Theorem dmmcand 45304

Description: Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmcand.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dmmcand.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dmmcand.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dmmcand.bn0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dmmcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

Proof of Theorem dmmcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmcand.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dmmcand.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		dmmcand.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5		dmmcand.bn0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	1, 2, 4, 5	div32d 11987	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)))
7	3, 2, 5	divcan3d 11969	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵) = 𝐶)
8	7	oveq2d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)) = (𝐴 · 𝐶))
9		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
10	6, 8, 9	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  0cc0 11074   · cmul 11079   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  dvnprodlem2  45938