Theorem divcan3d 11894

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11794	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  0cc0 10998   · cmul 11003   / cdiv 11766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767

This theorem is referenced by:  prodgt0  11960  mulge0b  11984  ltdivmul  11989  ledivmul  11990  zneo  12548  2tnp1ge0ge0  13725  quoremz  13751  quoremnn0ALT  13753  moddiffl  13778  zesq  14125  discr  14139  bcn1  14212  crre  15013  abslem2  15239  fallfacval4  15942  sinhval  16055  eirrlem  16105  sqrt2irrlem  16149  ltoddhalfle  16264  flodddiv4  16318  bitsp1e  16335  bitsp1o  16336  iserodd  16739  fldivp1  16801  4sqlem17  16865  smndex2dlinvh  18817  gexexlem  19757  abv1z  20732  gzrngunit  21363  cphipval2  25161  ovolunlem1a  25417  itg1mulc  25625  dvrec  25879  elqaalem3  26249  eff1olem  26477  logf1o2  26579  isosctrlem2  26749  heron  26768  dcubic2  26774  mcubic  26777  cubic2  26778  dquartlem1  26781  dquartlem2  26782  dquart  26783  cosasin  26834  efiatan2  26847  tanatan  26849  dvatan  26865  atantayl3  26869  jensen  26919  basellem3  27013  basellem5  27015  basellem8  27018  logfacrlim  27155  perfectlem2  27161  lgsquadlem1  27311  lgsquadlem2  27312  2lgslem1c  27324  2lgslem3a  27327  dchrvmasumlem1  27426  mudivsum  27461  vmalogdivsum2  27469  logsqvma  27473  selberglem2  27477  selberglem3  27478  selberg  27479  selbergr  27499  selberg3r  27500  selberg4r  27501  selberg34r  27502  pntsval2  27507  pntpbnd1a  27516  pntibndlem2  27522  axsegconlem9  28896  cdj1i  32403  quad3d  32723  constrresqrtcl  33780  subfacval2  35199  circum  35686  knoppndvlem2  36526  knoppndvlem9  36533  areacirclem1  37727  areacirclem4  37730  lcmineqlem11  42051  aks4d1p1p4  42083  unitscyglem4  42210  zdivgd  42349  cxp111d  42354  readvrec2  42373  sqrtcval  43653  hashnzfzclim  44334  dmmcand  45333  sumnnodd  45649  sinmulcos  45882  itgsinexp  45972  itgcoscmulx  45986  itgsincmulx  45991  stirlinglem7  46097  dirkertrigeqlem3  46117  dirkeritg  46119  dirkercncflem2  46121  fourierdlem79  46202  fourierdlem83  46206  fourierdlem95  46218  fouriercnp  46243  fourierswlem  46247  etransclem24  46275  etransclem41  46292  sfprmdvdsmersenne  47613  dfodd6  47647  dfeven4  47648  perfectALTVlem2  47732  line2  48763  itscnhlc0xyqsol  48776  itsclquadb  48787  sinhpcosh  49751