Theorem divcan3d 11139

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11043	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1494	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259   · cmul 10264   / cdiv 11016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017

This theorem is referenced by:  prodgt0  11205  mulge0b  11230  ltdivmul  11235  ledivmul  11236  zneo  11795  2tnp1ge0ge0  12932  quoremz  12956  quoremnn0ALT  12958  moddiffl  12983  zesq  13288  discr  13302  bcn1  13400  crre  14238  abslem2  14463  fallfacval4  15153  sinhval  15263  eirrlem  15313  sqrt2irrlem  15358  ltoddhalfle  15466  flodddiv4  15517  bitsp1e  15534  bitsp1o  15535  iserodd  15918  fldivp1  15979  4sqlem17  16043  gexexlem  18615  abv1z  19195  gzrngunit  20179  cphipval2  23416  ovolunlem1a  23669  itg1mulc  23877  dvrec  24124  elqaalem3  24482  eff1olem  24701  logf1o2  24802  isosctrlem2  24966  heron  24985  dcubic2  24991  mcubic  24994  cubic2  24995  dquartlem1  24998  dquartlem2  24999  dquart  25000  cosasin  25051  efiatan2  25064  tanatan  25066  dvatan  25082  atantayl3  25086  jensen  25135  basellem3  25229  basellem5  25231  basellem8  25234  logfacrlim  25369  perfectlem2  25375  lgsquadlem1  25525  lgsquadlem2  25526  2lgslem1c  25538  2lgslem3a  25541  dchrvmasumlem1  25604  mudivsum  25639  vmalogdivsum2  25647  logsqvma  25651  selberglem2  25655  selberglem3  25656  selberg  25657  selbergr  25677  selberg3r  25678  selberg4r  25679  selberg34r  25680  pntsval2  25685  pntpbnd1a  25694  pntibndlem2  25700  axsegconlem9  26231  cdj1i  29843  subfacval2  31711  circum  32108  knoppndvlem2  33031  knoppndvlem9  33038  areacirclem1  34038  areacirclem4  34041  hashnzfzclim  39356  dmmcand  40319  sumnnodd  40651  sinmulcos  40865  itgsinexp  40959  itgcoscmulx  40973  itgsincmulx  40978  stirlinglem7  41085  dirkertrigeqlem3  41105  dirkeritg  41107  dirkercncflem2  41109  fourierdlem79  41190  fourierdlem83  41194  fourierdlem95  41206  fouriercnp  41231  fourierswlem  41235  etransclem24  41263  etransclem41  41280  sfprmdvdsmersenne  42364  dfodd6  42394  dfeven4  42395  perfectALTVlem2  42475  line2  43314  itsclc0lem5  43322  sinhpcosh  43389