Theorem divcan3d 11995

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11898	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   · cmul 11115   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  prodgt0  12061  mulge0b  12084  ltdivmul  12089  ledivmul  12090  zneo  12645  2tnp1ge0ge0  13794  quoremz  13820  quoremnn0ALT  13822  moddiffl  13847  zesq  14189  discr  14203  bcn1  14273  crre  15061  abslem2  15286  fallfacval4  15987  sinhval  16097  eirrlem  16147  sqrt2irrlem  16191  ltoddhalfle  16304  flodddiv4  16356  bitsp1e  16373  bitsp1o  16374  iserodd  16768  fldivp1  16830  4sqlem17  16894  smndex2dlinvh  18798  gexexlem  19720  abv1z  20440  gzrngunit  21011  cphipval2  24758  ovolunlem1a  25013  itg1mulc  25222  dvrec  25472  elqaalem3  25834  eff1olem  26057  logf1o2  26158  isosctrlem2  26324  heron  26343  dcubic2  26349  mcubic  26352  cubic2  26353  dquartlem1  26356  dquartlem2  26357  dquart  26358  cosasin  26409  efiatan2  26422  tanatan  26424  dvatan  26440  atantayl3  26444  jensen  26493  basellem3  26587  basellem5  26589  basellem8  26592  logfacrlim  26727  perfectlem2  26733  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  2lgslem1c  26896  2lgslem3a  26899  dchrvmasumlem1  26998  mudivsum  27033  vmalogdivsum2  27041  logsqvma  27045  selberglem2  27049  selberglem3  27050  selberg  27051  selbergr  27071  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntsval2  27079  pntpbnd1a  27088  pntibndlem2  27094  axsegconlem9  28183  cdj1i  31686  subfacval2  34178  circum  34659  knoppndvlem2  35389  knoppndvlem9  35396  areacirclem1  36576  areacirclem4  36579  lcmineqlem11  40904  aks4d1p1p4  40936  sqrtcval  42392  hashnzfzclim  43081  dmmcand  44023  sumnnodd  44346  sinmulcos  44581  itgsinexp  44671  itgcoscmulx  44685  itgsincmulx  44690  stirlinglem7  44796  dirkertrigeqlem3  44816  dirkeritg  44818  dirkercncflem2  44820  fourierdlem79  44901  fourierdlem83  44905  fourierdlem95  44917  fouriercnp  44942  fourierswlem  44946  etransclem24  44974  etransclem41  44991  sfprmdvdsmersenne  46271  dfodd6  46305  dfeven4  46306  perfectALTVlem2  46390  line2  47438  itscnhlc0xyqsol  47451  itsclquadb  47462  sinhpcosh  47785