Theorem divcan3d 11962

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1386	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  0cc0 11063   · cmul 11068   / cdiv 11834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835

This theorem is referenced by:  prodgt0  12028  mulge0b  12052  ltdivmul  12057  ledivmul  12058  zneo  12646  2tnp1ge0ge0  13829  quoremz  13855  quoremnn0ALT  13857  moddiffl  13882  zesq  14229  discr  14243  bcn1  14316  crre  15117  abslem2  15343  fallfacval4  16049  sinhval  16162  eirrlem  16212  sqrt2irrlem  16256  ltoddhalfle  16371  flodddiv4  16425  bitsp1e  16442  bitsp1o  16443  iserodd  16847  fldivp1  16909  4sqlem17  16973  smndex2dlinvh  18930  gexexlem  19868  abv1z  20846  gzrngunit  21458  cphipval2  25276  ovolunlem1a  25531  itg1mulc  25739  dvrec  25990  elqaalem3  26355  eff1olem  26583  logf1o2  26685  isosctrlem2  26854  heron  26873  dcubic2  26879  mcubic  26882  cubic2  26883  dquartlem1  26886  dquartlem2  26887  dquart  26888  cosasin  26939  efiatan2  26952  tanatan  26954  dvatan  26970  atantayl3  26974  jensen  27023  basellem3  27117  basellem5  27119  basellem8  27122  logfacrlim  27258  perfectlem2  27264  lgsquadlem1  27414  lgsquadlem2  27415  2lgslem1c  27427  2lgslem3a  27430  dchrvmasumlem1  27529  mudivsum  27564  vmalogdivsum2  27572  logsqvma  27576  selberglem2  27580  selberglem3  27581  selberg  27582  selbergr  27602  selberg3r  27603  selberg4r  27604  selberg34r  27605  pntsval2  27610  pntpbnd1a  27619  pntibndlem2  27625  axsegconlem9  29065  cdj1i  32575  quad3d  32894  constrresqrtcl  34028  subfacval2  35485  circum  35972  knoppndvlem2  36899  knoppndvlem9  36906  areacirclem1  38155  areacirclem4  38158  lcmineqlem11  42604  aks4d1p1p4  42636  unitscyglem4  42763  zdivgd  42894  cxp111d  42899  readvrec2  42918  sqrtcval  44165  hashnzfzclim  44846  dmmcand  45840  sumnnodd  46154  sinmulcos  46387  itgsinexp  46477  itgcoscmulx  46491  itgsincmulx  46496  stirlinglem7  46602  dirkertrigeqlem3  46622  dirkeritg  46624  dirkercncflem2  46626  fourierdlem79  46707  fourierdlem83  46711  fourierdlem95  46723  fouriercnp  46748  fourierswlem  46752  etransclem24  46780  etransclem41  46797  sfprmdvdsmersenne  48160  dfodd6  48207  dfeven4  48208  perfectALTVlem2  48292  line2  49322  itscnhlc0xyqsol  49335  itsclquadb  49346  sinhpcosh  50309