Theorem divcan3d 11410

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11313	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  prodgt0  11476  mulge0b  11499  ltdivmul  11504  ledivmul  11505  zneo  12053  2tnp1ge0ge0  13194  quoremz  13218  quoremnn0ALT  13220  moddiffl  13245  zesq  13583  discr  13597  bcn1  13669  crre  14465  abslem2  14691  fallfacval4  15389  sinhval  15499  eirrlem  15549  sqrt2irrlem  15593  ltoddhalfle  15702  flodddiv4  15754  bitsp1e  15771  bitsp1o  15772  iserodd  16162  fldivp1  16223  4sqlem17  16287  smndex2dlinvh  18074  gexexlem  18965  abv1z  19596  gzrngunit  20157  cphipval2  23845  ovolunlem1a  24100  itg1mulc  24308  dvrec  24558  elqaalem3  24917  eff1olem  25140  logf1o2  25241  isosctrlem2  25405  heron  25424  dcubic2  25430  mcubic  25433  cubic2  25434  dquartlem1  25437  dquartlem2  25438  dquart  25439  cosasin  25490  efiatan2  25503  tanatan  25505  dvatan  25521  atantayl3  25525  jensen  25574  basellem3  25668  basellem5  25670  basellem8  25673  logfacrlim  25808  perfectlem2  25814  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  2lgslem1c  25977  2lgslem3a  25980  dchrvmasumlem1  26079  mudivsum  26114  vmalogdivsum2  26122  logsqvma  26126  selberglem2  26130  selberglem3  26131  selberg  26132  selbergr  26152  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntsval2  26160  pntpbnd1a  26169  pntibndlem2  26175  axsegconlem9  26719  cdj1i  30216  subfacval2  32547  circum  33030  knoppndvlem2  33965  knoppndvlem9  33972  areacirclem1  35145  areacirclem4  35148  lcmineqlem11  39327  sqrtcval  40341  hashnzfzclim  41026  dmmcand  41945  sumnnodd  42272  sinmulcos  42507  itgsinexp  42597  itgcoscmulx  42611  itgsincmulx  42616  stirlinglem7  42722  dirkertrigeqlem3  42742  dirkeritg  42744  dirkercncflem2  42746  fourierdlem79  42827  fourierdlem83  42831  fourierdlem95  42843  fouriercnp  42868  fourierswlem  42872  etransclem24  42900  etransclem41  42917  sfprmdvdsmersenne  44121  dfodd6  44155  dfeven4  44156  perfectALTVlem2  44240  line2  45166  itscnhlc0xyqsol  45179  itsclquadb  45190  sinhpcosh  45266