Theorem divcan3d 11923

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  prodgt0  11989  mulge0b  12013  ltdivmul  12018  ledivmul  12019  zneo  12577  2tnp1ge0ge0  13751  quoremz  13777  quoremnn0ALT  13779  moddiffl  13804  zesq  14151  discr  14165  bcn1  14238  crre  15039  abslem2  15265  fallfacval4  15968  sinhval  16081  eirrlem  16131  sqrt2irrlem  16175  ltoddhalfle  16290  flodddiv4  16344  bitsp1e  16361  bitsp1o  16362  iserodd  16765  fldivp1  16827  4sqlem17  16891  smndex2dlinvh  18809  gexexlem  19749  abv1z  20727  gzrngunit  21358  cphipval2  25157  ovolunlem1a  25413  itg1mulc  25621  dvrec  25875  elqaalem3  26245  eff1olem  26473  logf1o2  26575  isosctrlem2  26745  heron  26764  dcubic2  26770  mcubic  26773  cubic2  26774  dquartlem1  26777  dquartlem2  26778  dquart  26779  cosasin  26830  efiatan2  26843  tanatan  26845  dvatan  26861  atantayl3  26865  jensen  26915  basellem3  27009  basellem5  27011  basellem8  27014  logfacrlim  27151  perfectlem2  27157  lgsquadlem1  27307  lgsquadlem2  27308  2lgslem1c  27320  2lgslem3a  27323  dchrvmasumlem1  27422  mudivsum  27457  vmalogdivsum2  27465  logsqvma  27469  selberglem2  27473  selberglem3  27474  selberg  27475  selbergr  27495  selberg3r  27496  selberg4r  27497  selberg34r  27498  pntsval2  27503  pntpbnd1a  27512  pntibndlem2  27518  axsegconlem9  28888  cdj1i  32395  quad3d  32706  constrresqrtcl  33743  subfacval2  35159  circum  35646  knoppndvlem2  36486  knoppndvlem9  36493  areacirclem1  37687  areacirclem4  37690  lcmineqlem11  42012  aks4d1p1p4  42044  unitscyglem4  42171  zdivgd  42310  cxp111d  42315  readvrec2  42334  sqrtcval  43614  hashnzfzclim  44295  dmmcand  45295  sumnnodd  45612  sinmulcos  45847  itgsinexp  45937  itgcoscmulx  45951  itgsincmulx  45956  stirlinglem7  46062  dirkertrigeqlem3  46082  dirkeritg  46084  dirkercncflem2  46086  fourierdlem79  46167  fourierdlem83  46171  fourierdlem95  46183  fouriercnp  46208  fourierswlem  46212  etransclem24  46240  etransclem41  46257  sfprmdvdsmersenne  47588  dfodd6  47622  dfeven4  47623  perfectALTVlem2  47707  line2  48725  itscnhlc0xyqsol  48738  itsclquadb  48749  sinhpcosh  49713