Theorem divcan3d 12022

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11922	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   · cmul 11134   / cdiv 11894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895

This theorem is referenced by:  prodgt0  12088  mulge0b  12112  ltdivmul  12117  ledivmul  12118  zneo  12676  2tnp1ge0ge0  13846  quoremz  13872  quoremnn0ALT  13874  moddiffl  13899  zesq  14244  discr  14258  bcn1  14331  crre  15133  abslem2  15358  fallfacval4  16059  sinhval  16172  eirrlem  16222  sqrt2irrlem  16266  ltoddhalfle  16380  flodddiv4  16434  bitsp1e  16451  bitsp1o  16452  iserodd  16855  fldivp1  16917  4sqlem17  16981  smndex2dlinvh  18895  gexexlem  19833  abv1z  20784  gzrngunit  21401  cphipval2  25193  ovolunlem1a  25449  itg1mulc  25657  dvrec  25911  elqaalem3  26281  eff1olem  26509  logf1o2  26611  isosctrlem2  26781  heron  26800  dcubic2  26806  mcubic  26809  cubic2  26810  dquartlem1  26813  dquartlem2  26814  dquart  26815  cosasin  26866  efiatan2  26879  tanatan  26881  dvatan  26897  atantayl3  26901  jensen  26951  basellem3  27045  basellem5  27047  basellem8  27050  logfacrlim  27187  perfectlem2  27193  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  2lgslem1c  27356  2lgslem3a  27359  dchrvmasumlem1  27458  mudivsum  27493  vmalogdivsum2  27501  logsqvma  27505  selberglem2  27509  selberglem3  27510  selberg  27511  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntsval2  27539  pntpbnd1a  27548  pntibndlem2  27554  axsegconlem9  28904  cdj1i  32414  quad3d  32727  constrresqrtcl  33811  subfacval2  35209  circum  35696  knoppndvlem2  36531  knoppndvlem9  36538  areacirclem1  37732  areacirclem4  37735  lcmineqlem11  42052  aks4d1p1p4  42084  unitscyglem4  42211  zdivgd  42386  cxp111d  42391  readvrec2  42404  sqrtcval  43665  hashnzfzclim  44346  dmmcand  45342  sumnnodd  45659  sinmulcos  45894  itgsinexp  45984  itgcoscmulx  45998  itgsincmulx  46003  stirlinglem7  46109  dirkertrigeqlem3  46129  dirkeritg  46131  dirkercncflem2  46133  fourierdlem79  46214  fourierdlem83  46218  fourierdlem95  46230  fouriercnp  46255  fourierswlem  46259  etransclem24  46287  etransclem41  46304  sfprmdvdsmersenne  47617  dfodd6  47651  dfeven4  47652  perfectALTVlem2  47736  line2  48732  itscnhlc0xyqsol  48745  itsclquadb  48756  sinhpcosh  49604