Theorem divcan3d 12075

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11975	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  prodgt0  12141  mulge0b  12165  ltdivmul  12170  ledivmul  12171  zneo  12726  2tnp1ge0ge0  13880  quoremz  13906  quoremnn0ALT  13908  moddiffl  13933  zesq  14275  discr  14289  bcn1  14362  crre  15163  abslem2  15388  fallfacval4  16091  sinhval  16202  eirrlem  16252  sqrt2irrlem  16296  ltoddhalfle  16409  flodddiv4  16461  bitsp1e  16478  bitsp1o  16479  iserodd  16882  fldivp1  16944  4sqlem17  17008  smndex2dlinvh  18952  gexexlem  19894  abv1z  20847  gzrngunit  21474  cphipval2  25294  ovolunlem1a  25550  itg1mulc  25759  dvrec  26013  elqaalem3  26381  eff1olem  26608  logf1o2  26710  isosctrlem2  26880  heron  26899  dcubic2  26905  mcubic  26908  cubic2  26909  dquartlem1  26912  dquartlem2  26913  dquart  26914  cosasin  26965  efiatan2  26978  tanatan  26980  dvatan  26996  atantayl3  27000  jensen  27050  basellem3  27144  basellem5  27146  basellem8  27149  logfacrlim  27286  perfectlem2  27292  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  2lgslem1c  27455  2lgslem3a  27458  dchrvmasumlem1  27557  mudivsum  27592  vmalogdivsum2  27600  logsqvma  27604  selberglem2  27608  selberglem3  27609  selberg  27610  selbergr  27630  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntsval2  27638  pntpbnd1a  27647  pntibndlem2  27653  axsegconlem9  28958  cdj1i  32465  quad3d  32757  subfacval2  35155  circum  35642  knoppndvlem2  36479  knoppndvlem9  36486  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  lcmineqlem11  41996  aks4d1p1p4  42028  unitscyglem4  42155  zdivgd  42324  cxp111d  42330  sqrtcval  43603  hashnzfzclim  44291  dmmcand  45228  sumnnodd  45551  sinmulcos  45786  itgsinexp  45876  itgcoscmulx  45890  itgsincmulx  45895  stirlinglem7  46001  dirkertrigeqlem3  46021  dirkeritg  46023  dirkercncflem2  46025  fourierdlem79  46106  fourierdlem83  46110  fourierdlem95  46122  fouriercnp  46147  fourierswlem  46151  etransclem24  46179  etransclem41  46196  sfprmdvdsmersenne  47477  dfodd6  47511  dfeven4  47512  perfectALTVlem2  47596  line2  48486  itscnhlc0xyqsol  48499  itsclquadb  48510  sinhpcosh  48832