Theorem divcan3d 11997

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11900	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117   / cdiv 11873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874

This theorem is referenced by:  prodgt0  12063  mulge0b  12086  ltdivmul  12091  ledivmul  12092  zneo  12647  2tnp1ge0ge0  13796  quoremz  13822  quoremnn0ALT  13824  moddiffl  13849  zesq  14191  discr  14205  bcn1  14275  crre  15063  abslem2  15288  fallfacval4  15989  sinhval  16099  eirrlem  16149  sqrt2irrlem  16193  ltoddhalfle  16306  flodddiv4  16358  bitsp1e  16375  bitsp1o  16376  iserodd  16770  fldivp1  16832  4sqlem17  16896  smndex2dlinvh  18800  gexexlem  19722  abv1z  20444  gzrngunit  21017  cphipval2  24765  ovolunlem1a  25020  itg1mulc  25229  dvrec  25479  elqaalem3  25841  eff1olem  26064  logf1o2  26165  isosctrlem2  26331  heron  26350  dcubic2  26356  mcubic  26359  cubic2  26360  dquartlem1  26363  dquartlem2  26364  dquart  26365  cosasin  26416  efiatan2  26429  tanatan  26431  dvatan  26447  atantayl3  26451  jensen  26500  basellem3  26594  basellem5  26596  basellem8  26599  logfacrlim  26734  perfectlem2  26740  lgsquadlem1  26890  lgsquadlem2  26891  2lgslem1c  26903  2lgslem3a  26906  dchrvmasumlem1  27005  mudivsum  27040  vmalogdivsum2  27048  logsqvma  27052  selberglem2  27056  selberglem3  27057  selberg  27058  selbergr  27078  selberg3r  27079  selberg4r  27080  selberg34r  27081  pntsval2  27086  pntpbnd1a  27095  pntibndlem2  27101  axsegconlem9  28221  cdj1i  31724  subfacval2  34247  circum  34728  knoppndvlem2  35475  knoppndvlem9  35482  areacirclem1  36662  areacirclem4  36665  lcmineqlem11  40990  aks4d1p1p4  41022  sqrtcval  42474  hashnzfzclim  43163  dmmcand  44102  sumnnodd  44425  sinmulcos  44660  itgsinexp  44750  itgcoscmulx  44764  itgsincmulx  44769  stirlinglem7  44875  dirkertrigeqlem3  44895  dirkeritg  44897  dirkercncflem2  44899  fourierdlem79  44980  fourierdlem83  44984  fourierdlem95  44996  fouriercnp  45021  fourierswlem  45025  etransclem24  45053  etransclem41  45070  sfprmdvdsmersenne  46350  dfodd6  46384  dfeven4  46385  perfectALTVlem2  46469  line2  47516  itscnhlc0xyqsol  47529  itsclquadb  47540  sinhpcosh  47863