Theorem dmmcand 45424

Description: Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmcand.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dmmcand.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dmmcand.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dmmcand.bn0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dmmcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

Proof of Theorem dmmcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmcand.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dmmcand.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		dmmcand.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5		dmmcand.bn0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	1, 2, 4, 5	div32d 11920	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)))
7	3, 2, 5	divcan3d 11902	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵) = 𝐶)
8	7	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)) = (𝐴 · 𝐶))
9		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
10	6, 8, 9	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   · cmul 11011   / cdiv 11774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775

This theorem is referenced by:  dvnprodlem2  46055