Theorem dmmcand 45961

Description: Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmcand.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dmmcand.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dmmcand.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dmmcand.bn0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dmmcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

Proof of Theorem dmmcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmcand.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dmmcand.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		dmmcand.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5		dmmcand.bn0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	1, 2, 4, 5	div32d 12016	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)))
7	3, 2, 5	divcan3d 11998	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵) = 𝐶)
8	7	oveq2d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)) = (𝐴 · 𝐶))
9		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
10	6, 8, 9	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7413  ℂcc 11100  0cc0 11102   · cmul 11107   / cdiv 11873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874

This theorem is referenced by:  dvnprodlem2  46590