Theorem divcan3d 11686

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  prodgt0  11752  mulge0b  11775  ltdivmul  11780  ledivmul  11781  zneo  12333  2tnp1ge0ge0  13477  quoremz  13503  quoremnn0ALT  13505  moddiffl  13530  zesq  13869  discr  13883  bcn1  13955  crre  14753  abslem2  14979  fallfacval4  15681  sinhval  15791  eirrlem  15841  sqrt2irrlem  15885  ltoddhalfle  15998  flodddiv4  16050  bitsp1e  16067  bitsp1o  16068  iserodd  16464  fldivp1  16526  4sqlem17  16590  smndex2dlinvh  18471  gexexlem  19368  abv1z  20007  gzrngunit  20576  cphipval2  24310  ovolunlem1a  24565  itg1mulc  24774  dvrec  25024  elqaalem3  25386  eff1olem  25609  logf1o2  25710  isosctrlem2  25874  heron  25893  dcubic2  25899  mcubic  25902  cubic2  25903  dquartlem1  25906  dquartlem2  25907  dquart  25908  cosasin  25959  efiatan2  25972  tanatan  25974  dvatan  25990  atantayl3  25994  jensen  26043  basellem3  26137  basellem5  26139  basellem8  26142  logfacrlim  26277  perfectlem2  26283  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  2lgslem1c  26446  2lgslem3a  26449  dchrvmasumlem1  26548  mudivsum  26583  vmalogdivsum2  26591  logsqvma  26595  selberglem2  26599  selberglem3  26600  selberg  26601  selbergr  26621  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntsval2  26629  pntpbnd1a  26638  pntibndlem2  26644  axsegconlem9  27196  cdj1i  30696  subfacval2  33049  circum  33532  knoppndvlem2  34620  knoppndvlem9  34627  areacirclem1  35792  areacirclem4  35795  lcmineqlem11  39975  aks4d1p1p4  40007  sqrtcval  41138  hashnzfzclim  41829  dmmcand  42742  sumnnodd  43061  sinmulcos  43296  itgsinexp  43386  itgcoscmulx  43400  itgsincmulx  43405  stirlinglem7  43511  dirkertrigeqlem3  43531  dirkeritg  43533  dirkercncflem2  43535  fourierdlem79  43616  fourierdlem83  43620  fourierdlem95  43632  fouriercnp  43657  fourierswlem  43661  etransclem24  43689  etransclem41  43706  sfprmdvdsmersenne  44943  dfodd6  44977  dfeven4  44978  perfectALTVlem2  45062  line2  45986  itscnhlc0xyqsol  45999  itsclquadb  46010  sinhpcosh  46328