Theorem divcan3d 11744

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11647	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7268  ℂcc 10857  0cc0 10859   · cmul 10864   / cdiv 11620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-po 5499  df-so 5500  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621

This theorem is referenced by:  prodgt0  11810  mulge0b  11833  ltdivmul  11838  ledivmul  11839  zneo  12391  2tnp1ge0ge0  13537  quoremz  13563  quoremnn0ALT  13565  moddiffl  13590  zesq  13929  discr  13943  bcn1  14015  crre  14813  abslem2  15039  fallfacval4  15741  sinhval  15851  eirrlem  15901  sqrt2irrlem  15945  ltoddhalfle  16058  flodddiv4  16110  bitsp1e  16127  bitsp1o  16128  iserodd  16524  fldivp1  16586  4sqlem17  16650  smndex2dlinvh  18544  gexexlem  19441  abv1z  20080  gzrngunit  20652  cphipval2  24393  ovolunlem1a  24648  itg1mulc  24857  dvrec  25107  elqaalem3  25469  eff1olem  25692  logf1o2  25793  isosctrlem2  25957  heron  25976  dcubic2  25982  mcubic  25985  cubic2  25986  dquartlem1  25989  dquartlem2  25990  dquart  25991  cosasin  26042  efiatan2  26055  tanatan  26057  dvatan  26073  atantayl3  26077  jensen  26126  basellem3  26220  basellem5  26222  basellem8  26225  logfacrlim  26360  perfectlem2  26366  lgsquadlem1  26516  lgsquadlem2  26517  2lgslem1c  26529  2lgslem3a  26532  dchrvmasumlem1  26631  mudivsum  26666  vmalogdivsum2  26674  logsqvma  26678  selberglem2  26682  selberglem3  26683  selberg  26684  selbergr  26704  selberg3r  26705  selberg4r  26706  selberg34r  26707  pntsval2  26712  pntpbnd1a  26721  pntibndlem2  26727  axsegconlem9  27281  cdj1i  30781  subfacval2  33135  circum  33618  knoppndvlem2  34679  knoppndvlem9  34686  areacirclem1  35851  areacirclem4  35854  lcmineqlem11  40033  aks4d1p1p4  40065  sqrtcval  41208  hashnzfzclim  41899  dmmcand  42811  sumnnodd  43130  sinmulcos  43365  itgsinexp  43455  itgcoscmulx  43469  itgsincmulx  43474  stirlinglem7  43580  dirkertrigeqlem3  43600  dirkeritg  43602  dirkercncflem2  43604  fourierdlem79  43685  fourierdlem83  43689  fourierdlem95  43701  fouriercnp  43726  fourierswlem  43730  etransclem24  43758  etransclem41  43775  sfprmdvdsmersenne  45011  dfodd6  45045  dfeven4  45046  perfectALTVlem2  45130  line2  46054  itscnhlc0xyqsol  46067  itsclquadb  46078  sinhpcosh  46398