Theorem divcan8d 45294

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcan8d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcan8d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcan8d.a0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
divcan8d.b0	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan8d	⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 · 𝐵)) = (1 / 𝐴))

Proof of Theorem divcan8d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcan8d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		divcan8d.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2, 1	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
4		divcan8d.a0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		divcan8d.b0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	2, 1, 4, 5	mulne0d 11790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
7	2, 1, 6	mulne0bbd 11794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
8	1, 3, 1, 6, 7	divcan7d 11946	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐵) / ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝐵)))
9	8	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) / ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵)))
10	1, 5	dividd 11916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐵) = 1)
11	2, 1, 5	divcan4d 11924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
12	10, 11	oveq12d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐵) / ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵)) = (1 / 𝐴))
13		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) = (1 / 𝐴))
14	9, 12, 13	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (𝐴 · 𝐵)) = (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  dvnxpaek  45924