Theorem divcan3d 11987

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11886	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   · cmul 11093   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  prodgt0  12053  mulge0b  12076  ltdivmul  12081  ledivmul  12082  zneo  12670  2tnp1ge0ge0  13853  quoremz  13879  quoremnn0ALT  13881  moddiffl  13906  zesq  14253  discr  14267  bcn1  14340  crre  15155  abslem2  15381  fallfacval4  16087  sinhval  16200  eirrlem  16250  sqrt2irrlem  16294  ltoddhalfle  16409  flodddiv4  16463  bitsp1e  16480  bitsp1o  16481  iserodd  16885  fldivp1  16947  4sqlem17  17011  smndex2dlinvh  18969  gexexlem  19913  abv1z  20896  gzrngunit  21543  cphipval2  25361  ovolunlem1a  25616  itg1mulc  25824  dvrec  26075  elqaalem3  26443  eff1olem  26671  logf1o2  26773  isosctrlem2  26942  heron  26961  dcubic2  26967  mcubic  26970  cubic2  26971  dquartlem1  26974  dquartlem2  26975  dquart  26976  cosasin  27027  efiatan2  27040  tanatan  27042  dvatan  27058  atantayl3  27062  jensen  27111  basellem3  27205  basellem5  27207  basellem8  27210  logfacrlim  27346  perfectlem2  27352  lgsquadlem1  27502  lgsquadlem2  27503  2lgslem1c  27515  2lgslem3a  27518  dchrvmasumlem1  27617  mudivsum  27652  vmalogdivsum2  27660  logsqvma  27664  selberglem2  27668  selberglem3  27669  selberg  27670  selbergr  27690  selberg3r  27691  selberg4r  27692  selberg34r  27693  pntsval2  27698  pntpbnd1a  27707  pntibndlem2  27713  axsegconlem9  29184  cdj1i  32694  quad3d  33006  constrresqrtcl  34084  subfacval2  35550  circum  36037  knoppndvlem2  36964  knoppndvlem9  36971  areacirclem1  38219  areacirclem4  38222  lcmineqlem11  42668  aks4d1p1p4  42700  unitscyglem4  42827  zdivgd  42958  cxp111d  42963  readvrec2  42982  sqrtcval  44229  hashnzfzclim  44896  dmmcand  45890  sumnnodd  46204  sinmulcos  46437  itgsinexp  46527  itgcoscmulx  46541  itgsincmulx  46546  stirlinglem7  46652  dirkertrigeqlem3  46672  dirkeritg  46674  dirkercncflem2  46676  fourierdlem79  46757  fourierdlem83  46761  fourierdlem95  46773  fouriercnp  46798  fourierswlem  46802  etransclem24  46830  etransclem41  46847  sfprmdvdsmersenne  48210  dfodd6  48257  dfeven4  48258  perfectALTVlem2  48342  line2  49383  itscnhlc0xyqsol  49396  itsclquadb  49407  sinhpcosh  50369