Theorem divcan8d 44022

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcan8d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcan8d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcan8d.a0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
divcan8d.b0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan8d	⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 · 𝐵)) = (1 / 𝐴))

Proof of Theorem divcan8d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcan8d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		divcan8d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2, 1	mulcld 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4		divcan8d.a0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		divcan8d.b0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 1, 4, 5	mulne0d 11866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
7	2, 1, 6	mulne0bbd 11870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
8	1, 3, 1, 6, 7	divcan7d 12018	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐵) / ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝐵)))
9	8	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) / ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵)))
10	1, 5	dividd 11988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐵) = 1)
11	2, 1, 5	divcan4d 11996	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
12	10, 11	oveq12d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐵) / ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵)) = (1 / 𝐴))
13		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) = (1 / 𝐴))
14	9, 12, 13	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 · 𝐵)) = (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  dvnxpaek  44658