pcaddlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem pcaddlem 16848

Description: Lemma for pcadd 16849. The original numbers 𝐴 and 𝐵 have been decomposed using the prime count function as (𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆) where 𝑅, 𝑆 are both not divisible by 𝑃 and 𝑀 = (𝑃 pCnt 𝐴), and similarly for 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pcaddlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pcaddlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
pcaddlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
pcaddlem.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
pcaddlem.5	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑅))
pcaddlem.6	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
pcaddlem.7	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑇))
pcaddlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))

**Assertion**
Ref	Expression
pcaddlem	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

**Proof of Theorem pcaddlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑃 pCnt 0))
2	1	breq2d 5098	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ↔ 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0)))
3		pcaddlem.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
4		eluzel2 12782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	zred 12622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		pcaddlem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
9		prmnn 16632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
12	10	nnne0d 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
13		eluzelz 12787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14, 5	zsubcld 12627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
16	11, 12, 15	expclzd 14102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
17		pcaddlem.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑇))
18	17	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
20		pcaddlem.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
21	20	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
22	21	nncnd 12179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
23	21	nnne0d 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
24	16, 19, 22, 23	divassd 11955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈) = ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))
25	24	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
26		pcaddlem.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑅))
27	26	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
29		pcaddlem.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
30	29	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
31	30	nncnd 12179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
32	16, 19	mulcld 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ)
33	30	nnne0d 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
34	28, 31, 32, 22, 33, 23	divadddivd 11964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
35	25, 34	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
36	35	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
38	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
39	21	nnzd 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℤ)
40	27, 39	zmulcld 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑈) ∈ ℤ)
41		uznn0sub 12812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
43	10, 42	nnexpcld 14196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
45	44, 18	zmulcld 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) ∈ ℤ)
46	30	nnzd 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
47	45, 46	zmulcld 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆) ∈ ℤ)
48	40, 47	zaddcld 12626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
50	11, 12, 5	expclzd 14102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
51	50	mul01d 11334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · 0) = 0)
52		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = ((𝑃↑𝑀) · 0))
53	52	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0 ↔ ((𝑃↑𝑀) · 0) = 0))
54	51, 53	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0))
55	54	necon3d 2954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
56	28, 31, 33	divcld 11920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℂ)
57	19, 22, 23	divcld 11920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℂ)
58	16, 57	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℂ)
59	50, 56, 58	adddid 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
60		pcaddlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
61		pcaddlem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
62	5	zcnd 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
63	14	zcnd 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
64	62, 63	pncan3d 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + (𝑁 − 𝑀)) = 𝑁)
65	64	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = (𝑃↑𝑁))
66		expaddz 14057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
67	11, 12, 5, 15, 66	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁 − 𝑀))) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
68	65, 67	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑁) = ((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))))
69	68	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)))
70	50, 16, 57	mulassd 11157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · (𝑃↑(𝑁 − 𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)) = ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
71	61, 69, 70	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
72	60, 71	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑃↑𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃↑𝑀) · ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
73	59, 72	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝐴 + 𝐵))
74	73	neeq1d 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
75	35	neeq1d 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0 ↔ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
76	55, 74, 75	3imtr3d 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
77	30, 21	nnmulcld 12219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
78	77	nncnd 12179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℂ)
79	77	nnne0d 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ≠ 0)
80	78, 79	div0d 11919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0)
81		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = (0 / (𝑆 · 𝑈)))
82	81	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0 ↔ (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
83	80, 82	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
84	83	necon3d 2954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
85	76, 84	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
86	85	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)
87	77	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
88		pcdiv 16812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0) ∧ (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
89	38, 49, 86, 87, 88	syl121anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
90		pcmul 16811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ (𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
91	8, 46, 33, 39, 23, 90	syl122anc 1382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
92	29	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑆)
93		pceq0 16831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
94	8, 30, 93	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑆))
95	92, 94	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑆) = 0)
96	20	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑈)
97		pceq0 16831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
98	8, 21, 97	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑈))
99	96, 98	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑈) = 0)
100	95, 99	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = (0 + 0))
101		00id 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 0) = 0
102	100, 101	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = 0)
103	91, 102	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = 0)
104	103	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
105	104	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
106		pczcl 16808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ₀)
107	38, 49, 86, 106	syl12anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ₀)
108	107	nn0cnd 12489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℂ)
109	108	subid1d 11483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
110	105, 109	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
111	37, 89, 110	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
112	111, 107	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ₀)
113		nn0addge1 12472	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ₀) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
114	7, 112, 113	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
115		nnq 12901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
116	10, 115	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
117		qexpclz 14032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
118	116, 12, 5, 117	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
119	118	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℚ)
120	11, 12, 5	expne0d 14103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑀) ≠ 0)
121	120	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃↑𝑀) ≠ 0)
122		znq 12891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
123	27, 30, 122	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
124		qexpclz 14032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ)
125	116, 12, 15, 124	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ)
126		znq 12891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
127	18, 21, 126	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
128		qmulcl 12906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
129	125, 127, 128	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
130		qaddcl 12904	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
131	123, 129, 130	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
132	131	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
133	74, 55	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
134	133	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)
135		pcqmul 16813	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃↑𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑃↑𝑀) ≠ 0) ∧ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ ∧ ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
136	38, 119, 121, 132, 134, 135	syl122anc 1382	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
137	73	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
138	137	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃↑𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
139		pcid 16833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) = 𝑀)
140	8, 5, 139	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) = 𝑀)
141	140	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
142	141	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑃↑𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
143	136, 138, 142	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
144	114, 143	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
145	6	rexrd 11184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ^*)
146		pnfge 13070	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ^* → 𝑀 ≤ +∞)
147	145, 146	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ +∞)
148		pc0 16814	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
149	8, 148	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
150	147, 149	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
151	2, 144, 150	pm2.61ne 3018	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 class class class wbr 5086 ‘cfv 6490 (class class class)co 7358 ℂcc 11025 ℝcr 11026 0cc0 11027 + caddc 11030 · cmul 11032 +∞cpnf 11165 ℝ^*cxr 11167 ≤ cle 11169 − cmin 11366 / cdiv 11796 ℕcn 12163 ℕ₀cn0 12426 ℤcz 12513 ℤ_≥cuz 12777 ℚcq 12887 ↑cexp 14012 ∥ cdvds 16210 ℙcprime 16629 pCnt cpc 16796

