Theorem psrcom 21178

Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrcom.c	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
psrcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 19820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		psrass.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbaglefi 21135	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
10	3	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
11		psrring.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12		psrass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11, 1, 7, 12, 13	psrelbas 21148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
17		breq1 5077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑘 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
18	17	elrab 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
19	16, 18	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
20	19	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
21	15, 20	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
22		psrass.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	11, 1, 7, 12, 22	psrelbas 21148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
24	23	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26	7	psrbagf 21121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
28	19	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∘r ≤ 𝑥)
29	7	psrbagcon 21133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
30	25, 27, 28, 29	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
31	30	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷)
32	24, 31	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	ringcl 19800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
35	10, 21, 32, 34	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	fmpttd 6989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}⟶(Base‘𝑅))
37		ovex 7308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
38	7, 37	rabex2 5258	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
40		rabexg 5255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
42	41	mptexd 7100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V)
43		funmpt 6472	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
45		fvexd 6789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
46		suppssdm 7993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
47		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
48	47	dmmptss 6144	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
49	46, 48	sstri 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
51		suppssfifsupp 9143	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
52	42, 44, 45, 9, 50, 51	syl32anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
53		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
54	7, 53	psrbagconf1o 21139	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}–1-1-onto→{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
55	54	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}–1-1-onto→{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
56	1, 2, 6, 9, 36, 52, 55	gsumf1o 19517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
57		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
58		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
59	7, 53	psrbagconcl 21137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
60	57, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
61		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))
62		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
63		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))
64		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑥 ∘f − 𝑘) = (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))
65	64	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))
66	63, 65	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
67	60, 61, 62, 66	fmptco 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))))
68	7	psrbagf 21121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
71	70	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
72		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = 𝑗 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
73	72	elrab 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
74	58, 73	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
75	74	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
76	7	psrbagf 21121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
78	77	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
79		nn0cn 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑧) ∈ ℂ)
80		nn0cn 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
81		nncan 11250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
82	79, 80, 81	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
83	71, 78, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
84	83	mpteq2dva 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
85		psrring.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
86	85	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
87		ovex 7308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V)
89	70	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
90	77	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
91	86, 71, 78, 89, 90	offval2 7553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
92	86, 71, 88, 89, 91	offval2 7553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))))
93	84, 92, 90	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = 𝑗)
94	93	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑌‘𝑗))
95	94	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
96		psrcom.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
97	96	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
98	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
99	74	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∘r ≤ 𝑥)
100	7	psrbagcon 21133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
101	57, 77, 99, 100	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
102	101	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷)
103	98, 102	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
104	23	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
105	104, 75	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
106	1, 33	crngcom 19801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
107	97, 103, 105, 106	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
108	95, 107	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
109	108	mpteq2dva 5174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
110	67, 109	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
111	110	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
112	56, 111	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
113	112	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
114		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
115	11, 12, 33, 114, 7, 13, 22	psrmulfval 21154	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
116	11, 12, 33, 114, 7, 22, 13	psrmulfval 21154	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
117	113, 115, 116	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589   “ cima 5592   ∘ ccom 5593  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   ∘_r cofr 7532   supp csupp 7977   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  ℂcc 10869   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  CMndccmn 19386  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   mPwSer cmps 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-psr 21112

This theorem is referenced by:  psrcrng  21182