Theorem divcan3d 11421

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan3d	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan3 11324	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537   · cmul 10542   / cdiv 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298

This theorem is referenced by:  prodgt0  11487  mulge0b  11510  ltdivmul  11515  ledivmul  11516  zneo  12066  2tnp1ge0ge0  13200  quoremz  13224  quoremnn0ALT  13226  moddiffl  13251  zesq  13588  discr  13602  bcn1  13674  crre  14473  abslem2  14699  fallfacval4  15397  sinhval  15507  eirrlem  15557  sqrt2irrlem  15601  ltoddhalfle  15710  flodddiv4  15764  bitsp1e  15781  bitsp1o  15782  iserodd  16172  fldivp1  16233  4sqlem17  16297  smndex2dlinvh  18082  gexexlem  18972  abv1z  19603  gzrngunit  20611  cphipval2  23844  ovolunlem1a  24097  itg1mulc  24305  dvrec  24552  elqaalem3  24910  eff1olem  25132  logf1o2  25233  isosctrlem2  25397  heron  25416  dcubic2  25422  mcubic  25425  cubic2  25426  dquartlem1  25429  dquartlem2  25430  dquart  25431  cosasin  25482  efiatan2  25495  tanatan  25497  dvatan  25513  atantayl3  25517  jensen  25566  basellem3  25660  basellem5  25662  basellem8  25665  logfacrlim  25800  perfectlem2  25806  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  2lgslem1c  25969  2lgslem3a  25972  dchrvmasumlem1  26071  mudivsum  26106  vmalogdivsum2  26114  logsqvma  26118  selberglem2  26122  selberglem3  26123  selberg  26124  selbergr  26144  selberg3r  26145  selberg4r  26146  selberg34r  26147  pntsval2  26152  pntpbnd1a  26161  pntibndlem2  26167  axsegconlem9  26711  cdj1i  30210  subfacval2  32434  circum  32917  knoppndvlem2  33852  knoppndvlem9  33859  areacirclem1  34997  areacirclem4  35000  hashnzfzclim  40674  dmmcand  41600  sumnnodd  41931  sinmulcos  42166  itgsinexp  42260  itgcoscmulx  42274  itgsincmulx  42279  stirlinglem7  42385  dirkertrigeqlem3  42405  dirkeritg  42407  dirkercncflem2  42409  fourierdlem79  42490  fourierdlem83  42494  fourierdlem95  42506  fouriercnp  42531  fourierswlem  42535  etransclem24  42563  etransclem41  42580  sfprmdvdsmersenne  43788  dfodd6  43822  dfeven4  43823  perfectALTVlem2  43907  line2  44759  itscnhlc0xyqsol  44772  itsclquadb  44783  sinhpcosh  44859