Theorem divcan3d 11963

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11863	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  prodgt0  12029  mulge0b  12053  ltdivmul  12058  ledivmul  12059  zneo  12617  2tnp1ge0ge0  13791  quoremz  13817  quoremnn0ALT  13819  moddiffl  13844  zesq  14191  discr  14205  bcn1  14278  crre  15080  abslem2  15306  fallfacval4  16009  sinhval  16122  eirrlem  16172  sqrt2irrlem  16216  ltoddhalfle  16331  flodddiv4  16385  bitsp1e  16402  bitsp1o  16403  iserodd  16806  fldivp1  16868  4sqlem17  16932  smndex2dlinvh  18844  gexexlem  19782  abv1z  20733  gzrngunit  21350  cphipval2  25141  ovolunlem1a  25397  itg1mulc  25605  dvrec  25859  elqaalem3  26229  eff1olem  26457  logf1o2  26559  isosctrlem2  26729  heron  26748  dcubic2  26754  mcubic  26757  cubic2  26758  dquartlem1  26761  dquartlem2  26762  dquart  26763  cosasin  26814  efiatan2  26827  tanatan  26829  dvatan  26845  atantayl3  26849  jensen  26899  basellem3  26993  basellem5  26995  basellem8  26998  logfacrlim  27135  perfectlem2  27141  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  2lgslem1c  27304  2lgslem3a  27307  dchrvmasumlem1  27406  mudivsum  27441  vmalogdivsum2  27449  logsqvma  27453  selberglem2  27457  selberglem3  27458  selberg  27459  selbergr  27479  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntsval2  27487  pntpbnd1a  27496  pntibndlem2  27502  axsegconlem9  28852  cdj1i  32362  quad3d  32673  constrresqrtcl  33767  subfacval2  35174  circum  35661  knoppndvlem2  36501  knoppndvlem9  36508  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  lcmineqlem11  42027  aks4d1p1p4  42059  unitscyglem4  42186  zdivgd  42325  cxp111d  42330  readvrec2  42349  sqrtcval  43630  hashnzfzclim  44311  dmmcand  45311  sumnnodd  45628  sinmulcos  45863  itgsinexp  45953  itgcoscmulx  45967  itgsincmulx  45972  stirlinglem7  46078  dirkertrigeqlem3  46098  dirkeritg  46100  dirkercncflem2  46102  fourierdlem79  46183  fourierdlem83  46187  fourierdlem95  46199  fouriercnp  46224  fourierswlem  46228  etransclem24  46256  etransclem41  46273  sfprmdvdsmersenne  47604  dfodd6  47638  dfeven4  47639  perfectALTVlem2  47723  line2  48741  itscnhlc0xyqsol  48754  itsclquadb  48765  sinhpcosh  49729