Theorem divcan3d 11756

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11659	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876   / cdiv 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  prodgt0  11822  mulge0b  11845  ltdivmul  11850  ledivmul  11851  zneo  12403  2tnp1ge0ge0  13549  quoremz  13575  quoremnn0ALT  13577  moddiffl  13602  zesq  13941  discr  13955  bcn1  14027  crre  14825  abslem2  15051  fallfacval4  15753  sinhval  15863  eirrlem  15913  sqrt2irrlem  15957  ltoddhalfle  16070  flodddiv4  16122  bitsp1e  16139  bitsp1o  16140  iserodd  16536  fldivp1  16598  4sqlem17  16662  smndex2dlinvh  18556  gexexlem  19453  abv1z  20092  gzrngunit  20664  cphipval2  24405  ovolunlem1a  24660  itg1mulc  24869  dvrec  25119  elqaalem3  25481  eff1olem  25704  logf1o2  25805  isosctrlem2  25969  heron  25988  dcubic2  25994  mcubic  25997  cubic2  25998  dquartlem1  26001  dquartlem2  26002  dquart  26003  cosasin  26054  efiatan2  26067  tanatan  26069  dvatan  26085  atantayl3  26089  jensen  26138  basellem3  26232  basellem5  26234  basellem8  26237  logfacrlim  26372  perfectlem2  26378  lgsquadlem1  26528  lgsquadlem2  26529  2lgslem1c  26541  2lgslem3a  26544  dchrvmasumlem1  26643  mudivsum  26678  vmalogdivsum2  26686  logsqvma  26690  selberglem2  26694  selberglem3  26695  selberg  26696  selbergr  26716  selberg3r  26717  selberg4r  26718  selberg34r  26719  pntsval2  26724  pntpbnd1a  26733  pntibndlem2  26739  axsegconlem9  27293  cdj1i  30795  subfacval2  33149  circum  33632  knoppndvlem2  34693  knoppndvlem9  34700  areacirclem1  35865  areacirclem4  35868  lcmineqlem11  40047  aks4d1p1p4  40079  sqrtcval  41249  hashnzfzclim  41940  dmmcand  42852  sumnnodd  43171  sinmulcos  43406  itgsinexp  43496  itgcoscmulx  43510  itgsincmulx  43515  stirlinglem7  43621  dirkertrigeqlem3  43641  dirkeritg  43643  dirkercncflem2  43645  fourierdlem79  43726  fourierdlem83  43730  fourierdlem95  43742  fouriercnp  43767  fourierswlem  43771  etransclem24  43799  etransclem41  43816  sfprmdvdsmersenne  45055  dfodd6  45089  dfeven4  45090  perfectALTVlem2  45174  line2  46098  itscnhlc0xyqsol  46111  itsclquadb  46122  sinhpcosh  46442