Theorem divmuleq 11334

Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divmuleq	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divmuleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl 11293	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	ad2ant2r 746	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4		divcl 11293	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
5	4	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
6	5	ad2ant2l 745	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
7		mulcl 10610	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
8	7	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
9		mulne0 11271	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)
10	8, 9	jca 515	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0))
11	10	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0))
12		mulcan2 11267	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) ≠ 0)) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
13	3, 6, 11, 12	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
14		simprll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		simprrl 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	3, 14, 15	mulassd 10653	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)))
17		divcan1 11296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
18	17	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
19	18	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
20	19	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
21	16, 20	eqtr3d 2835	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐴 · 𝐷))
22	14, 15	mulcomd 10651	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
23	22	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
24	6, 15, 14	mulassd 10653	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
25		divcan1 11296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
26	25	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
27	26	ad2ant2l 745	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
28	27	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
29	23, 24, 28	3eqtr2d 2839	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐵 · 𝐶))
30	21, 29	eqeq12d 2814	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))
31	13, 30	bitr3d 284	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  divmuleqd  11451