Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnprodlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvnprodlem2 44961
Description: Induction step for dvnprodlem2 44961. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnprodlem2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvnprodlem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
dvnprodlem2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
dvnprodlem2.h ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
dvnprodlem2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
dvnprodlem2.dvnh ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚)
dvnprodlem2.c 𝐢 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}))
dvnprodlem2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑇)
dvnprodlem2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑇 βˆ– 𝑅))
dvnprodlem2.ind (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
dvnprodlem2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑁))
dvnprodlem2.d 𝐷 = (𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½) ↦ ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩)
Assertion
Ref Expression
dvnprodlem2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π½) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)(((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,π‘˜,𝑑   𝐷,𝑐,𝑑   𝐻,𝑐,𝑗,π‘˜,𝑑   π‘₯,𝐻,𝑐,π‘˜,𝑑   𝐽,𝑐,𝑗,π‘˜,𝑑   𝑛,𝐽,𝑠,𝑐,π‘˜,𝑑   π‘₯,𝐽   𝑗,𝑁,𝑑   𝑅,𝑐,π‘˜,𝑛,𝑠,𝑑   π‘₯,𝑅   𝑆,𝑐,𝑗,π‘˜,𝑑   π‘₯,𝑆   𝑇,𝑗,𝑑   𝑇,𝑠   𝑋,𝑐,𝑗,π‘˜,𝑑   π‘₯,𝑋   𝑍,𝑐,𝑗,π‘˜,𝑑   𝑛,𝑍,𝑠   π‘₯,𝑍   πœ‘,𝑐,𝑗,π‘˜,𝑑   πœ‘,𝑛,𝑠   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑠)   𝐷(π‘₯,𝑗,π‘˜,𝑛,𝑠)   𝑅(𝑗)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑇(π‘₯,π‘˜,𝑛,𝑐)   𝐻(𝑛,𝑠)   𝑁(π‘₯,π‘˜,𝑛,𝑠,𝑐)   𝑋(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem dvnprodlem2
Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
2 nfcv 2901 . . . . . 6 Ⅎ𝑑((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)
3 dvnprodlem2.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
4 dvnprodlem2.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑇)
5 ssfi 9175 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Fin ∧ 𝑅 βŠ† 𝑇) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
76adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
8 dvnprodlem2.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑇 βˆ– 𝑅))
98adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ (𝑇 βˆ– 𝑅))
108eldifbd 3960 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ 𝑅)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑍 ∈ 𝑅)
12 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
134sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
14 dvnprodlem2.h . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
1512, 13, 14syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
1615adantlr 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
17 simplr 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
1816, 17ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
19 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑍 β†’ (π»β€˜π‘‘) = (π»β€˜π‘))
2019fveq1d 6892 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) = ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ πœ‘)
22 eldifi 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝑇 βˆ– 𝑅) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
238, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
24 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇))
26 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑍 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇))
2726anbi2d 627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇)))
2819feq1d 6701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ (π»β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚))
2927, 28imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑍 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)))
3029, 14vtoclg 3541 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚))
3124, 25, 30sylc 65 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
3221, 23, 31syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π»β€˜π‘):π‘‹βŸΆβ„‚)
34 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3533, 34ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
361, 2, 7, 9, 11, 18, 20, 35fprodsplitsn 15937 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) = (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) Β· ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))
3736mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) Β· ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯))))
3837oveq2d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))) = (𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) Β· ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))))
3938fveq1d 6892 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π½) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) Β· ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯))))β€˜π½))
40 dvnprodlem2.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
41 dvnprodlem2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆))
421, 7, 18fprodclf 15940 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
43 dvnprodlem2.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑁))
44 elfznn0 13598 . . . 4 (𝐽 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
4543, 44syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
46 eqid 2730 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))
47 eqid 2730 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯))
48 dvnprodlem2.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑇 ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}))
49 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑅 β†’ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) = ((0...𝑛) ↑m 𝑅))
50 rabeq 3444 . . . . . . . . . . . . 13 (((0...𝑛) ↑m 𝑠) = ((0...𝑛) ↑m 𝑅) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑅 β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
52 sumeq1 15639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑅 β†’ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘))
5352eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛 ↔ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛))
5453rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑅 β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
5551, 54eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑅 β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
5655mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}))
57 ssexg 5322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 βŠ† 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ V)
584, 3, 57syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
59 elpwg 4604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ V β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 ↔ 𝑅 βŠ† 𝑇))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝑇 ↔ 𝑅 βŠ† 𝑇))
614, 60mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇)
6261adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝑇)
63 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 ∈ V
6463mptex 7226 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}) ∈ V)
6648, 56, 62, 65fvmptd3 7020 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (πΆβ€˜π‘…) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}))
67 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (0...𝑛) = (0...π‘˜))
6867oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) = ((0...π‘˜) ↑m 𝑅))
69 rabeq 3444 . . . . . . . . . . . 12 (((0...𝑛) ↑m 𝑅) = ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
71 eqeq2 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛 ↔ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜))
7271rabbidv 3438 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜})
7370, 72eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜})
7473adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜})
75 elfznn0 13598 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7675adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
77 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0...π‘˜) ∈ Fin)
78 mapfi 9350 . . . . . . . . . . . 12 (((0...π‘˜) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Fin) β†’ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∈ Fin)
7977, 6, 78syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∈ Fin)
8079adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∈ Fin)
81 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . 11 {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜} βŠ† ((0...π‘˜) ↑m 𝑅)
8281a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜} βŠ† ((0...π‘˜) ↑m 𝑅))
8380, 82ssexd 5323 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜} ∈ V)
