Theorem psrcom 22275

Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrcom.c	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
psrcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		psrass.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbaglefi 22234	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
10	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
11		psrring.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12		psrass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11, 1, 7, 12, 13	psrelbas 22243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16		breq1 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑘 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
17	16	elrab 3644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
18	17	bilani 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
19	18	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
20	15, 19	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
21		psrass.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	11, 1, 7, 12, 21	psrelbas 22243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
24		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
25	7	psrbagf 22226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
26	19, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
27	18	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∘r ≤ 𝑥)
28	7	psrbagcon 22233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
30	29	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷)
31	23, 30	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
33	1, 32	ringcl 20477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
34	10, 20, 31, 33	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
35	34	fmpttd 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}⟶(Base‘𝑅))
36		ovex 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
37	7, 36	rabex2 5301	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
39		rabexg 5298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
41	40	mptexd 7230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V)
42		funmpt 6578	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
44		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
45		suppssdm 8194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
46		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
47	46	dmmptss 6242	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
48	45, 47	sstri 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
50		suppssfifsupp 9372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
51	41, 43, 44, 9, 49, 50	syl32anc 1405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
52		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
53	7, 52	psrbagconf1o 22237	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}–1-1-onto→{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
54	53	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}–1-1-onto→{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
55	1, 2, 6, 9, 35, 51, 54	gsumf1o 20130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
56		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
57		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
58	7, 52	psrbagconcl 22235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
59	56, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
60		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))
61		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
62		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))
63		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑥 ∘f − 𝑘) = (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))
64	63	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))
65	62, 64	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
66	59, 60, 61, 65	fmptco 7130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))))
67	7	psrbagf 22226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
70	69	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
71		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = 𝑗 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
72	71	elrab 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
73	72	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
74	73	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
75	7	psrbagf 22226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
77	76	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
78		nn0cn 12616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑧) ∈ ℂ)
79		nn0cn 12616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
80		nncan 11587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
81	78, 79, 80	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
82	70, 77, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
83	82	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
84		psrring.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
85	84	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
86		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V)
88	69	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
89	76	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
90	85, 70, 77, 88, 89	offval2 7713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
91	85, 70, 87, 88, 90	offval2 7713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))))
92	83, 91, 89	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = 𝑗)
93	92	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑌‘𝑗))
94	93	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
95		psrcom.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
96	95	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
97	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
98	73	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∘r ≤ 𝑥)
99	7	psrbagcon 22233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
100	56, 76, 98, 99	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
101	100	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷)
102	97, 101	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
103	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
104	103, 74	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
105	1, 32	crngcom 20478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
106	96, 102, 104, 105	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
107	94, 106	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
108	107	mpteq2dva 5197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
109	66, 108	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
110	109	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
111	55, 110	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
112	111	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
113		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
114	11, 12, 32, 113, 7, 13, 21	psrmulfval 22251	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
115	11, 12, 32, 113, 7, 21, 13	psrmulfval 22251	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
116	112, 114, 115	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ∘_r cofr 7692   supp csupp 8177   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  ℂcc 11198   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  CMndccmn 19994  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460   mPwSer cmps 22212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-psr 22217

This theorem is used by:  psrcrng  22279