Theorem divcan3d 11925

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027   · cmul 11032   / cdiv 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797

This theorem is referenced by:  prodgt0  11991  mulge0b  12015  ltdivmul  12020  ledivmul  12021  zneo  12601  2tnp1ge0ge0  13777  quoremz  13803  quoremnn0ALT  13805  moddiffl  13830  zesq  14177  discr  14191  bcn1  14264  crre  15065  abslem2  15291  fallfacval4  15997  sinhval  16110  eirrlem  16160  sqrt2irrlem  16204  ltoddhalfle  16319  flodddiv4  16373  bitsp1e  16390  bitsp1o  16391  iserodd  16795  fldivp1  16857  4sqlem17  16921  smndex2dlinvh  18877  gexexlem  19816  abv1z  20790  gzrngunit  21421  cphipval2  25217  ovolunlem1a  25472  itg1mulc  25680  dvrec  25931  elqaalem3  26300  eff1olem  26528  logf1o2  26630  isosctrlem2  26800  heron  26819  dcubic2  26825  mcubic  26828  cubic2  26829  dquartlem1  26832  dquartlem2  26833  dquart  26834  cosasin  26885  efiatan2  26898  tanatan  26900  dvatan  26916  atantayl3  26920  jensen  26970  basellem3  27064  basellem5  27066  basellem8  27069  logfacrlim  27206  perfectlem2  27212  lgsquadlem1  27362  lgsquadlem2  27363  2lgslem1c  27375  2lgslem3a  27378  dchrvmasumlem1  27477  mudivsum  27512  vmalogdivsum2  27520  logsqvma  27524  selberglem2  27528  selberglem3  27529  selberg  27530  selbergr  27550  selberg3r  27551  selberg4r  27552  selberg34r  27553  pntsval2  27558  pntpbnd1a  27567  pntibndlem2  27573  axsegconlem9  29013  cdj1i  32524  quad3d  32842  constrresqrtcl  33942  subfacval2  35390  circum  35877  knoppndvlem2  36786  knoppndvlem9  36793  areacirclem1  38040  areacirclem4  38043  lcmineqlem11  42489  aks4d1p1p4  42521  unitscyglem4  42648  zdivgd  42780  cxp111d  42785  readvrec2  42804  sqrtcval  44083  hashnzfzclim  44764  dmmcand  45761  sumnnodd  46075  sinmulcos  46308  itgsinexp  46398  itgcoscmulx  46412  itgsincmulx  46417  stirlinglem7  46523  dirkertrigeqlem3  46543  dirkeritg  46545  dirkercncflem2  46547  fourierdlem79  46628  fourierdlem83  46632  fourierdlem95  46644  fouriercnp  46669  fourierswlem  46673  etransclem24  46701  etransclem41  46718  sfprmdvdsmersenne  48063  dfodd6  48110  dfeven4  48111  perfectALTVlem2  48195  line2  49225  itscnhlc0xyqsol  49238  itsclquadb  49249  sinhpcosh  50212