Theorem divcan3d 12028

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11931	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140   · cmul 11145   / cdiv 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904

This theorem is referenced by:  prodgt0  12094  mulge0b  12117  ltdivmul  12122  ledivmul  12123  zneo  12678  2tnp1ge0ge0  13830  quoremz  13856  quoremnn0ALT  13858  moddiffl  13883  zesq  14224  discr  14238  bcn1  14308  crre  15097  abslem2  15322  fallfacval4  16023  sinhval  16134  eirrlem  16184  sqrt2irrlem  16228  ltoddhalfle  16341  flodddiv4  16393  bitsp1e  16410  bitsp1o  16411  iserodd  16807  fldivp1  16869  4sqlem17  16933  smndex2dlinvh  18877  gexexlem  19819  abv1z  20724  gzrngunit  21383  cphipval2  25213  ovolunlem1a  25469  itg1mulc  25678  dvrec  25931  elqaalem3  26301  eff1olem  26527  logf1o2  26629  isosctrlem2  26796  heron  26815  dcubic2  26821  mcubic  26824  cubic2  26825  dquartlem1  26828  dquartlem2  26829  dquart  26830  cosasin  26881  efiatan2  26894  tanatan  26896  dvatan  26912  atantayl3  26916  jensen  26966  basellem3  27060  basellem5  27062  basellem8  27065  logfacrlim  27202  perfectlem2  27208  lgsquadlem1  27358  lgsquadlem2  27359  2lgslem1c  27371  2lgslem3a  27374  dchrvmasumlem1  27473  mudivsum  27508  vmalogdivsum2  27516  logsqvma  27520  selberglem2  27524  selberglem3  27525  selberg  27526  selbergr  27546  selberg3r  27547  selberg4r  27548  selberg34r  27549  pntsval2  27554  pntpbnd1a  27563  pntibndlem2  27569  axsegconlem9  28808  cdj1i  32315  subfacval2  34925  circum  35406  knoppndvlem2  36116  knoppndvlem9  36123  areacirclem1  37309  areacirclem4  37312  lcmineqlem11  41639  aks4d1p1p4  41671  zdivgd  42039  cxp111d  42045  sqrtcval  43210  hashnzfzclim  43898  dmmcand  44830  sumnnodd  45153  sinmulcos  45388  itgsinexp  45478  itgcoscmulx  45492  itgsincmulx  45497  stirlinglem7  45603  dirkertrigeqlem3  45623  dirkeritg  45625  dirkercncflem2  45627  fourierdlem79  45708  fourierdlem83  45712  fourierdlem95  45724  fouriercnp  45749  fourierswlem  45753  etransclem24  45781  etransclem41  45798  sfprmdvdsmersenne  47077  dfodd6  47111  dfeven4  47112  perfectALTVlem2  47196  line2  48008  itscnhlc0xyqsol  48021  itsclquadb  48032  sinhpcosh  48354