MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuldivi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuldivi 11478
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 16-Feb-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
divclz.1 𝐴 ∈ ℂ
divclz.2 𝐵 ∈ ℂ
divmulz.3 𝐶 ∈ ℂ
divmuldiv.4 𝐷 ∈ ℂ
divmuldiv.5 𝐵 ≠ 0
divmuldiv.6 𝐷 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divmuldivi ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem divmuldivi
StepHypRef Expression
1 divclz.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 divmulz.3 . 2 𝐶 ∈ ℂ
3 divclz.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
4 divmuldiv.5 . . 3 𝐵 ≠ 0
53, 4pm3.2i 474 . 2 (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)
6 divmuldiv.4 . . 3 𝐷 ∈ ℂ
7 divmuldiv.6 . . 3 𝐷 ≠ 0
86, 7pm3.2i 474 . 2 (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)
9 divmuldiv 11418 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷)))
101, 2, 5, 8, 9mp4an 693 1 ((𝐴 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  (class class class)co 7170  cc 10613  0cc0 10615   · cmul 10620   / cdiv 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376
This theorem is referenced by:  divmul13i  11479  8th4div3  11936  halfpm6th  11937  sqrecii  13638  sqdivi  13640  bpoly3  15504  efival  15597  ef01bndlem  15629  sincos4thpi  25258  sincos6thpi  25260  bposlem8  26027  bposlem9  26028  quad3  33199  wallispi2lem1  43154
  Copyright terms: Public domain W3C validator