Theorem divcan3d 11912

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  0cc0 11016   · cmul 11021   / cdiv 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785

This theorem is referenced by:  prodgt0  11978  mulge0b  12002  ltdivmul  12007  ledivmul  12008  zneo  12566  2tnp1ge0ge0  13743  quoremz  13769  quoremnn0ALT  13771  moddiffl  13796  zesq  14143  discr  14157  bcn1  14230  crre  15031  abslem2  15257  fallfacval4  15960  sinhval  16073  eirrlem  16123  sqrt2irrlem  16167  ltoddhalfle  16282  flodddiv4  16336  bitsp1e  16353  bitsp1o  16354  iserodd  16757  fldivp1  16819  4sqlem17  16883  smndex2dlinvh  18835  gexexlem  19774  abv1z  20749  gzrngunit  21380  cphipval2  25178  ovolunlem1a  25434  itg1mulc  25642  dvrec  25896  elqaalem3  26266  eff1olem  26494  logf1o2  26596  isosctrlem2  26766  heron  26785  dcubic2  26791  mcubic  26794  cubic2  26795  dquartlem1  26798  dquartlem2  26799  dquart  26800  cosasin  26851  efiatan2  26864  tanatan  26866  dvatan  26882  atantayl3  26886  jensen  26936  basellem3  27030  basellem5  27032  basellem8  27035  logfacrlim  27172  perfectlem2  27178  lgsquadlem1  27328  lgsquadlem2  27329  2lgslem1c  27341  2lgslem3a  27344  dchrvmasumlem1  27443  mudivsum  27478  vmalogdivsum2  27486  logsqvma  27490  selberglem2  27494  selberglem3  27495  selberg  27496  selbergr  27516  selberg3r  27517  selberg4r  27518  selberg34r  27519  pntsval2  27524  pntpbnd1a  27533  pntibndlem2  27539  axsegconlem9  28914  cdj1i  32424  quad3d  32744  constrresqrtcl  33801  subfacval2  35242  circum  35729  knoppndvlem2  36568  knoppndvlem9  36575  areacirclem1  37758  areacirclem4  37761  lcmineqlem11  42142  aks4d1p1p4  42174  unitscyglem4  42301  zdivgd  42445  cxp111d  42450  readvrec2  42469  sqrtcval  43748  hashnzfzclim  44429  dmmcand  45428  sumnnodd  45744  sinmulcos  45977  itgsinexp  46067  itgcoscmulx  46081  itgsincmulx  46086  stirlinglem7  46192  dirkertrigeqlem3  46212  dirkeritg  46214  dirkercncflem2  46216  fourierdlem79  46297  fourierdlem83  46301  fourierdlem95  46313  fouriercnp  46338  fourierswlem  46342  etransclem24  46370  etransclem41  46387  sfprmdvdsmersenne  47717  dfodd6  47751  dfeven4  47752  perfectALTVlem2  47836  line2  48867  itscnhlc0xyqsol  48880  itsclquadb  48891  sinhpcosh  49855