Theorem divmul13i 11593

Description: Swap denominators of two ratios. (Contributed by NM, 6-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
divclz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
divmuldiv.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ
divmuldiv.5	⊢ 𝐵 ≠ 0
divmuldiv.6	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divmul13i	⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷))

Proof of Theorem divmul13i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divmulz.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
2		divclz.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcomi 10841	. . 3 ⊢ (𝐶 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐶)
4	3	oveq1i 7223	. 2 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
5		divclz.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
6		divmuldiv.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
7		divmuldiv.5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≠ 0
8		divmuldiv.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ≠ 0
9	1, 5, 2, 6, 7, 8	divmuldivi 11592	. 2 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷)) = ((𝐶 · 𝐴) / (𝐵 · 𝐷))
10	2, 5, 1, 6, 7, 8	divmuldivi 11592	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
11	4, 9, 10	3eqtr4ri 2776	1 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐶 / 𝐵) · (𝐴 / 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729   · cmul 10734   / cdiv 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490

This theorem is referenced by: (None)