Theorem divcan3d 12023

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11925	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132   / cdiv 11898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899

This theorem is used by:  prodgt0  12089  mulge0b  12112  ltdivmul  12117  ledivmul  12118  zneo  12707  2tnp1ge0ge0  13892  quoremz  13918  quoremnn0ALT  13920  moddiffl  13945  zesq  14292  discr  14306  bcn1  14379  crre  15203  abslem2  15429  fallfacval4  16133  sinhval  16246  eirrlem  16296  sqrt2irrlem  16340  ltoddhalfle  16455  flodddiv4  16509  bitsp1e  16526  bitsp1o  16527  iserodd  16931  fldivp1  16993  4sqlem17  17057  smndex2dlinvh  19033  gexexlem  19983  abv1z  20994  gzrngunit  21650  cphipval2  25473  ovolunlem1a  25728  itg1mulc  25936  dvrec  26187  elqaalem3  26555  eff1olem  26786  logf1o2  26888  isosctrlem2  27057  heron  27076  dcubic2  27082  mcubic  27085  cubic2  27086  dquartlem1  27089  dquartlem2  27090  dquart  27091  cosasin  27142  efiatan2  27155  tanatan  27157  dvatan  27173  atantayl3  27177  jensen  27226  basellem3  27320  basellem5  27322  basellem8  27325  logfacrlim  27461  perfectlem2  27467  lgsquadlem1  27617  lgsquadlem2  27618  2lgslem1c  27630  2lgslem3a  27633  dchrvmasumlem1  27732  mudivsum  27767  vmalogdivsum2  27775  logsqvma  27779  selberglem2  27783  selberglem3  27784  selberg  27785  selbergr  27805  selberg3r  27806  selberg4r  27807  selberg34r  27808  pntsval2  27813  pntpbnd1a  27822  pntibndlem2  27828  axsegconlem9  29383  cdj1i  32915  quad3d  33222  constrresqrtcl  34289  subfacval2  35768  circum  36255  knoppndvlem2  37212  knoppndvlem9  37219  areacirclem1  38459  areacirclem4  38462  lcmineqlem11  42907  aks4d1p1p4  42939  unitscyglem4  43066  zdivgd  43214  cxp111d  43219  readvrec2  43238  sqrtcval  44483  hashnzfzclim  45148  dmmcand  46148  sumnnodd  46462  sinmulcos  46695  itgsinexp  46785  itgcoscmulx  46799  itgsincmulx  46804  stirlinglem7  46910  dirkertrigeqlem3  46930  dirkeritg  46932  dirkercncflem2  46934  fourierdlem79  47015  fourierdlem83  47019  fourierdlem95  47031  fouriercnp  47056  fourierswlem  47060  etransclem24  47088  etransclem41  47105  sfprmdvdsmersenne  48508  dfodd6  48555  dfeven4  48556  perfectALTVlem2  48640  line2  49684  itscnhlc0xyqsol  49697  itsclquadb  49708  sinhpcosh  50668