pcaddlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem pcaddlem 16850

Description: Lemma for pcadd 16851. The original numbers 𝐴 and 𝐵 have been decomposed using the prime count function as (𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆) where 𝑅, 𝑆 are both not divisible by 𝑃 and 𝑀 = (𝑃 pCnt 𝐴), and similarly for 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pcaddlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pcaddlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
pcaddlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
pcaddlem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
pcaddlem.5	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑅))
pcaddlem.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
pcaddlem.7	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑇))
pcaddlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))

**Assertion**
Ref	Expression
pcaddlem	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

**Proof of Theorem pcaddlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7364	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑃 pCnt 0))
2	1	breq2d 5084	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ↔ 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0)))
3		pcaddlem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
4		eluzel2 12784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	zred 12624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		pcaddlem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
9		prmnn 16634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
12	10	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
13		eluzelz 12789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14, 5	zsubcld 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
16	11, 12, 15	expclzd 14104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
17		pcaddlem.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑇))
18	17	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
20		pcaddlem.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
21	20	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
22	21	nncnd 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
23	21	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
24	16, 19, 22, 23	divassd 11957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈) = ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))
25	24	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
26		pcaddlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑅))
27	26	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
29		pcaddlem.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
30	29	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
32	16, 19	mulcld 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ)
33	30	nnne0d 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
34	28, 31, 32, 22, 33, 23	divadddivd 11966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
35	25, 34	eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
36	35	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
37	36	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
38	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	21	nnzd 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℤ)
40	27, 39	zmulcld 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑈) ∈ ℤ)
41		uznn0sub 12814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
43	10, 42	nnexpcld 14198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
45	44, 18	zmulcld 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) ∈ ℤ)
46	30	nnzd 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
47	45, 46	zmulcld 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆) ∈ ℤ)
48	40, 47	zaddcld 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
50	11, 12, 5	expclzd 14104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
51	50	mul01d 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · 0) = 0)
52		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = ((𝑃↑𝑀) · 0))
53	52	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0 ↔ ((𝑃↑𝑀) · 0) = 0))
54	51, 53	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0))
55	54	necon3d 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
56	28, 31, 33	divcld 11922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℂ)
57	19, 22, 23	divcld 11922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℂ)
58	16, 57	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℂ)
59	50, 56, 58	adddid 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
60		pcaddlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
61		pcaddlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
62	5	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
63	14	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
64	62, 63	pncan3d 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) = 𝑁)
65	64	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = (𝑃↑𝑁))
66		expaddz 14059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
67	11, 12, 5, 15, 66	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
68	65, 67	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
69	68	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)))
70	50, 16, 57	mulassd 11159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)) = ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
71	61, 69, 70	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
72	60, 71	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
73	59, 72	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝐴 + 𝐵))
74	73	neeq1d 2993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
75	35	neeq1d 2993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0 ↔ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
76	55, 74, 75	3imtr3d 294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
77	30, 21	nnmulcld 12221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
78	77	nncnd 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℂ)
79	77	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ≠ 0)
80	78, 79	div0d 11921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0)
81		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = (0 / (𝑆 · 𝑈)))
82	81	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0 ↔ (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
83	80, 82	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
84	83	necon3d 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
85	76, 84	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
86	85	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)
87	77	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
88		pcdiv 16814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0) ∧ (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
89	38, 49, 86, 87, 88	syl121anc 1383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
90		pcmul 16813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ (𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
91	8, 46, 33, 39, 23, 90	syl122anc 1387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
92	29	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑆)
93		pceq0 16833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
94	8, 30, 93	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
95	92, 94	mpbird 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑆) = 0)
96	20	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑈)
97		pceq0 16833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
98	8, 21, 97	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
99	96, 98	mpbird 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑈) = 0)
100	95, 99	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = (0 + 0))
101		00id 11312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
102	100, 101	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = 0)
103	91, 102	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = 0)
104	103	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
105	104	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
106		pczcl 16810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ₀)
107	38, 49, 86, 106	syl12anc 842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ₀)
108	107	nn0cnd 12491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℂ)
109	108	subid1d 11485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
110	105, 109	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
111	37, 89, 110	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
112	111, 107	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ₀)
113		nn0addge1 12474	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ₀) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
114	7, 112, 113	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
115		nnq 12903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
116	10, 115	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
117		qexpclz 14034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
118	116, 12, 5, 117	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
119	118	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
120	11, 12, 5	expne0d 14105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ≠ 0)
121	120	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃↑𝑀) ≠ 0)
122		znq 12893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
123	27, 30, 122	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
124		qexpclz 14034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ)
125	116, 12, 15, 124	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ)
126		znq 12893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
127	18, 21, 126	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
128		qmulcl 12908	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
129	125, 127, 128	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
130		qaddcl 12906	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
131	123, 129, 130	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
132	131	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
133	74, 55	sylbird 261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
134	133	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)
135		pcqmul 16815	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑃↑𝑀) ≠ 0) ∧ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ ∧ ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
136	38, 119, 121, 132, 134, 135	syl122anc 1387	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
137	73	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
138	137	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
139		pcid 16835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) = 𝑀)
140	8, 5, 139	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) = 𝑀)
141	140	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
142	141	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
143	136, 138, 142	3eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
144	114, 143	breqtrrd 5100	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
145	6	rexrd 11186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ^*)
146		pnfge 13072	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ^* → 𝑀 ≤ +∞)
147	145, 146	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ +∞)
148		pc0 16816	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
149	8, 148	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
150	147, 149	breqtrrd 5100	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
151	2, 144, 150	pm2.61ne 3019	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2934 class class class wbr 5072 ‘cfv 6485 (class class class)co 7356 ℂcc 11027 ℝcr 11028 0cc0 11029 + caddc 11032 · cmul 11034 +∞cpnf 11167 ℝ^*cxr 11169 ≤ cle 11171 − cmin 11368 / cdiv 11798 ℕcn 12165 ℕ₀cn0 12428 ℤcz 12515 ℤ_≥cuz 12779 ℚcq 12889 ↑cexp 14014 ∥ cdvds 16212 ℙcprime 16631 pCnt cpc 16798

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-sep 5218 ax-nul 5228 ax-pow 5294 ax-pr 5362 ax-un 7678 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4262 df-if 4455 df-pw 4531 df-sn 4556 df-pr 4558 df-op 4562 df-uni 4839 df-iun 4923 df-br 5073 df-opab 5135 df-mpt 5154 df-tr 5180 df-id 5513 df-eprel 5518 df-po 5526 df-so 5527 df-fr 5571 df-we 5573 df-xp 5624 df-rel 5625 df-cnv 5626 df-co 5627 df-dm 5628 df-rn 5629 df-res 5630 df-ima 5631 df-pred 6252 df-ord 6313 df-on 6314 df-lim 6315 df-suc 6316 df-iota 6441 df-fun 6487 df-fn 6488 df-f 6489 df-f1 6490 df-fo 6491 df-f1o 6492 df-fv 6493 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-2o 8396 df-er 8633 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-inf 9346 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-q 12890 df-rp 12934 df-fl 13742 df-mod 13820 df-seq 13955 df-exp 14015 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-dvds 16213 df-gcd 16455 df-prm 16632 df-pc 16799

This theorem is referenced by: pcadd 16851

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