Theorem divcan3d 12045

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11945	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  prodgt0  12111  mulge0b  12135  ltdivmul  12140  ledivmul  12141  zneo  12698  2tnp1ge0ge0  13865  quoremz  13891  quoremnn0ALT  13893  moddiffl  13918  zesq  14261  discr  14275  bcn1  14348  crre  15149  abslem2  15374  fallfacval4  16075  sinhval  16186  eirrlem  16236  sqrt2irrlem  16280  ltoddhalfle  16394  flodddiv4  16448  bitsp1e  16465  bitsp1o  16466  iserodd  16868  fldivp1  16930  4sqlem17  16994  smndex2dlinvh  18942  gexexlem  19884  abv1z  20841  gzrngunit  21468  cphipval2  25288  ovolunlem1a  25544  itg1mulc  25753  dvrec  26007  elqaalem3  26377  eff1olem  26604  logf1o2  26706  isosctrlem2  26876  heron  26895  dcubic2  26901  mcubic  26904  cubic2  26905  dquartlem1  26908  dquartlem2  26909  dquart  26910  cosasin  26961  efiatan2  26974  tanatan  26976  dvatan  26992  atantayl3  26996  jensen  27046  basellem3  27140  basellem5  27142  basellem8  27145  logfacrlim  27282  perfectlem2  27288  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  2lgslem1c  27451  2lgslem3a  27454  dchrvmasumlem1  27553  mudivsum  27588  vmalogdivsum2  27596  logsqvma  27600  selberglem2  27604  selberglem3  27605  selberg  27606  selbergr  27626  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntsval2  27634  pntpbnd1a  27643  pntibndlem2  27649  axsegconlem9  28954  cdj1i  32461  quad3d  32760  subfacval2  35171  circum  35658  knoppndvlem2  36495  knoppndvlem9  36502  areacirclem1  37694  areacirclem4  37697  lcmineqlem11  42020  aks4d1p1p4  42052  unitscyglem4  42179  zdivgd  42350  cxp111d  42356  readvrec2  42369  sqrtcval  43630  hashnzfzclim  44317  dmmcand  45263  sumnnodd  45585  sinmulcos  45820  itgsinexp  45910  itgcoscmulx  45924  itgsincmulx  45929  stirlinglem7  46035  dirkertrigeqlem3  46055  dirkeritg  46057  dirkercncflem2  46059  fourierdlem79  46140  fourierdlem83  46144  fourierdlem95  46156  fouriercnp  46181  fourierswlem  46185  etransclem24  46213  etransclem41  46230  sfprmdvdsmersenne  47527  dfodd6  47561  dfeven4  47562  perfectALTVlem2  47646  line2  48601  itscnhlc0xyqsol  48614  itsclquadb  48625  sinhpcosh  48970