8466, 74, 76, 83fvmptd 7004 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) = {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜})
85 ssfi 9175 . . . . . . . . . 10 ((((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∈ Fin ∧ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜} βŠ† ((0...π‘˜) ↑m 𝑅)) β†’ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜} ∈ Fin)
8679, 81, 85sylancl 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜} ∈ Fin)
8786adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜} ∈ Fin)
8884, 87eqeltrd 2831 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) ∈ Fin)
8988adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) ∈ Fin)
9075faccld 14248 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
9190nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9291ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
936adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
9493adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
95 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑧 ∈ β„•0)
9695ssriv 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...π‘˜) βŠ† β„•0
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (0...π‘˜) βŠ† β„•0)
98 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))
9984eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) ↔ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜}))
10099adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) ↔ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜}))
10198, 100mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜})
10281sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑅 (π‘β€˜π‘‘) = π‘˜} β†’ 𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅))
104 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) β†’ 𝑐:π‘…βŸΆ(0...π‘˜))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ 𝑐:π‘…βŸΆ(0...π‘˜))
106105adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐:π‘…βŸΆ(0...π‘˜))
107 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝑅)
108106, 107ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...π‘˜))
10997, 108sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
110109faccld 14248 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„•)
111110nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
11294, 111fprodcl 15900 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
113110nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) β‰  0)
11494, 111, 113fprodn0 15927 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) β‰  0)
11592, 112, 114divcld 11994 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ ((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
116115adantlr 711 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ ((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
11794adantlr 711 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
11821ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
119118, 13sylancom 586 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
120 elfzuz3 13502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ 𝐽 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
121 fzss2 13545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ (0...π‘˜) βŠ† (0...𝐽))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (0...π‘˜) βŠ† (0...𝐽))
123122adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (0...π‘˜) βŠ† (0...𝐽))
12445nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
125 dvnprodlem2.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
126125nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
127 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐽 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝐽 ≀ 𝑁)
12843, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐽 ≀ 𝑁)
129124, 126, 1283jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ≀ 𝑁))
130 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π½) ↔ (𝐽 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ≀ 𝑁))
131129, 130sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π½))
132 fzss2 13545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π½) β†’ (0...𝐽) βŠ† (0...𝑁))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (0...𝐽) βŠ† (0...𝑁))
134133adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (0...𝐽) βŠ† (0...𝑁))
135123, 134sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (0...π‘˜) βŠ† (0...𝑁))
136135ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (0...π‘˜) βŠ† (0...𝑁))
137136, 108sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁))
138137adantllr 715 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁))
139 fvex 6903 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜π‘‘) ∈ V
140 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁)))
1411403anbi3d 1440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁))))
142 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
143142feq1d 6701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚))
144141, 143imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)))
145 dvnprodlem2.dvnh . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚)
146139, 144, 145vtocl 3544 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
147118, 119, 138, 146syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
148 simpllr 772 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
149147, 148ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
150117, 149fprodcl 15900 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
151116, 150mulcld 11238 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
15289, 151fsumcl 15683 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
153152fmpttd 7115 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))):π‘‹βŸΆβ„‚)
154 dvnprodlem2.ind . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
155154adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
156 0zd 12574 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 0 ∈ β„€)
157126adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
158 elfzelz 13505 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
159158adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
160 elfzle1 13508 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ 0 ≀ π‘˜)
161160adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 0 ≀ π‘˜)
162159zred 12670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
16345nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
164163adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
165157zred 12670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
166 elfzle2 13509 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ π‘˜ ≀ 𝐽)
167166adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ π‘˜ ≀ 𝐽)
168128adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝐽 ≀ 𝑁)
169162, 164, 165, 167, 168letrd 11375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
170156, 157, 159, 161, 169elfzd 13496 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
171 rspa 3243 . . . . . 6 ((βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
172155, 170, 171syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
173172feq1d 6701 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))):π‘‹βŸΆβ„‚))
174153, 173mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)
17523adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
176 simpl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ πœ‘)
177176, 175, 1703jca 1126 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)))
178263anbi2d 1439 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁))))
17919oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑍 β†’ (𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘)) = (𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘)))
180179fveq1d 6892 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜))
181180feq1d 6701 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑍 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚))
182178, 181imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑍 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)))
183 eleq1 2819 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ∈ (0...𝑁)))
1841833anbi3d 1440 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁))))
185 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜))
186185feq1d 6701 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚))
187184, 186imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)))
188187, 145chvarvv 2000 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)
189182, 188vtoclg 3541 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚))
190175, 177, 189sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)
19132feqmptd 6959 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))
