Theorem divmul13i 11889

Description: Swap denominators of two ratios. (Contributed by NM, 6-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divmuldiv.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ
divmuldiv.5	⊢ 𝐵 ≠ 0
divmuldiv.6	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divmul13i	⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷))

Proof of Theorem divmul13i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmulz.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
2		divclz.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcomi 11127	. . 3 ⊢ (𝐶 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐶)
4	3	oveq1i 7362	. 2 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
5		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
6		divmuldiv.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
7		divmuldiv.5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≠ 0
8		divmuldiv.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ≠ 0
9	1, 5, 2, 6, 7, 8	divmuldivi 11888	. 2 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐷))
10	2, 5, 1, 6, 7, 8	divmuldivi 11888	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
11	4, 9, 10	3eqtr4ri 2767	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013   · cmul 11018   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by: (None)