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5300 ax-pr 5368 ax-un 7680 ax-cnex 11083 ax-resscn 11084 ax-1cn 11085 ax-icn 11086 ax-addcl 11087 ax-addrcl 11088 ax-mulcl 11089 ax-mulrcl 11090 ax-mulcom 11091 ax-addass 11092 ax-mulass 11093 ax-distr 11094 ax-i2m1 11095 ax-1ne0 11096 ax-1rid 11097 ax-rnegex 11098 ax-rrecex 11099 ax-cnre 11100 ax-pre-lttri 11101 ax-pre-lttrn 11102 ax-pre-ltadd 11103 ax-pre-mulgt0 11104 ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5517 df-eprel 5522 df-po 5530 df-so 5531 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5628 df-rel 5629 df-cnv 5630 df-co 5631 df-dm 5632 df-rn 5633 df-res 5634 df-ima 5635 df-pred 6257 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6446 df-fun 6492 df-fn 6493 df-f 6494 df-f1 6495 df-fo 6496 df-f1o 6497 df-fv 6498 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8222 df-wrecs 8253 df-recs 8302 df-rdg 8340 df-1o 8396 df-2o 8397 df-er 8634 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-fin 8888 df-sup 9346 df-inf 9347 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12164 df-2 12233 df-3 12234 df-n0 12427 df-z 12514 df-uz 12778 df-q 12888 df-rp 12932 df-fl 13740 df-mod 13818 df-seq 13953 df-exp 14013 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-dvds 16211 df-gcd 16453 df-prm 16630 df-pc 16797

This theorem is referenced by: pcadd 16849

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