192191eqcomd 2736 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)) = (π»β€˜π‘))
193192oveq2d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯))) = (𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘)))
194193fveq1d 6892 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜))
195194adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜))
196195feq1d 6701 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚))
197190, 196mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚)
198 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦) = ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))
199198prodeq2ad 44606 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))
200199cbvmptv 5260 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯))
201200oveq2i 7422 . . . . 5 (𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦))) = (𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))
202201fveq1i 6891 . . . 4 ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)
203202mpteq2i 5252 . . 3 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜))
204 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦) = ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯))
205204cbvmptv 5260 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯))
206205oveq2i 7422 . . . . 5 (𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦))) = (𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))
207206fveq1i 6891 . . . 4 ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)
208207mpteq2i 5252 . . 3 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜))
20940, 41, 42, 35, 45, 46, 47, 174, 197, 203, 208dvnmul 44957 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯) Β· ((π»β€˜π‘)β€˜π‘₯))))β€˜π½) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐽)((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)))))
210202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜))
211154r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
212176, 170, 211syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
213210, 212eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
214213mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))))
215 mptexg 7224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) ∈ V)
21641, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) ∈ V)
217216adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) ∈ V)
218214, 217fvmpt2d 7010 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
219218adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
220219fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))β€˜π‘₯))
22134adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
222152an32s 648 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
223 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
224223fvmpt2 7008 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))β€˜π‘₯) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
225221, 222, 224syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))β€˜π‘₯) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
226220, 225eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
227 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘—))
228227cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘—))
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘—)))
230206, 193eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦))) = (𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘)))
231230fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—))
232231mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—)))
233229, 232eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—)))
234233adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—)))
235 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ π‘˜) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)))
236235adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑗 = (𝐽 βˆ’ π‘˜)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)))
237 0zd 12574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ 0 ∈ β„€)
238 elfzel2 13503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
239238, 158zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
240237, 238, 2393jca 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (0 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€ ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€))
241238zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
24275nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
243241, 242subge0d 11808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (0 ≀ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ↔ π‘˜ ≀ 𝐽))
244166, 243mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ 0 ≀ (𝐽 βˆ’ π‘˜))
245241, 242subge02d 11810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (0 ≀ π‘˜ ↔ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ≀ 𝐽))
246160, 245mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ≀ 𝐽)
247240, 244, 246jca32 514 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ ((0 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€ ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€) ∧ (0 ≀ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ≀ 𝐽)))
248247adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((0 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€ ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€) ∧ (0 ≀ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ≀ 𝐽)))
249 elfz2 13495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ (0...𝐽) ↔ ((0 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€ ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€) ∧ (0 ≀ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ≀ 𝐽)))
250248, 249sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ (0...𝐽))
251 fvex 6903 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)) ∈ V
252251a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)) ∈ V)
253234, 236, 250, 252fvmptd 7004 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)))
254253adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)))
255254fveq1d 6892 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))
256226, 255oveq12d 7429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)) = (Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)))
257256oveq2d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))) = ((𝐽Cπ‘˜) Β· (Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))))
25888adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) ∈ Fin)
259 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ V
260 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ π‘˜) β†’ (𝑗 ∈ (0...𝐽) ↔ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ (0...𝐽)))
261260anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ π‘˜) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝐽)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ (0...𝐽))))
262235feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ π‘˜) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚))
263261, 262imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ π‘˜) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)))
264 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↔ 𝑗 ∈ (0...𝐽)))
265264anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝐽))))
266 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—))
267266feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚))
268265, 267imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘˜):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚)))
269268, 190chvarvv 2000 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚)
270259, 263, 269vtocl 3544 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐽 βˆ’ π‘˜) ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
271176, 250, 270syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
272271adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)):π‘‹βŸΆβ„‚)
273272, 221ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
274 anass 467 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)))
275 ancom 459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)))
276275anbi2i 621 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽))))
277 anass 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽))))
278277bicomi 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽))) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)))
279276, 278bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)))
280274, 279bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)))
281280anbi1i 622 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)))
282281imbi1i 348 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚) ↔ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚))
