Theorem divcan3d 11995

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099   · cmul 11104   / cdiv 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871

This theorem is referenced by:  prodgt0  12061  mulge0b  12084  ltdivmul  12089  ledivmul  12090  zneo  12678  2tnp1ge0ge0  13862  quoremz  13888  quoremnn0ALT  13890  moddiffl  13915  zesq  14262  discr  14276  bcn1  14349  crre  15165  abslem2  15391  fallfacval4  16096  sinhval  16209  eirrlem  16259  sqrt2irrlem  16303  ltoddhalfle  16418  flodddiv4  16472  bitsp1e  16489  bitsp1o  16490  iserodd  16894  fldivp1  16956  4sqlem17  17020  smndex2dlinvh  18978  gexexlem  19921  abv1z  20906  gzrngunit  21562  cphipval2  25379  ovolunlem1a  25634  itg1mulc  25842  dvrec  26093  elqaalem3  26461  eff1olem  26689  logf1o2  26791  isosctrlem2  26960  heron  26979  dcubic2  26985  mcubic  26988  cubic2  26989  dquartlem1  26992  dquartlem2  26993  dquart  26994  cosasin  27045  efiatan2  27058  tanatan  27060  dvatan  27076  atantayl3  27080  jensen  27129  basellem3  27223  basellem5  27225  basellem8  27228  logfacrlim  27364  perfectlem2  27370  lgsquadlem1  27520  lgsquadlem2  27521  2lgslem1c  27533  2lgslem3a  27536  dchrvmasumlem1  27635  mudivsum  27670  vmalogdivsum2  27678  logsqvma  27682  selberglem2  27686  selberglem3  27687  selberg  27688  selbergr  27708  selberg3r  27709  selberg4r  27710  selberg34r  27711  pntsval2  27716  pntpbnd1a  27725  pntibndlem2  27731  axsegconlem9  29241  cdj1i  32751  quad3d  33060  constrresqrtcl  34133  subfacval2  35645  circum  36132  knoppndvlem2  37068  knoppndvlem9  37075  areacirclem1  38325  areacirclem4  38328  lcmineqlem11  42774  aks4d1p1p4  42806  unitscyglem4  42933  zdivgd  43066  cxp111d  43071  readvrec2  43090  sqrtcval  44337  hashnzfzclim  45002  dmmcand  46002  sumnnodd  46316  sinmulcos  46549  itgsinexp  46639  itgcoscmulx  46653  itgsincmulx  46658  stirlinglem7  46764  dirkertrigeqlem3  46784  dirkeritg  46786  dirkercncflem2  46788  fourierdlem79  46869  fourierdlem83  46873  fourierdlem95  46885  fouriercnp  46910  fourierswlem  46914  etransclem24  46942  etransclem41  46959  sfprmdvdsmersenne  48322  dfodd6  48369  dfeven4  48370  perfectALTVlem2  48454  line2  49499  itscnhlc0xyqsol  49512  itsclquadb  49523  sinhpcosh  50485