Theorem psrcom 21927

Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrcom.c	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
psrcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		psrass.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbaglefi 21886	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
10	3	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
11		psrring.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12		psrass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11, 1, 7, 12, 13	psrelbas 21894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
17		breq1 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑘 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
18	17	elrab 3647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
19	16, 18	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
20	19	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
21	15, 20	ffvelcdmd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
22		psrass.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	11, 1, 7, 12, 22	psrelbas 21894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26	7	psrbagf 21878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
28	19	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∘r ≤ 𝑥)
29	7	psrbagcon 21885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
30	25, 27, 28, 29	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
31	30	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷)
32	24, 31	ffvelcdmd 7032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	ringcl 20189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
35	10, 21, 32, 34	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	fmpttd 7062	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}⟶(Base‘𝑅))
37		ovex 7393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
38	7, 37	rabex2 5287	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
40		rabexg 5283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
42	41	mptexd 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V)
43		funmpt 6531	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
45		fvexd 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
46		suppssdm 8121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
47		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
48	47	dmmptss 6200	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
49	46, 48	sstri 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
51		suppssfifsupp 9287	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
52	42, 44, 45, 9, 50, 51	syl32anc 1381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
53		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
54	7, 53	psrbagconf1o 21889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}–1-1-onto→{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
55	54	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}–1-1-onto→{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
56	1, 2, 6, 9, 36, 52, 55	gsumf1o 19849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
57		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
58		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
59	7, 53	psrbagconcl 21887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
60	57, 58, 59	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
61		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))
62		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
63		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))
64		oveq2 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑥 ∘f − 𝑘) = (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))
65	64	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))
66	63, 65	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
67	60, 61, 62, 66	fmptco 7076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))))
68	7	psrbagf 21878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
71	70	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
72		breq1 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = 𝑗 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
73	72	elrab 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
74	58, 73	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
75	74	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
76	7	psrbagf 21878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
78	77	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
79		nn0cn 12415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑧) ∈ ℂ)
80		nn0cn 12415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
81		nncan 11414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
82	79, 80, 81	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
83	71, 78, 82	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
84	83	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
85		psrring.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
86	85	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
87		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V)
89	70	feqmptd 6903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
90	77	feqmptd 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
91	86, 71, 78, 89, 90	offval2 7644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
92	86, 71, 88, 89, 91	offval2 7644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))))
93	84, 92, 90	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = 𝑗)
94	93	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑌‘𝑗))
95	94	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
96		psrcom.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
97	96	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
98	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
99	74	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∘r ≤ 𝑥)
100	7	psrbagcon 21885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
101	57, 77, 99, 100	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
102	101	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷)
103	98, 102	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
104	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
105	104, 75	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
106	1, 33	crngcom 20190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
107	97, 103, 105, 106	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
108	95, 107	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
109	108	mpteq2dva 5192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
110	67, 109	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
111	110	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
112	56, 111	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
113	112	mpteq2dva 5192	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
114		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
115	11, 12, 33, 114, 7, 13, 22	psrmulfval 21903	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
116	11, 12, 33, 114, 7, 22, 13	psrmulfval 21903	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
117	113, 115, 116	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6487  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   ∘_r cofr 7623   supp csupp 8104   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  ℂcc 11028   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  0_gc0g 17363   Σ_g cgsu 17364  CMndccmn 19713  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   mPwSer cmps 21864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-tset 17200  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-psr 21869

This theorem is referenced by:  psrcrng  21931