283151, 282mpbi 229 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
284258, 273, 283fsummulc1 15735 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)))
285284oveq2d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝐽Cπ‘˜) Β· (Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)(((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))) = ((𝐽Cπ‘˜) Β· Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))))
286176, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
287286, 159bccld 44323 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝐽Cπ‘˜) ∈ β„•0)
288287nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝐽Cπ‘˜) ∈ β„‚)
289288adantlr 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝐽Cπ‘˜) ∈ β„‚)
290273adantr 479 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
291283, 290mulcld 11238 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
292258, 289, 291fsummulc2 15734 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝐽Cπ‘˜) Β· Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))))
293257, 285, 2923eqtrd 2774 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))))
294293sumeq2dv 15653 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐽)((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐽)Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))))
295 vex 3476 . . . . . . . 8 π‘˜ ∈ V
296 vex 3476 . . . . . . . 8 𝑐 ∈ V
297295, 296op1std 7987 . . . . . . 7 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (1st β€˜π‘) = π‘˜)
298297oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (𝐽C(1st β€˜π‘)) = (𝐽Cπ‘˜))
299297fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (!β€˜(1st β€˜π‘)) = (!β€˜π‘˜))
300295, 296op2ndd 7988 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘) = 𝑐)
301300fveq1d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
302301fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) = (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
303302prodeq2ad 44606 . . . . . . . . 9 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
304299, 303oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ ((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) = ((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))))
305301fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
306305fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
307306prodeq2ad 44606 . . . . . . . 8 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
308304, 307oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
309297oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) = (𝐽 βˆ’ π‘˜))
310309fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘))) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜)))
311310fveq1d 6892 . . . . . . 7 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))
312308, 311oveq12d 7429 . . . . . 6 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯)) = ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)))
313298, 312oveq12d 7429 . . . . 5 (𝑝 = βŸ¨π‘˜, π‘βŸ© β†’ ((𝐽C(1st β€˜π‘)) Β· ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯))) = ((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))))
314 fzfid 13942 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0...𝐽) ∈ Fin)
315289adantrr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (𝐽Cπ‘˜) ∈ β„‚)
316291anasss 465 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
317315, 316mulcld 11238 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ ((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
318313, 314, 258, 317fsum2d 15721 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐽)Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((!β€˜π‘˜) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))) = Σ𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))((𝐽C(1st β€˜π‘)) Β· ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯))))
319 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ∈ V
320296resex 6028 . . . . . . . . 9 (𝑐 β†Ύ 𝑅) ∈ V
321319, 320op1std 7987 . . . . . . . 8 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (1st β€˜π‘) = (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))
322321oveq2d 7427 . . . . . . 7 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (𝐽C(1st β€˜π‘)) = (𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))
323321fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (!β€˜(1st β€˜π‘)) = (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))
324319, 320op2ndd 7988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (2nd β€˜π‘) = (𝑐 β†Ύ 𝑅))
325324fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) = ((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))
326325fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) = (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘)))
327326prodeq2ad 44606 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘)))
328323, 327oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ ((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) = ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))))
329325fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘)))
330329fveq1d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
331330prodeq2ad 44606 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
332328, 331oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
333321oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) = (𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))
334333fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘))) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))))
335334fveq1d 6892 . . . . . . . 8 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯))
336332, 335oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯)) = ((((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯)))
337322, 336oveq12d 7429 . . . . . 6 (𝑝 = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ β†’ ((𝐽C(1st β€˜π‘)) Β· ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯))) = ((𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯))))
338 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑅 βˆͺ {𝑍}) β†’ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) = ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})))
339 rabeq 3444 . . . . . . . . . . . . 13 (((0...𝑛) ↑m 𝑠) = ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
340338, 339syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑅 βˆͺ {𝑍}) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
341 sumeq1 15639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑅 βˆͺ {𝑍}) β†’ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘))
342341eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑅 βˆͺ {𝑍}) β†’ (Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛 ↔ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛))
343342rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑅 βˆͺ {𝑍}) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
344340, 343eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑅 βˆͺ {𝑍}) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
345344mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑅 βˆͺ {𝑍}) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m 𝑠) ∣ Σ𝑑 ∈ 𝑠 (π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}))
34623snssd 4811 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝑍} βŠ† 𝑇)
3474, 346unssd 4185 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) βŠ† 𝑇)
3483, 347ssexd 5323 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ V)
349 elpwg 4604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ V β†’ ((𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ 𝒫 𝑇 ↔ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) βŠ† 𝑇))
350348, 349syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ 𝒫 𝑇 ↔ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) βŠ† 𝑇))
351347, 350mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ 𝒫 𝑇)
35263mptex 7226 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}) ∈ V
353352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}) ∈ V)
35448, 345, 351, 353fvmptd3 7020 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍})) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛}))
355 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐽 β†’ (0...𝑛) = (0...𝐽))
356355oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐽 β†’ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) = ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})))
357 rabeq 3444 . . . . . . . . . . . 12 (((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) = ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
358356, 357syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐽 β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛})
