MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divmuleq 11957
Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
divmuleq (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ท) โ†” (๐ด ยท ๐ท) = (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem divmuleq
StepHypRef Expression
1 divcl 11916 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
213expb 1117 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
32ad2ant2r 745 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4 divcl 11916 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
543expb 1117 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
65ad2ant2l 744 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7 mulcl 11230 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
87ad2ant2r 745 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
9 mulne0 11894 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โ‰  0)
108, 9jca 510 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โ‰  0))
1110adantl 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โ‰  0))
12 mulcan2 11890 . . 3 (((๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โ‰  0)) โ†’ (((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ต / ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) โ†” (๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ท)))
133, 6, 11, 12syl3anc 1368 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ต / ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) โ†” (๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ท)))
14 simprll 777 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
15 simprrl 779 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
163, 14, 15mulassd 11275 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ถ) ยท ๐ท) = ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ถ ยท ๐ท)))
17 divcan1 11919 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ถ) = ๐ด)
18173expb 1117 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ถ) = ๐ด)
1918ad2ant2r 745 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ถ) = ๐ด)
2019oveq1d 7441 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ถ) ยท ๐ท) = (๐ด ยท ๐ท))
2116, 20eqtr3d 2770 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = (๐ด ยท ๐ท))
2214, 15mulcomd 11273 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
2322oveq2d 7442 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ต / ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ต / ๐ท) ยท (๐ท ยท ๐ถ)))
246, 15, 14mulassd 11275 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ต / ๐ท) ยท ๐ท) ยท ๐ถ) = ((๐ต / ๐ท) ยท (๐ท ยท ๐ถ)))
25 divcan1 11919 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ ((๐ต / ๐ท) ยท ๐ท) = ๐ต)
26253expb 1117 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0)) โ†’ ((๐ต / ๐ท) ยท ๐ท) = ๐ต)
2726ad2ant2l 744 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ต / ๐ท) ยท ๐ท) = ๐ต)
2827oveq1d 7441 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ต / ๐ท) ยท ๐ท) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
2923, 24, 283eqtr2d 2774 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ต / ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = (๐ต ยท ๐ถ))
3021, 29eqeq12d 2744 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ (((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ต / ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) โ†” (๐ด ยท ๐ท) = (๐ต ยท ๐ถ)))
3113, 30bitr3d 280 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โ‰  0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ท) โ†” (๐ด ยท ๐ท) = (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146   ยท cmul 11151   / cdiv 11909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910
This theorem is referenced by:  divmuleqd  12074
  Copyright terms: Public domain W3C validator