MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan3d 11937
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
divcld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
divcld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
divcan3d (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด)

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 divcld.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 divcld.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
4 divcan3 11840 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด)
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052   ยท cmul 11057   / cdiv 11813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814
This theorem is referenced by:  prodgt0  12003  mulge0b  12026  ltdivmul  12031  ledivmul  12032  zneo  12587  2tnp1ge0ge0  13735  quoremz  13761  quoremnn0ALT  13763  moddiffl  13788  zesq  14130  discr  14144  bcn1  14214  crre  15000  abslem2  15225  fallfacval4  15927  sinhval  16037  eirrlem  16087  sqrt2irrlem  16131  ltoddhalfle  16244  flodddiv4  16296  bitsp1e  16313  bitsp1o  16314  iserodd  16708  fldivp1  16770  4sqlem17  16834  smndex2dlinvh  18728  gexexlem  19631  abv1z  20294  gzrngunit  20866  cphipval2  24608  ovolunlem1a  24863  itg1mulc  25072  dvrec  25322  elqaalem3  25684  eff1olem  25907  logf1o2  26008  isosctrlem2  26172  heron  26191  dcubic2  26197  mcubic  26200  cubic2  26201  dquartlem1  26204  dquartlem2  26205  dquart  26206  cosasin  26257  efiatan2  26270  tanatan  26272  dvatan  26288  atantayl3  26292  jensen  26341  basellem3  26435  basellem5  26437  basellem8  26440  logfacrlim  26575  perfectlem2  26581  lgsquadlem1  26731  lgsquadlem2  26732  2lgslem1c  26744  2lgslem3a  26747  dchrvmasumlem1  26846  mudivsum  26881  vmalogdivsum2  26889  logsqvma  26893  selberglem2  26897  selberglem3  26898  selberg  26899  selbergr  26919  selberg3r  26920  selberg4r  26921  selberg34r  26922  pntsval2  26927  pntpbnd1a  26936  pntibndlem2  26942  axsegconlem9  27877  cdj1i  31378  subfacval2  33784  circum  34265  knoppndvlem2  34979  knoppndvlem9  34986  areacirclem1  36169  areacirclem4  36172  lcmineqlem11  40499  aks4d1p1p4  40531  sqrtcval  41920  hashnzfzclim  42609  dmmcand  43554  sumnnodd  43878  sinmulcos  44113  itgsinexp  44203  itgcoscmulx  44217  itgsincmulx  44222  stirlinglem7  44328  dirkertrigeqlem3  44348  dirkeritg  44350  dirkercncflem2  44352  fourierdlem79  44433  fourierdlem83  44437  fourierdlem95  44449  fouriercnp  44474  fourierswlem  44478  etransclem24  44506  etransclem41  44523  sfprmdvdsmersenne  45802  dfodd6  45836  dfeven4  45837  perfectALTVlem2  45921  line2  46845  itscnhlc0xyqsol  46858  itsclquadb  46869  sinhpcosh  47192
  Copyright terms: Public domain W3C validator