Theorem dmmcand 46244

Description: Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmcand.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dmmcand.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dmmcand.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
dmmcand.bn0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
dmmcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

Proof of Theorem dmmcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmcand.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		dmmcand.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		dmmcand.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11286	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
5		dmmcand.bn0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	1, 2, 4, 5	div32d 12071	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)))
7	3, 2, 5	divcan3d 12053	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵) = 𝐶)
8	7	oveq2d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝐵 · 𝐶) / 𝐵)) = (𝐴 · 𝐶))
9		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · 𝐶))
10	6, 8, 9	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  0cc0 11157   · cmul 11162   / cdiv 11928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929

This theorem is used by:  dvnprodlem2  46873