Theorem divcan3d 11893

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7340  ℂcc 10995  0cc0 10997   · cmul 11002   / cdiv 11765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766

This theorem is referenced by:  prodgt0  11959  mulge0b  11983  ltdivmul  11988  ledivmul  11989  zneo  12547  2tnp1ge0ge0  13721  quoremz  13747  quoremnn0ALT  13749  moddiffl  13774  zesq  14121  discr  14135  bcn1  14208  crre  15008  abslem2  15234  fallfacval4  15937  sinhval  16050  eirrlem  16100  sqrt2irrlem  16144  ltoddhalfle  16259  flodddiv4  16313  bitsp1e  16330  bitsp1o  16331  iserodd  16734  fldivp1  16796  4sqlem17  16860  smndex2dlinvh  18778  gexexlem  19718  abv1z  20693  gzrngunit  21324  cphipval2  25122  ovolunlem1a  25378  itg1mulc  25586  dvrec  25840  elqaalem3  26210  eff1olem  26438  logf1o2  26540  isosctrlem2  26710  heron  26729  dcubic2  26735  mcubic  26738  cubic2  26739  dquartlem1  26742  dquartlem2  26743  dquart  26744  cosasin  26795  efiatan2  26808  tanatan  26810  dvatan  26826  atantayl3  26830  jensen  26880  basellem3  26974  basellem5  26976  basellem8  26979  logfacrlim  27116  perfectlem2  27122  lgsquadlem1  27272  lgsquadlem2  27273  2lgslem1c  27285  2lgslem3a  27288  dchrvmasumlem1  27387  mudivsum  27422  vmalogdivsum2  27430  logsqvma  27434  selberglem2  27438  selberglem3  27439  selberg  27440  selbergr  27460  selberg3r  27461  selberg4r  27462  selberg34r  27463  pntsval2  27468  pntpbnd1a  27477  pntibndlem2  27483  axsegconlem9  28857  cdj1i  32364  quad3d  32685  constrresqrtcl  33758  subfacval2  35177  circum  35664  knoppndvlem2  36504  knoppndvlem9  36511  areacirclem1  37705  areacirclem4  37708  lcmineqlem11  42029  aks4d1p1p4  42061  unitscyglem4  42188  zdivgd  42327  cxp111d  42332  readvrec2  42351  sqrtcval  43631  hashnzfzclim  44312  dmmcand  45311  sumnnodd  45627  sinmulcos  45860  itgsinexp  45950  itgcoscmulx  45964  itgsincmulx  45969  stirlinglem7  46075  dirkertrigeqlem3  46095  dirkeritg  46097  dirkercncflem2  46099  fourierdlem79  46180  fourierdlem83  46184  fourierdlem95  46196  fouriercnp  46221  fourierswlem  46225  etransclem24  46253  etransclem41  46270  sfprmdvdsmersenne  47601  dfodd6  47635  dfeven4  47636  perfectALTVlem2  47720  line2  48751  itscnhlc0xyqsol  48764  itsclquadb  48775  sinhpcosh  49739