Theorem divcan3d 11934

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11833	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   · cmul 11041   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  prodgt0  12000  mulge0b  12024  ltdivmul  12029  ledivmul  12030  zneo  12610  2tnp1ge0ge0  13786  quoremz  13812  quoremnn0ALT  13814  moddiffl  13839  zesq  14186  discr  14200  bcn1  14273  crre  15074  abslem2  15300  fallfacval4  16006  sinhval  16119  eirrlem  16169  sqrt2irrlem  16213  ltoddhalfle  16328  flodddiv4  16382  bitsp1e  16399  bitsp1o  16400  iserodd  16804  fldivp1  16866  4sqlem17  16930  smndex2dlinvh  18886  gexexlem  19825  abv1z  20803  gzrngunit  21415  cphipval2  25233  ovolunlem1a  25488  itg1mulc  25696  dvrec  25947  elqaalem3  26312  eff1olem  26537  logf1o2  26639  isosctrlem2  26808  heron  26827  dcubic2  26833  mcubic  26836  cubic2  26837  dquartlem1  26840  dquartlem2  26841  dquart  26842  cosasin  26893  efiatan2  26906  tanatan  26908  dvatan  26924  atantayl3  26928  jensen  26977  basellem3  27071  basellem5  27073  basellem8  27076  logfacrlim  27212  perfectlem2  27218  lgsquadlem1  27368  lgsquadlem2  27369  2lgslem1c  27381  2lgslem3a  27384  dchrvmasumlem1  27483  mudivsum  27518  vmalogdivsum2  27526  logsqvma  27530  selberglem2  27534  selberglem3  27535  selberg  27536  selbergr  27556  selberg3r  27557  selberg4r  27558  selberg34r  27559  pntsval2  27564  pntpbnd1a  27573  pntibndlem2  27579  axsegconlem9  29019  cdj1i  32529  quad3d  32848  constrresqrtcl  33968  subfacval2  35416  circum  35903  knoppndvlem2  36820  knoppndvlem9  36827  areacirclem1  38076  areacirclem4  38079  lcmineqlem11  42525  aks4d1p1p4  42557  unitscyglem4  42684  zdivgd  42815  cxp111d  42820  readvrec2  42839  sqrtcval  44086  hashnzfzclim  44767  dmmcand  45762  sumnnodd  46076  sinmulcos  46309  itgsinexp  46399  itgcoscmulx  46413  itgsincmulx  46418  stirlinglem7  46524  dirkertrigeqlem3  46544  dirkeritg  46546  dirkercncflem2  46548  fourierdlem79  46629  fourierdlem83  46633  fourierdlem95  46645  fouriercnp  46670  fourierswlem  46674  etransclem24  46702  etransclem41  46719  sfprmdvdsmersenne  48082  dfodd6  48129  dfeven4  48130  perfectALTVlem2  48214  line2  49244  itscnhlc0xyqsol  49257  itsclquadb  49268  sinhpcosh  50231