MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan3d 11415
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan3d (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan3 11318 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1367 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536   / cdiv 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292
This theorem is referenced by:  prodgt0  11481  mulge0b  11504  ltdivmul  11509  ledivmul  11510  zneo  12059  2tnp1ge0ge0  13193  quoremz  13217  quoremnn0ALT  13219  moddiffl  13244  zesq  13581  discr  13595  bcn1  13667  crre  14467  abslem2  14693  fallfacval4  15391  sinhval  15501  eirrlem  15551  sqrt2irrlem  15595  ltoddhalfle  15704  flodddiv4  15758  bitsp1e  15775  bitsp1o  15776  iserodd  16166  fldivp1  16227  4sqlem17  16291  smndex2dlinvh  18076  gexexlem  18966  abv1z  19597  gzrngunit  20605  cphipval2  23838  ovolunlem1a  24091  itg1mulc  24299  dvrec  24546  elqaalem3  24904  eff1olem  25126  logf1o2  25227  isosctrlem2  25391  heron  25410  dcubic2  25416  mcubic  25419  cubic2  25420  dquartlem1  25423  dquartlem2  25424  dquart  25425  cosasin  25476  efiatan2  25489  tanatan  25491  dvatan  25507  atantayl3  25511  jensen  25560  basellem3  25654  basellem5  25656  basellem8  25659  logfacrlim  25794  perfectlem2  25800  lgsquadlem1  25950  lgsquadlem2  25951  2lgslem1c  25963  2lgslem3a  25966  dchrvmasumlem1  26065  mudivsum  26100  vmalogdivsum2  26108  logsqvma  26112  selberglem2  26116  selberglem3  26117  selberg  26118  selbergr  26138  selberg3r  26139  selberg4r  26140  selberg34r  26141  pntsval2  26146  pntpbnd1a  26155  pntibndlem2  26161  axsegconlem9  26705  cdj1i  30204  subfacval2  32429  circum  32912  knoppndvlem2  33847  knoppndvlem9  33854  areacirclem1  34976  areacirclem4  34979  hashnzfzclim  40647  dmmcand  41572  sumnnodd  41903  sinmulcos  42138  itgsinexp  42232  itgcoscmulx  42246  itgsincmulx  42251  stirlinglem7  42358  dirkertrigeqlem3  42378  dirkeritg  42380  dirkercncflem2  42382  fourierdlem79  42463  fourierdlem83  42467  fourierdlem95  42479  fouriercnp  42504  fourierswlem  42508  etransclem24  42536  etransclem41  42553  sfprmdvdsmersenne  43761  dfodd6  43795  dfeven4  43796  perfectALTVlem2  43880  line2  44732  itscnhlc0xyqsol  44745  itsclquadb  44756  sinhpcosh  44832
  Copyright terms: Public domain W3C validator