Theorem divmul13i 12003

Description: Swap denominators of two ratios. (Contributed by NM, 6-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divmuldiv.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ
divmuldiv.5	⊢ 𝐵 ≠ 0
divmuldiv.6	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divmul13i	⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷))

Proof of Theorem divmul13i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmulz.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
2		divclz.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcomi 11250	. . 3 ⊢ (𝐶 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐶)
4	3	oveq1i 7424	. 2 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
5		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
6		divmuldiv.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
7		divmuldiv.5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≠ 0
8		divmuldiv.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ≠ 0
9	1, 5, 2, 6, 7, 8	divmuldivi 12002	. 2 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐷))
10	2, 5, 1, 6, 7, 8	divmuldivi 12002	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
11	4, 9, 10	3eqtr4ri 2764	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  (class class class)co 7414  ℂcc 11134  0cc0 11136   · cmul 11141   / cdiv 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900

This theorem is referenced by: (None)