Theorem divcan3d 11970

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11870	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  prodgt0  12036  mulge0b  12060  ltdivmul  12065  ledivmul  12066  zneo  12624  2tnp1ge0ge0  13798  quoremz  13824  quoremnn0ALT  13826  moddiffl  13851  zesq  14198  discr  14212  bcn1  14285  crre  15087  abslem2  15313  fallfacval4  16016  sinhval  16129  eirrlem  16179  sqrt2irrlem  16223  ltoddhalfle  16338  flodddiv4  16392  bitsp1e  16409  bitsp1o  16410  iserodd  16813  fldivp1  16875  4sqlem17  16939  smndex2dlinvh  18851  gexexlem  19789  abv1z  20740  gzrngunit  21357  cphipval2  25148  ovolunlem1a  25404  itg1mulc  25612  dvrec  25866  elqaalem3  26236  eff1olem  26464  logf1o2  26566  isosctrlem2  26736  heron  26755  dcubic2  26761  mcubic  26764  cubic2  26765  dquartlem1  26768  dquartlem2  26769  dquart  26770  cosasin  26821  efiatan2  26834  tanatan  26836  dvatan  26852  atantayl3  26856  jensen  26906  basellem3  27000  basellem5  27002  basellem8  27005  logfacrlim  27142  perfectlem2  27148  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  2lgslem1c  27311  2lgslem3a  27314  dchrvmasumlem1  27413  mudivsum  27448  vmalogdivsum2  27456  logsqvma  27460  selberglem2  27464  selberglem3  27465  selberg  27466  selbergr  27486  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntsval2  27494  pntpbnd1a  27503  pntibndlem2  27509  axsegconlem9  28859  cdj1i  32369  quad3d  32680  constrresqrtcl  33774  subfacval2  35181  circum  35668  knoppndvlem2  36508  knoppndvlem9  36515  areacirclem1  37709  areacirclem4  37712  lcmineqlem11  42034  aks4d1p1p4  42066  unitscyglem4  42193  zdivgd  42332  cxp111d  42337  readvrec2  42356  sqrtcval  43637  hashnzfzclim  44318  dmmcand  45318  sumnnodd  45635  sinmulcos  45870  itgsinexp  45960  itgcoscmulx  45974  itgsincmulx  45979  stirlinglem7  46085  dirkertrigeqlem3  46105  dirkeritg  46107  dirkercncflem2  46109  fourierdlem79  46190  fourierdlem83  46194  fourierdlem95  46206  fouriercnp  46231  fourierswlem  46235  etransclem24  46263  etransclem41  46280  sfprmdvdsmersenne  47608  dfodd6  47642  dfeven4  47643  perfectALTVlem2  47727  line2  48745  itscnhlc0xyqsol  48758  itsclquadb  48769  sinhpcosh  49733