Theorem divcan3d 12048

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11948	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  prodgt0  12114  mulge0b  12138  ltdivmul  12143  ledivmul  12144  zneo  12701  2tnp1ge0ge0  13869  quoremz  13895  quoremnn0ALT  13897  moddiffl  13922  zesq  14265  discr  14279  bcn1  14352  crre  15153  abslem2  15378  fallfacval4  16079  sinhval  16190  eirrlem  16240  sqrt2irrlem  16284  ltoddhalfle  16398  flodddiv4  16452  bitsp1e  16469  bitsp1o  16470  iserodd  16873  fldivp1  16935  4sqlem17  16999  smndex2dlinvh  18930  gexexlem  19870  abv1z  20825  gzrngunit  21451  cphipval2  25275  ovolunlem1a  25531  itg1mulc  25739  dvrec  25993  elqaalem3  26363  eff1olem  26590  logf1o2  26692  isosctrlem2  26862  heron  26881  dcubic2  26887  mcubic  26890  cubic2  26891  dquartlem1  26894  dquartlem2  26895  dquart  26896  cosasin  26947  efiatan2  26960  tanatan  26962  dvatan  26978  atantayl3  26982  jensen  27032  basellem3  27126  basellem5  27128  basellem8  27131  logfacrlim  27268  perfectlem2  27274  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  2lgslem1c  27437  2lgslem3a  27440  dchrvmasumlem1  27539  mudivsum  27574  vmalogdivsum2  27582  logsqvma  27586  selberglem2  27590  selberglem3  27591  selberg  27592  selbergr  27612  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntsval2  27620  pntpbnd1a  27629  pntibndlem2  27635  axsegconlem9  28940  cdj1i  32452  quad3d  32754  subfacval2  35192  circum  35679  knoppndvlem2  36514  knoppndvlem9  36521  areacirclem1  37715  areacirclem4  37718  lcmineqlem11  42040  aks4d1p1p4  42072  unitscyglem4  42199  zdivgd  42372  cxp111d  42378  readvrec2  42391  sqrtcval  43654  hashnzfzclim  44341  dmmcand  45325  sumnnodd  45645  sinmulcos  45880  itgsinexp  45970  itgcoscmulx  45984  itgsincmulx  45989  stirlinglem7  46095  dirkertrigeqlem3  46115  dirkeritg  46117  dirkercncflem2  46119  fourierdlem79  46200  fourierdlem83  46204  fourierdlem95  46216  fouriercnp  46241  fourierswlem  46245  etransclem24  46273  etransclem41  46290  sfprmdvdsmersenne  47590  dfodd6  47624  dfeven4  47625  perfectALTVlem2  47709  line2  48673  itscnhlc0xyqsol  48686  itsclquadb  48697  sinhpcosh  49259