Theorem divcan3d 11934

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  prodgt0  12000  mulge0b  12024  ltdivmul  12029  ledivmul  12030  zneo  12587  2tnp1ge0ge0  13761  quoremz  13787  quoremnn0ALT  13789  moddiffl  13814  zesq  14161  discr  14175  bcn1  14248  crre  15049  abslem2  15275  fallfacval4  15978  sinhval  16091  eirrlem  16141  sqrt2irrlem  16185  ltoddhalfle  16300  flodddiv4  16354  bitsp1e  16371  bitsp1o  16372  iserodd  16775  fldivp1  16837  4sqlem17  16901  smndex2dlinvh  18854  gexexlem  19793  abv1z  20769  gzrngunit  21400  cphipval2  25209  ovolunlem1a  25465  itg1mulc  25673  dvrec  25927  elqaalem3  26297  eff1olem  26525  logf1o2  26627  isosctrlem2  26797  heron  26816  dcubic2  26822  mcubic  26825  cubic2  26826  dquartlem1  26829  dquartlem2  26830  dquart  26831  cosasin  26882  efiatan2  26895  tanatan  26897  dvatan  26913  atantayl3  26917  jensen  26967  basellem3  27061  basellem5  27063  basellem8  27066  logfacrlim  27203  perfectlem2  27209  lgsquadlem1  27359  lgsquadlem2  27360  2lgslem1c  27372  2lgslem3a  27375  dchrvmasumlem1  27474  mudivsum  27509  vmalogdivsum2  27517  logsqvma  27521  selberglem2  27525  selberglem3  27526  selberg  27527  selbergr  27547  selberg3r  27548  selberg4r  27549  selberg34r  27550  pntsval2  27555  pntpbnd1a  27564  pntibndlem2  27570  axsegconlem9  29010  cdj1i  32520  quad3d  32839  constrresqrtcl  33954  subfacval2  35400  circum  35887  knoppndvlem2  36732  knoppndvlem9  36739  areacirclem1  37948  areacirclem4  37951  lcmineqlem11  42398  aks4d1p1p4  42430  unitscyglem4  42557  zdivgd  42696  cxp111d  42701  readvrec2  42720  sqrtcval  43986  hashnzfzclim  44667  dmmcand  45664  sumnnodd  45979  sinmulcos  46212  itgsinexp  46302  itgcoscmulx  46316  itgsincmulx  46321  stirlinglem7  46427  dirkertrigeqlem3  46447  dirkeritg  46449  dirkercncflem2  46451  fourierdlem79  46532  fourierdlem83  46536  fourierdlem95  46548  fouriercnp  46573  fourierswlem  46577  etransclem24  46605  etransclem41  46622  sfprmdvdsmersenne  47952  dfodd6  47986  dfeven4  47987  perfectALTVlem2  48071  line2  49101  itscnhlc0xyqsol  49114  itsclquadb  49125  sinhpcosh  50088