Theorem divmuleq 11680

Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divmuleq	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divmuleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl 11639	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	ad2ant2r 744	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4		divcl 11639	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
5	4	3expb 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
6	5	ad2ant2l 743	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
7		mulcl 10955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
8	7	ad2ant2r 744	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
9		mulne0 11617	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
10	8, 9	jca 512	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0))
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0))
12		mulcan2 11613	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
13	3, 6, 11, 12	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
14		simprll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		simprrl 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	3, 14, 15	mulassd 10998	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)))
17		divcan1 11642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
18	17	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
19	18	ad2ant2r 744	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
20	19	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
21	16, 20	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐴 · 𝐷))
22	14, 15	mulcomd 10996	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
23	22	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
24	6, 15, 14	mulassd 10998	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
25		divcan1 11642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
26	25	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
27	26	ad2ant2l 743	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
28	27	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
29	23, 24, 28	3eqtr2d 2784	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐵 · 𝐶))
30	21, 29	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))
31	13, 30	bitr3d 280	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876   / cdiv 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  divmuleqd  11797