MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrcom 21988
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrcom (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrring.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 20279 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrass.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87psrbaglefi 21946 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ Fin)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ Fin)
103ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
11 psrring.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 psrass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
13 psrass.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1411, 1, 7, 12, 13psrelbas 21954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
17 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔r𝑥𝑘r𝑥))
1817elrab 3692 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘r𝑥))
1916, 18sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘r𝑥))
2019simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑘𝐷)
2115, 20ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
22 psrass.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
2311, 1, 7, 12, 22psrelbas 21954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2423ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑥𝐷)
267psrbagf 21938 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
2819simprd 495 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑘r𝑥)
297psrbagcon 21945 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘r𝑥) → ((𝑥f𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥f𝑘) ∘r𝑥))
3025, 27, 28, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑥f𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥f𝑘) ∘r𝑥))
3130simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑘) ∈ 𝐷)
3224, 31ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑌‘(𝑥f𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
341, 33ringcl 20247 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥f𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
3510, 21, 32, 34syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
3635fmpttd 7135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))):{𝑔𝐷𝑔r𝑥}⟶(Base‘𝑅))
37 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
387, 37rabex2 5341 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ V)
40 rabexg 5337 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V → {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ V)
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ V)
4241mptexd 7244 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∈ V)
43 funmpt 6604 . . . . . . 7 Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))))
45 fvexd 6921 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
46 suppssdm 8202 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))
47 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))
4847dmmptss 6261 . . . . . . . 8 dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}
4946, 48sstri 3993 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
51 suppssfifsupp 9420 . . . . . 6 ((((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
5242, 44, 45, 9, 50, 51syl32anc 1380 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
53 eqid 2737 . . . . . . 7 {𝑔𝐷𝑔r𝑥} = {𝑔𝐷𝑔r𝑥}
547, 53psrbagconf1o 21949 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)):{𝑔𝐷𝑔r𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔r𝑥})
5554adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)):{𝑔𝐷𝑔r𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔r𝑥})
561, 2, 6, 9, 36, 52, 55gsumf1o 19934 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)))))
57 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑥𝐷)
58 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
597, 53psrbagconcl 21947 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
61 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)))
62 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))))
63 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥f𝑗) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥f𝑗)))
64 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥f𝑗) → (𝑥f𝑘) = (𝑥f − (𝑥f𝑗)))
6564fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥f𝑗) → (𝑌‘(𝑥f𝑘)) = (𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗))))
6663, 65oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥f𝑗) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗)))))
6760, 61, 62, 66fmptco 7149 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗))))))
687psrbagf 21938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7170ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
72 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔r𝑥𝑗r𝑥))
7372elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗r𝑥))
7458, 73sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗r𝑥))
7574simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗𝐷)
767psrbagf 21938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
7877ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
79 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
80 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
81 nncan 11538 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8279, 80, 81syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8371, 78, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8483mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
85 psrring.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑉)
8685ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝐼𝑉)
87 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
8970feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
9077feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
9186, 71, 78, 89, 90offval2 7717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
9286, 71, 88, 89, 91offval2 7717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f − (𝑥f𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))))
9384, 92, 903eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f − (𝑥f𝑗)) = 𝑗)
9493fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗))) = (𝑌𝑗))
9594oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
96 psrcom.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
9796ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
9814ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
9974simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗r𝑥)
1007psrbagcon 21945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗r𝑥) → ((𝑥f𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥f𝑗) ∘r𝑥))
10157, 77, 99, 100syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑥f𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥f𝑗) ∘r𝑥))
102101simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑗) ∈ 𝐷)
10398, 102ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑋‘(𝑥f𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
10423ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
105104, 75ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
1061, 33crngcom 20248 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥f𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))
10797, 103, 105, 106syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))
10895, 107eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗)))) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))
109108mpteq2dva 5242 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗)))))
11067, 109eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗)))))
111110oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))))
11256, 111eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))))
113112mpteq2dva 5242 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗)))))))
114 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
11511, 12, 33, 114, 7, 13, 22psrmulfval 21963 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))))))
11611, 12, 33, 114, 7, 22, 13psrmulfval 21963 . 2 (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗)))))))
117113, 115, 1163eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  ccom 5689  Fun wfun 6555  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  cc 11153  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   mPwSer cmps 21924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-psr 21929
This theorem is referenced by:  psrcrng  21992
  Copyright terms: Public domain W3C validator