359 eqeq2 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐽 β†’ (Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛 ↔ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽))
360359rabbidv 3438 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐽 β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽})
361358, 360eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐽 β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽})
362361adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝐽) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽})
363 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∈ V
364363rabex 5331 . . . . . . . . . 10 {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽} ∈ V
365364a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽} ∈ V)
366354, 362, 45, 365fvmptd 7004 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½) = {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽})
367 fzfid 13942 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0...𝐽) ∈ Fin)
368 snfi 9046 . . . . . . . . . . . 12 {𝑍} ∈ Fin
369368a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝑍} ∈ Fin)
370 unfi 9174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) β†’ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
3716, 369, 370syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
372 mapfi 9350 . . . . . . . . . 10 (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin) β†’ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∈ Fin)
373367, 371, 372syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∈ Fin)
374 ssrab2 4076 . . . . . . . . . 10 {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽} βŠ† ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍}))
375374a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽} βŠ† ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})))
376 ssfi 9175 . . . . . . . . 9 ((((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∈ Fin ∧ {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽} βŠ† ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍}))) β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽} ∈ Fin)
377373, 375, 376syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽} ∈ Fin)
378366, 377eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½) ∈ Fin)
379378adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½) ∈ Fin)
380 dvnprodlem2.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½) ↦ ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩)
38148, 45, 380, 3, 23, 10, 347dvnprodlem1 44960 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷:((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)–1-1-ontoβ†’βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)))
382381adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷:((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)–1-1-ontoβ†’βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)))
383 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½))
384 opex 5463 . . . . . . . . 9 ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ ∈ V
385384a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ ∈ V)
386380fvmpt2 7008 . . . . . . . 8 ((𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½) ∧ ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩ ∈ V) β†’ (π·β€˜π‘) = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩)
387383, 385, 386syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (π·β€˜π‘) = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩)
388387adantlr 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (π·β€˜π‘) = ⟨(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)), (𝑐 β†Ύ 𝑅)⟩)
38945adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ 𝐽 ∈ β„•0)
390 eliun 5000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝐽)𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)))
391390biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝐽)𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)))
392391adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝐽)𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)))
393 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜πœ‘
394 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜π‘
395 nfiu1 5030 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))
396394, 395nfel 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))
397393, 396nfan 1900 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)))
398 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)
399 xp1st 8009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ {π‘˜})
400 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1st β€˜π‘) ∈ {π‘˜} β†’ (1st β€˜π‘) = π‘˜)
401399, 400syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (1st β€˜π‘) = π‘˜)
402401adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (1st β€˜π‘) = π‘˜)
403 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝐽))
404402, 403eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽))
405404ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)))
406405a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽))))
407397, 398, 406rexlimd 3261 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝐽)𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)))
408392, 407mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽))
409 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . 11 ((1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ β„€)
410408, 409syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ β„€)
411389, 410bccld 44323 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (𝐽C(1st β€˜π‘)) ∈ β„•0)
412411nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (𝐽C(1st β€˜π‘)) ∈ β„‚)
413412adantlr 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (𝐽C(1st β€˜π‘)) ∈ β„‚)
414 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ β„•0)
415408, 414syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ β„•0)
416415faccld 14248 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (!β€˜(1st β€˜π‘)) ∈ β„•)
417416nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (!β€˜(1st β€˜π‘)) ∈ β„‚)
418417adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (!β€˜(1st β€˜π‘)) ∈ β„‚)
4196adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
420 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜(2nd β€˜π‘):π‘…βŸΆ(0...𝐽)
42184, 82eqsstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) βŠ† ((0...π‘˜) ↑m 𝑅))
422 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0...𝐽) ∈ V
423422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (0...𝐽) ∈ V)
424 mapss 8885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((0...𝐽) ∈ V ∧ (0...π‘˜) βŠ† (0...𝐽)) β†’ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) βŠ† ((0...𝐽) ↑m 𝑅))
425423, 122, 424syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) βŠ† ((0...𝐽) ↑m 𝑅))
426425adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((0...π‘˜) ↑m 𝑅) βŠ† ((0...𝐽) ↑m 𝑅))
427421, 426sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽)) β†’ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) βŠ† ((0...𝐽) ↑m 𝑅))
4284273adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜) βŠ† ((0...𝐽) ↑m 𝑅))
429 xp2nd 8010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))
4304293ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))
431428, 430sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (2nd β€˜π‘) ∈ ((0...𝐽) ↑m 𝑅))
432 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2nd β€˜π‘) ∈ ((0...𝐽) ↑m 𝑅) β†’ (2nd β€˜π‘):π‘…βŸΆ(0...𝐽))
433431, 432syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (2nd β€˜π‘):π‘…βŸΆ(0...𝐽))
4344333exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (2nd β€˜π‘):π‘…βŸΆ(0...𝐽))))
435434adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (2nd β€˜π‘):π‘…βŸΆ(0...𝐽))))
436397, 420, 435rexlimd 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝐽)𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (2nd β€˜π‘):π‘…βŸΆ(0...𝐽)))
437392, 436mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (2nd β€˜π‘):π‘…βŸΆ(0...𝐽))
438437ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝐽))
439 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝐽) β†’ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
440439faccld 14248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝐽) β†’ (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) ∈ β„•)
441440nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝐽) β†’ (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
442438, 441syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
443419, 442fprodcl 15900 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
444443adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
