Theorem divcan3d 12002

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11904	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106   · cmul 11111   / cdiv 11877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878

This theorem is used by:  prodgt0  12068  mulge0b  12091  ltdivmul  12096  ledivmul  12097  zneo  12685  2tnp1ge0ge0  13869  quoremz  13895  quoremnn0ALT  13897  moddiffl  13922  zesq  14269  discr  14283  bcn1  14356  crre  15172  abslem2  15398  fallfacval4  16103  sinhval  16216  eirrlem  16266  sqrt2irrlem  16310  ltoddhalfle  16425  flodddiv4  16479  bitsp1e  16496  bitsp1o  16497  iserodd  16901  fldivp1  16963  4sqlem17  17027  smndex2dlinvh  18985  gexexlem  19928  abv1z  20938  gzrngunit  21594  cphipval2  25411  ovolunlem1a  25666  itg1mulc  25874  dvrec  26125  elqaalem3  26493  eff1olem  26724  logf1o2  26826  isosctrlem2  26995  heron  27014  dcubic2  27020  mcubic  27023  cubic2  27024  dquartlem1  27027  dquartlem2  27028  dquart  27029  cosasin  27080  efiatan2  27093  tanatan  27095  dvatan  27111  atantayl3  27115  jensen  27164  basellem3  27258  basellem5  27260  basellem8  27263  logfacrlim  27399  perfectlem2  27405  lgsquadlem1  27555  lgsquadlem2  27556  2lgslem1c  27568  2lgslem3a  27571  dchrvmasumlem1  27670  mudivsum  27705  vmalogdivsum2  27713  logsqvma  27717  selberglem2  27721  selberglem3  27722  selberg  27723  selbergr  27743  selberg3r  27744  selberg4r  27745  selberg34r  27746  pntsval2  27751  pntpbnd1a  27760  pntibndlem2  27766  axsegconlem9  29286  cdj1i  32796  quad3d  33105  constrresqrtcl  34176  subfacval2  35687  circum  36174  knoppndvlem2  37130  knoppndvlem9  37137  areacirclem1  38387  areacirclem4  38390  lcmineqlem11  42834  aks4d1p1p4  42866  unitscyglem4  42993  zdivgd  43126  cxp111d  43131  readvrec2  43150  sqrtcval  44395  hashnzfzclim  45060  dmmcand  46060  sumnnodd  46374  sinmulcos  46607  itgsinexp  46697  itgcoscmulx  46711  itgsincmulx  46716  stirlinglem7  46822  dirkertrigeqlem3  46842  dirkeritg  46844  dirkercncflem2  46846  fourierdlem79  46927  fourierdlem83  46931  fourierdlem95  46943  fouriercnp  46968  fourierswlem  46972  etransclem24  47000  etransclem41  47017  sfprmdvdsmersenne  48383  dfodd6  48430  dfeven4  48431  perfectALTVlem2  48515  line2  49560  itscnhlc0xyqsol  49573  itsclquadb  49584  sinhpcosh  50546