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
115 nnq 12702 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
11610, 115syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
117 qexpclz 13803 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
118116, 12, 5, 117syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
119118adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
12011, 12, 5expne0d 13870 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑀) ≠ 0)
121120adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃𝑀) ≠ 0)
122 znq 12692 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
12327, 30, 122syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
124 qexpclz 13803 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ)
125116, 12, 15, 124syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ)
126 znq 12692 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
12718, 21, 126syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
128 qmulcl 12707 . . . . . . . 8 (((𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
129125, 127, 128syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
130 qaddcl 12705 . . . . . . 7 (((𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
131123, 129, 130syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
132131adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
13374, 55sylbird 259 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
134133imp 407 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)
135 pcqmul 16554 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑃𝑀) ≠ 0) ∧ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ ∧ ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1378 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
13773oveq2d 7291 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
138137adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
139 pcid 16574 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) = 𝑀)
1408, 5, 139syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) = 𝑀)
141140oveq1d 7290 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
142141adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
143136, 138, 1423eqtr3d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
144114, 143breqtrrd 5102 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
1456rexrd 11025 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
146 pnfge 12866 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≤ +∞)
147145, 146syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ≤ +∞)
148 pc0 16555 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
1498, 148syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
150147, 149breqtrrd 5102 . 2 (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
1512, 144, 150pm2.61ne 3030 1 (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  *cxr 11008  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  cq 12688  cexp 13782  cdvds 15963  cprime 16376   pCnt cpc 16537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-pc 16538
This theorem is referenced by:  pcadd  16590
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