Theorem divcan3d 11926

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11826	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030   · cmul 11035   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  prodgt0  11992  mulge0b  12016  ltdivmul  12021  ledivmul  12022  zneo  12579  2tnp1ge0ge0  13753  quoremz  13779  quoremnn0ALT  13781  moddiffl  13806  zesq  14153  discr  14167  bcn1  14240  crre  15041  abslem2  15267  fallfacval4  15970  sinhval  16083  eirrlem  16133  sqrt2irrlem  16177  ltoddhalfle  16292  flodddiv4  16346  bitsp1e  16363  bitsp1o  16364  iserodd  16767  fldivp1  16829  4sqlem17  16893  smndex2dlinvh  18846  gexexlem  19785  abv1z  20761  gzrngunit  21392  cphipval2  25201  ovolunlem1a  25457  itg1mulc  25665  dvrec  25919  elqaalem3  26289  eff1olem  26517  logf1o2  26619  isosctrlem2  26789  heron  26808  dcubic2  26814  mcubic  26817  cubic2  26818  dquartlem1  26821  dquartlem2  26822  dquart  26823  cosasin  26874  efiatan2  26887  tanatan  26889  dvatan  26905  atantayl3  26909  jensen  26959  basellem3  27053  basellem5  27055  basellem8  27058  logfacrlim  27195  perfectlem2  27201  lgsquadlem1  27351  lgsquadlem2  27352  2lgslem1c  27364  2lgslem3a  27367  dchrvmasumlem1  27466  mudivsum  27501  vmalogdivsum2  27509  logsqvma  27513  selberglem2  27517  selberglem3  27518  selberg  27519  selbergr  27539  selberg3r  27540  selberg4r  27541  selberg34r  27542  pntsval2  27547  pntpbnd1a  27556  pntibndlem2  27562  axsegconlem9  28981  cdj1i  32491  quad3d  32810  constrresqrtcl  33915  subfacval2  35362  circum  35849  knoppndvlem2  36688  knoppndvlem9  36695  areacirclem1  37880  areacirclem4  37883  lcmineqlem11  42330  aks4d1p1p4  42362  unitscyglem4  42489  zdivgd  42628  cxp111d  42633  readvrec2  42652  sqrtcval  43918  hashnzfzclim  44599  dmmcand  45597  sumnnodd  45912  sinmulcos  46145  itgsinexp  46235  itgcoscmulx  46249  itgsincmulx  46254  stirlinglem7  46360  dirkertrigeqlem3  46380  dirkeritg  46382  dirkercncflem2  46384  fourierdlem79  46465  fourierdlem83  46469  fourierdlem95  46481  fouriercnp  46506  fourierswlem  46510  etransclem24  46538  etransclem41  46555  sfprmdvdsmersenne  47885  dfodd6  47919  dfeven4  47920  perfectALTVlem2  48004  line2  49034  itscnhlc0xyqsol  49047  itsclquadb  49058  sinhpcosh  50021