MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrcom 22005
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrcom (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2734 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrring.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 20295 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrass.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87psrbaglefi 21963 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ Fin)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ Fin)
103ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
11 psrring.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 psrass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
13 psrass.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1411, 1, 7, 12, 13psrelbas 21971 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
17 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔r𝑥𝑘r𝑥))
1817elrab 3694 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘r𝑥))
1916, 18sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘r𝑥))
2019simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑘𝐷)
2115, 20ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
22 psrass.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
2311, 1, 7, 12, 22psrelbas 21971 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2423ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑥𝐷)
267psrbagf 21955 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
2819simprd 495 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑘r𝑥)
297psrbagcon 21962 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘r𝑥) → ((𝑥f𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥f𝑘) ∘r𝑥))
3025, 27, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑥f𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥f𝑘) ∘r𝑥))
3130simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑘) ∈ 𝐷)
3224, 31ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑌‘(𝑥f𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2734 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
341, 33ringcl 20267 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥f𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
3510, 21, 32, 34syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
3635fmpttd 7134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))):{𝑔𝐷𝑔r𝑥}⟶(Base‘𝑅))
37 ovex 7463 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
387, 37rabex2 5346 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ V)
40 rabexg 5342 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V → {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ V)
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ V)
4241mptexd 7243 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∈ V)
43 funmpt 6605 . . . . . . 7 Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))))
45 fvexd 6921 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
46 suppssdm 8200 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))
47 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))
4847dmmptss 6262 . . . . . . . 8 dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}
4946, 48sstri 4004 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
51 suppssfifsupp 9417 . . . . . 6 ((((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔𝐷𝑔r𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
5242, 44, 45, 9, 50, 51syl32anc 1377 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
53 eqid 2734 . . . . . . 7 {𝑔𝐷𝑔r𝑥} = {𝑔𝐷𝑔r𝑥}
547, 53psrbagconf1o 21966 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)):{𝑔𝐷𝑔r𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔r𝑥})
5554adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)):{𝑔𝐷𝑔r𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔r𝑥})
561, 2, 6, 9, 36, 52, 55gsumf1o 19948 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)))))
57 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑥𝐷)
58 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
597, 53psrbagconcl 21964 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥})
61 eqidd 2735 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)))
62 eqidd 2735 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))))
63 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥f𝑗) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥f𝑗)))
64 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥f𝑗) → (𝑥f𝑘) = (𝑥f − (𝑥f𝑗)))
6564fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥f𝑗) → (𝑌‘(𝑥f𝑘)) = (𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗))))
6663, 65oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥f𝑗) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗)))))
6760, 61, 62, 66fmptco 7148 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗))))))
687psrbagf 21955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0)
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7170ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
72 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔r𝑥𝑗r𝑥))
7372elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗r𝑥))
7458, 73sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗r𝑥))
7574simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗𝐷)
767psrbagf 21955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
7877ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
79 nn0cn 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
80 nn0cn 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
81 nncan 11535 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8279, 80, 81syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8371, 78, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8483mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
85 psrring.i . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼𝑉)
8685ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝐼𝑉)
87 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
8970feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
9077feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
9186, 71, 78, 89, 90offval2 7716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
9286, 71, 88, 89, 91offval2 7716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f − (𝑥f𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))))
9384, 92, 903eqtr4d 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f − (𝑥f𝑗)) = 𝑗)
9493fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗))) = (𝑌𝑗))
9594oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
96 psrcom.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
9796ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
9814ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
9974simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑗r𝑥)
1007psrbagcon 21962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗r𝑥) → ((𝑥f𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥f𝑗) ∘r𝑥))
10157, 77, 99, 100syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑥f𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥f𝑗) ∘r𝑥))
102101simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑥f𝑗) ∈ 𝐷)
10398, 102ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑋‘(𝑥f𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
10423ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
105104, 75ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
1061, 33crngcom 20268 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥f𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))
10797, 103, 105, 106syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))
10895, 107eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗)))) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))
109108mpteq2dva 5247 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥f𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f − (𝑥f𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗)))))
11067, 109eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗)))))
111110oveq2d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ (𝑥f𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))))
11256, 111eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗))))))
113112mpteq2dva 5247 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗)))))))
114 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
11511, 12, 33, 114, 7, 13, 22psrmulfval 21980 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥f𝑘)))))))
11611, 12, 33, 114, 7, 22, 13psrmulfval 21980 . 2 (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥f𝑗)))))))
117113, 115, 1163eqtr4d 2784 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  dom cdm 5688  cima 5691  ccom 5692  Fun wfun 6556  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  r cofr 7695   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983   finSupp cfsupp 9398  cc 11150  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19812  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251   mPwSer cmps 21941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-psr 21946
This theorem is referenced by:  psrcrng  22009
  Copyright terms: Public domain W3C validator