Theorem divcan3d 12099

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 12001	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  0cc0 11201   · cmul 11206   / cdiv 11974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975

This theorem is used by:  prodgt0  12165  mulge0b  12188  ltdivmul  12193  ledivmul  12194  zneo  12783  2tnp1ge0ge0  13970  quoremz  13996  quoremnn0ALT  13998  moddiffl  14023  zesq  14371  discr  14385  bcn1  14458  crre  15282  abslem2  15508  fallfacval4  16210  sinhval  16323  eirrlem  16373  sqrt2irrlem  16417  ltoddhalfle  16532  flodddiv4  16586  bitsp1e  16603  bitsp1o  16604  iserodd  17014  fldivp1  17076  4sqlem17  17140  smndex2dlinvh  19117  gexexlem  20067  abv1z  21082  gzrngunit  21740  cphipval2  25563  ovolunlem1a  25818  itg1mulc  26026  dvrec  26276  elqaalem3  26645  eff1olem  26877  logf1o2  26979  isosctrlem2  27148  heron  27167  dcubic2  27173  mcubic  27176  cubic2  27177  dquartlem1  27180  dquartlem2  27181  dquart  27182  cosasin  27233  efiatan2  27246  tanatan  27248  dvatan  27264  atantayl3  27268  jensen  27317  basellem3  27411  basellem5  27413  basellem8  27416  logfacrlim  27552  perfectlem2  27558  lgsquadlem1  27708  lgsquadlem2  27709  2lgslem1c  27721  2lgslem3a  27724  dchrvmasumlem1  27823  mudivsum  27858  vmalogdivsum2  27866  logsqvma  27870  selberglem2  27874  selberglem3  27875  selberg  27876  selbergr  27896  selberg3r  27897  selberg4r  27898  selberg34r  27899  pntsval2  27904  pntpbnd1a  27913  pntibndlem2  27919  axsegconlem9  29504  cdj1i  33036  quad3d  33384  constrresqrtcl  34452  subfacval2  36021  circum  36508  knoppndvlem2  37454  knoppndvlem9  37461  areacirclem1  38702  areacirclem4  38705  lcmineqlem11  43165  aks4d1p1p4  43197  unitscyglem4  43324  zdivgd  43464  cxp111d  43469  readvrec2  43488  sqrtcval  44717  hashnzfzclim  45382  dmmcand  46405  sumnnodd  46718  sinmulcos  46951  itgsinexp  47041  itgcoscmulx  47055  itgsincmulx  47060  stirlinglem7  47166  dirkertrigeqlem3  47186  dirkeritg  47188  dirkercncflem2  47190  fourierdlem79  47271  fourierdlem83  47275  fourierdlem95  47287  fouriercnp  47312  fourierswlem  47316  etransclem24  47344  etransclem41  47361  sfprmdvdsmersenne  48764  dfodd6  48811  dfeven4  48812  perfectALTVlem2  48896  line2  49940  itscnhlc0xyqsol  49953  itsclquadb  49964  sinhpcosh  50909