445438, 440syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) ∈ β„•)
446 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . 13 ((!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) ∈ β„• β†’ (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) β‰  0)
447445, 446syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) β‰  0)
448419, 442, 447fprodn0 15927 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) β‰  0)
449448adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)) β‰  0)
450418, 444, 449divcld 11994 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ ((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
4517adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
452 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
453452, 13sylancom 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
454452, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (0...𝐽) βŠ† (0...𝑁))
455454, 438sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁))
456452, 453, 4553jca 1126 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁)))
457 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁)))
4584573anbi3d 1440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁))))
459 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)))
460459feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚))
461458, 460imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)))
462461, 145vtoclg 3541 . . . . . . . . . . . . 13 (((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝐽) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚))
463438, 456, 462sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
464463adantllr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
46517adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
466464, 465ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
467451, 466fprodcl 15900 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
468450, 467mulcld 11238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
469 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽)
470 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ πœ‘)
4714043adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽))
472 fznn0sub2 13612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽) β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽))
473472adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (1st β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽))
474470, 471, 473syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝐽) ∧ 𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽))
4754743exp 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽))))
476475adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝐽) β†’ (𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽))))
477397, 469, 476rexlimd 3261 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝐽)𝑝 ∈ ({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽)))
478392, 477mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽))
479 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ πœ‘)
480479, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
481479, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (0...𝐽) βŠ† (0...𝑁))
482481, 478sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝑁))
483479, 480, 4823jca 1126 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝑁)))
484 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝑁)))
4854843anbi3d 1440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝑁))))
486 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘))))
487486feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘))):π‘‹βŸΆβ„‚))
488485, 487imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘))):π‘‹βŸΆβ„‚)))
489 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
490 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
491263anbi2d 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))))
492179fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—))
493492feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑍 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚))
494491, 493imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑍 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚)))
495494, 145vtoclg 3541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚))
496489, 490, 495sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚)
497488, 496vtoclg 3541 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘))):π‘‹βŸΆβ„‚))
498478, 483, 497sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘))):π‘‹βŸΆβ„‚)
499498adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘))):π‘‹βŸΆβ„‚)
50034adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
501499, 500ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
502468, 501mulcld 11238 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
503413, 502mulcld 11238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))) β†’ ((𝐽C(1st β€˜π‘)) Β· ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
504337, 379, 382, 388, 503fsumf1o 15673 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Σ𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))((𝐽C(1st β€˜π‘)) Β· ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯))) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)((𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯))))
505 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ πœ‘)
506366adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½) = {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽})
507383, 506eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽})
508374sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) ∣ Σ𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(π‘β€˜π‘‘) = 𝐽} β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})))
509507, 508syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})))
510 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ ((0...𝐽) ↑m (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ 𝑐:(𝑅 βˆͺ {𝑍})⟢(0...𝐽))
511509, 510syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑐:(𝑅 βˆͺ {𝑍})⟢(0...𝐽))
512 snidg 4661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ 𝑇 β†’ 𝑍 ∈ {𝑍})
51323, 512syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ {𝑍})
514 elun2 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ {𝑍} β†’ 𝑍 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍}))
515513, 514syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍}))
516515adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑍 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍}))
517511, 516ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽))
518 0zd 12574 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ 0 ∈ β„€)
519124adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
520 fzssz 13507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...𝐽) βŠ† β„€
521520sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„€)
522521adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„€)
523519, 522zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ∈ β„€)
524 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽) β†’ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝐽)
525524adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝐽)
526163adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
527522zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ ℝ)
528526, 527subge0d 11808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (0 ≀ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ↔ (π‘β€˜π‘) ≀ 𝐽))
529525, 528mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ 0 ≀ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))
530 elfzle1 13508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘))
531530adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘))
532526, 527subge02d 11810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (0 ≀ (π‘β€˜π‘) ↔ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ≀ 𝐽))
533531, 532mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ≀ 𝐽)
534518, 519, 523, 529, 533elfzd 13496 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽)) β†’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽))
535505, 517, 534syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽))
536 bcval2 14269 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽) β†’ (𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) = ((!β€˜π½) / ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) Β· (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))))
537535, 536syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) = ((!β€˜π½) / ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) Β· (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))))
538163recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
