Theorem divcan3d 12125

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 12027	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   · cmul 11232   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  prodgt0  12191  mulge0b  12214  ltdivmul  12219  ledivmul  12220  zneo  12809  2tnp1ge0ge0  13996  quoremz  14022  quoremnn0ALT  14024  moddiffl  14049  zesq  14397  discr  14411  bcn1  14484  crre  15310  abslem2  15536  fallfacval4  16238  sinhval  16351  eirrlem  16401  sqrt2irrlem  16445  ltoddhalfle  16560  flodddiv4  16614  bitsp1e  16631  bitsp1o  16632  iserodd  17042  fldivp1  17104  4sqlem17  17168  smndex2dlinvh  19145  gexexlem  20096  abv1z  21111  gzrngunit  21769  cphipval2  25592  ovolunlem1a  25847  itg1mulc  26055  dvrec  26305  elqaalem3  26674  eff1olem  26906  logf1o2  27008  isosctrlem2  27177  heron  27196  dcubic2  27202  mcubic  27205  cubic2  27206  dquartlem1  27209  dquartlem2  27210  dquart  27211  cosasin  27262  efiatan2  27275  tanatan  27277  dvatan  27293  atantayl3  27297  jensen  27346  basellem3  27440  basellem5  27442  basellem8  27445  logfacrlim  27581  perfectlem2  27587  lgsquadlem1  27737  lgsquadlem2  27738  2lgslem1c  27750  2lgslem3a  27753  dchrvmasumlem1  27852  mudivsum  27887  vmalogdivsum2  27895  logsqvma  27899  selberglem2  27903  selberglem3  27904  selberg  27905  selbergr  27925  selberg3r  27926  selberg4r  27927  selberg34r  27928  pntsval2  27933  pntpbnd1a  27942  pntibndlem2  27948  axsegconlem9  29533  cdj1i  33065  quad3d  33411  constrresqrtcl  34479  subfacval2  36119  circum  36606  knoppndvlem2  37557  knoppndvlem9  37564  areacirclem1  38818  areacirclem4  38821  lcmineqlem11  43281  aks4d1p1p4  43313  unitscyglem4  43440  zdivgd  43581  cxp111d  43586  readvrec2  43605  sqrtcval  44833  hashnzfzclim  45498  dmmcand  46534  sumnnodd  46847  sinmulcos  47080  itgsinexp  47170  itgcoscmulx  47184  itgsincmulx  47189  stirlinglem7  47295  dirkertrigeqlem3  47315  dirkeritg  47317  dirkercncflem2  47319  fourierdlem79  47400  fourierdlem83  47404  fourierdlem95  47416  fouriercnp  47441  fourierswlem  47445  etransclem24  47473  etransclem41  47490  sfprmdvdsmersenne  48893  dfodd6  48940  dfeven4  48941  perfectALTVlem2  49025  line2  50069  itscnhlc0xyqsol  50082  itsclquadb  50093  sinhpcosh  51113