Theorem divcan3d 11936

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  prodgt0  12002  mulge0b  12026  ltdivmul  12031  ledivmul  12032  zneo  12612  2tnp1ge0ge0  13788  quoremz  13814  quoremnn0ALT  13816  moddiffl  13841  zesq  14188  discr  14202  bcn1  14275  crre  15076  abslem2  15302  fallfacval4  16008  sinhval  16121  eirrlem  16171  sqrt2irrlem  16215  ltoddhalfle  16330  flodddiv4  16384  bitsp1e  16401  bitsp1o  16402  iserodd  16806  fldivp1  16868  4sqlem17  16932  smndex2dlinvh  18888  gexexlem  19827  abv1z  20801  gzrngunit  21413  cphipval2  25208  ovolunlem1a  25463  itg1mulc  25671  dvrec  25922  elqaalem3  26287  eff1olem  26512  logf1o2  26614  isosctrlem2  26783  heron  26802  dcubic2  26808  mcubic  26811  cubic2  26812  dquartlem1  26815  dquartlem2  26816  dquart  26817  cosasin  26868  efiatan2  26881  tanatan  26883  dvatan  26899  atantayl3  26903  jensen  26952  basellem3  27046  basellem5  27048  basellem8  27051  logfacrlim  27187  perfectlem2  27193  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  2lgslem1c  27356  2lgslem3a  27359  dchrvmasumlem1  27458  mudivsum  27493  vmalogdivsum2  27501  logsqvma  27505  selberglem2  27509  selberglem3  27510  selberg  27511  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntsval2  27539  pntpbnd1a  27548  pntibndlem2  27554  axsegconlem9  28994  cdj1i  32504  quad3d  32822  constrresqrtcl  33921  subfacval2  35369  circum  35856  knoppndvlem2  36773  knoppndvlem9  36780  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  lcmineqlem11  42478  aks4d1p1p4  42510  unitscyglem4  42637  zdivgd  42769  cxp111d  42774  readvrec2  42793  sqrtcval  44068  hashnzfzclim  44749  dmmcand  45746  sumnnodd  46060  sinmulcos  46293  itgsinexp  46383  itgcoscmulx  46397  itgsincmulx  46402  stirlinglem7  46508  dirkertrigeqlem3  46528  dirkeritg  46530  dirkercncflem2  46532  fourierdlem79  46613  fourierdlem83  46617  fourierdlem95  46629  fouriercnp  46654  fourierswlem  46658  etransclem24  46686  etransclem41  46703  sfprmdvdsmersenne  48060  dfodd6  48107  dfeven4  48108  perfectALTVlem2  48192  line2  49222  itscnhlc0xyqsol  49235  itsclquadb  49246  sinhpcosh  50209