539538adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
540 zsscn 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„€ βŠ† β„‚
541520, 540sstri 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0...𝐽) βŠ† β„‚
542541a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (0...𝐽) βŠ† β„‚)
543542, 517sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„‚)
544539, 543nncand 11580 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) = (π‘β€˜π‘))
545544fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) = (!β€˜(π‘β€˜π‘)))
546545oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) Β· (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) = ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))))
547546oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((!β€˜π½) / ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) Β· (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))) = ((!β€˜π½) / ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))))
54845faccld 14248 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (!β€˜π½) ∈ β„•)
549548nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (!β€˜π½) ∈ β„‚)
550549adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜π½) ∈ β„‚)
551 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„•0)
552517, 551syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„•0)
553552faccld 14248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘)) ∈ β„•)
554553nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘)) ∈ β„‚)
555 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ∈ (0...𝐽) β†’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ∈ β„•0)
556535, 555syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)) ∈ β„•0)
557556faccld 14248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) ∈ β„•)
558557nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) ∈ β„‚)
559553nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘)) β‰  0)
560557nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) β‰  0)
561550, 554, 558, 559, 560divdiv1d 12025 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) / (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) = ((!β€˜π½) / ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))))
562561eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((!β€˜π½) / ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))) = (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) / (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))))
563537, 547, 5623eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) = (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) / (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))))
564563adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) = (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) / (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))))
565 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ 𝑅 β†’ ((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
566565fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ 𝑅 β†’ (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘)) = (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
567566prodeq2i 15867 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘)) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))
568567oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) = ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
569565fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ 𝑅 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
570569fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ 𝑅 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
571570prodeq2i 15867 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)
572568, 571oveq12i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
573572a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
574573adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
575558adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) ∈ β„‚)
576505, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
57775ssriv 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0...𝐽) βŠ† β„•0
578577a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (0...𝐽) βŠ† β„•0)
579511adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ 𝑐:(𝑅 βˆͺ {𝑍})⟢(0...𝐽))
580 elun1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ 𝑅 β†’ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍}))
581580adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍}))
582579, 581ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝐽))
583578, 582sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
584583faccld 14248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„•)
585584nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
586576, 585fprodcl 15900 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
587586adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
5887adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
589505adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
590505, 13sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
591589, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (0...𝐽) βŠ† (0...𝑁))
592591, 582sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁))
593589, 590, 592, 146syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
594593adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
59517adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
596594, 595ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
597588, 596fprodcl 15900 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
598576, 584fprodnncl 15903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„•)
599 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„• β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) β‰  0)
600598, 599syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) β‰  0)
601600adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) β‰  0)
602575, 587, 597, 601div32d 12017 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))))
603574, 602eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))))
604544fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘)))
605604fveq1d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯))
606605adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯))
607603, 606oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)))
608597, 587, 601divcld 11994 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
609505, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
610505, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (0...𝐽) βŠ† (0...𝑁))
611610, 517sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝑁))
612505, 609, 6113jca 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝑁)))
613 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (π‘β€˜π‘) β†’ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝑁)))
6146133anbi3d 1440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (π‘β€˜π‘) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝑁))))
615 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (π‘β€˜π‘) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘)))
616615feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (π‘β€˜π‘) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚))
617614, 616imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (π‘β€˜π‘) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)))
618617, 496vtoclg 3541 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝐽) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚))
619517, 612, 618sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
620619adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
62134adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
622620, 621ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
623575, 608, 622mulassd 11241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)) = ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯))))
624607, 623eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯)) = ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯))))
625564, 624oveq12d 7429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯))) = ((((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) / (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) Β· ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)))))
626549ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜π½) ∈ β„‚)
627554adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘)) ∈ β„‚)
628559adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘)) β‰  0)
629626, 627, 628divcld 11994 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) ∈ β„‚)
630608, 622mulcld 11238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
