Theorem psrcom 21529

Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrcom.c	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
psrcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		psrass.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbaglefi 21485	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
9	8	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
10	3	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
11		psrring.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12		psrass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11, 1, 7, 12, 13	psrelbas 21498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
17		breq1 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑘 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
18	17	elrab 3684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
19	16, 18	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
20	19	simpld 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
21	15, 20	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
22		psrass.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	11, 1, 7, 12, 22	psrelbas 21498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
24	23	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
26	7	psrbagf 21471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
28	19	simprd 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∘r ≤ 𝑥)
29	7	psrbagcon 21483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
30	25, 27, 28, 29	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
31	30	simpld 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷)
32	24, 31	ffvelcdmd 7088	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	ringcl 20073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
35	10, 21, 32, 34	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	fmpttd 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}⟶(Base‘𝑅))
37		ovex 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
38	7, 37	rabex2 5335	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
40		rabexg 5332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
42	41	mptexd 7226	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V)
43		funmpt 6587	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
45		fvexd 6907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
46		suppssdm 8162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
47		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
48	47	dmmptss 6241	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
49	46, 48	sstri 3992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
51		suppssfifsupp 9378	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
52	42, 44, 45, 9, 50, 51	syl32anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
53		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
54	7, 53	psrbagconf1o 21489	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}–1-1-onto→{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
55	54	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}–1-1-onto→{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
56	1, 2, 6, 9, 36, 52, 55	gsumf1o 19784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
57		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
58		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
59	7, 53	psrbagconcl 21487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
60	57, 58, 59	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
61		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))
62		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
63		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))
64		oveq2 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑥 ∘f − 𝑘) = (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))
65	64	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))
66	63, 65	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
67	60, 61, 62, 66	fmptco 7127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))))
68	7	psrbagf 21471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
69	68	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
70	69	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
71	70	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
72		breq1 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = 𝑗 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
73	72	elrab 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
74	58, 73	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
75	74	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
76	7	psrbagf 21471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
78	77	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
79		nn0cn 12482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑧) ∈ ℂ)
80		nn0cn 12482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
81		nncan 11489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
82	79, 80, 81	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
83	71, 78, 82	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
84	83	mpteq2dva 5249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
85		psrring.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
86	85	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
87		ovex 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V)
89	70	feqmptd 6961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
90	77	feqmptd 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
91	86, 71, 78, 89, 90	offval2 7690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
92	86, 71, 88, 89, 91	offval2 7690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))))
93	84, 92, 90	3eqtr4d 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = 𝑗)
94	93	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑌‘𝑗))
95	94	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
96		psrcom.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
97	96	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
98	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
99	74	simprd 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∘r ≤ 𝑥)
100	7	psrbagcon 21483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
101	57, 77, 99, 100	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
102	101	simpld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷)
103	98, 102	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
104	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
105	104, 75	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
106	1, 33	crngcom 20074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
107	97, 103, 105, 106	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
108	95, 107	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
109	108	mpteq2dva 5249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
110	67, 109	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
111	110	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
112	56, 111	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
113	112	mpteq2dva 5249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
114		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
115	11, 12, 33, 114, 7, 13, 22	psrmulfval 21504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
116	11, 12, 33, 114, 7, 22, 13	psrmulfval 21504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
117	113, 115, 116	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ^◡ccnv 5676  dom cdm 5677   “ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  ⟶wf 6540  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668   ∘_r cofr 7669   supp csupp 8146   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  ℂcc 11108   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144  ._rcmulr 17198  0_gc0g 17385   Σ_g cgsu 17386  CMndccmn 19648  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   mPwSer cmps 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-psr 21462

This theorem is referenced by:  psrcrng  21533