631560adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) β‰  0)
632629, 575, 630, 631dmmcand 44321 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) / (!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘)))) Β· ((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)))) = (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) Β· ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯))))
633597, 622, 587, 601div23d 12031 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) = ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)))
634633eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)) = ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))))
635 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½))
636 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)
637609adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
63811adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ Β¬ 𝑍 ∈ 𝑅)
639 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝑍 β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘))
640179, 639fveq12d 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)) = ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘)))
641640fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑍 β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯))
642635, 636, 588, 637, 638, 596, 641, 622fprodsplitsn 15937 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) = (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)))
643642eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)) = βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))
644643oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) = (βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))))
645634, 644eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯)) = (βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))))
646645oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) Β· ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯))) = (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) Β· (βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))))
647588, 368, 370sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
648505adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ πœ‘)
649347sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
650649adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
651511, 610fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ 𝑐:(𝑅 βˆͺ {𝑍})⟢(0...𝑁))
652651ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝑁))
653648, 650, 652, 146syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
654653adantllr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ ((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘)):π‘‹βŸΆβ„‚)
655621adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
656654, 655ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
657647, 656fprodcl 15900 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
658626, 627, 657, 587, 628, 601divmuldivd 12035 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) Β· (βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))) = (((!β€˜π½) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) / ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))))
659554, 586mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) = (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) Β· (!β€˜(π‘β€˜π‘))))
660 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½))
661 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑑(!β€˜(π‘β€˜π‘))
662505, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ Β¬ 𝑍 ∈ 𝑅)
663639fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑍 β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) = (!β€˜(π‘β€˜π‘)))
664660, 661, 576, 609, 662, 585, 663, 554fprodsplitsn 15937 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) = (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) Β· (!β€˜(π‘β€˜π‘))))
665664eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) Β· (!β€˜(π‘β€˜π‘))) = βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
666659, 665eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) = βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))
667666oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) / ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))) = (((!β€˜π½) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))))
668667adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) / ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))) = (((!β€˜π½) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))))
669505, 371syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (𝑅 βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
670577a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ (0...𝐽) βŠ† β„•0)
671511ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ (0...𝐽))
672670, 671sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
673672faccld 14248 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„•)
674673nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
675669, 674fprodcl 15900 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
676675adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
677673nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) β‰  0)
678669, 674, 677fprodn0 15927 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) β‰  0)
679678adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘)) β‰  0)
680626, 657, 676, 679div23d 12031 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) = (((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
681 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) = (((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
682668, 680, 6813eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) / ((!β€˜(π‘β€˜π‘)) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘)))) = (((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
683646, 658, 6823eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ (((!β€˜π½) / (!β€˜(π‘β€˜π‘))) Β· ((βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(π‘β€˜π‘))β€˜π‘₯))) = (((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
684625, 632, 6833eqtrd 2774 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)) β†’ ((𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯))) = (((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
685684sumeq2dv 15653 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)((𝐽C(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) Β· ((((!β€˜(𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((𝑐 β†Ύ 𝑅)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (𝐽 βˆ’ (π‘β€˜π‘))))β€˜π‘₯))) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)(((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
686504, 685eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Σ𝑝 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0...𝐽)({π‘˜} Γ— ((πΆβ€˜π‘…)β€˜π‘˜))((𝐽C(1st β€˜π‘)) Β· ((((!β€˜(1st β€˜π‘)) / βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (!β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜((2nd β€˜π‘)β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)) Β· (((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘))β€˜(𝐽 βˆ’ (1st β€˜π‘)))β€˜π‘₯))) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)(((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
687294, 318, 6863eqtrd 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐽)((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯))) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)(((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯)))
688687mpteq2dva 5247 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝐽)((𝐽Cπ‘˜) Β· ((((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ 𝑅 ((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· (((π‘˜ ∈ (0...𝐽) ↦ ((𝑆 D𝑛 (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((π»β€˜π‘)β€˜π‘¦)))β€˜π‘˜))β€˜(𝐽 βˆ’ π‘˜))β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)(((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
68939, 209, 6883eqtrd 2774 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})((π»β€˜π‘‘)β€˜π‘₯)))β€˜π½) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑅 βˆͺ {𝑍}))β€˜π½)(((!β€˜π½) / βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(!β€˜(π‘β€˜π‘‘))) Β· βˆπ‘‘ ∈ (𝑅 βˆͺ {𝑍})(((𝑆 D𝑛 (π»β€˜π‘‘))β€˜(π‘β€˜π‘‘))β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  !cfa 14237  Ccbc 14266  Ξ£csu 15636  βˆcprod 15853   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  β„‚fldccnfld 21144   D𝑛 cdvn 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-prod 15854  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-dvn 25617
This theorem is referenced by:  dvnprodlem3  44962
  Copyright terms: Public domain W3C validator