Theorem psrcom 22302

Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrcom.c	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
psrcom	⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		psrring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		psrass.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbaglefi 22261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin)
10	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
11		psrring.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12		psrass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11, 1, 7, 12, 13	psrelbas 22270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16		breq1 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑘 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
17	16	elrab 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
18	17	bilani 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥))
19	18	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
20	15, 19	ffvelcdmd 7106	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
21		psrass.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	11, 1, 7, 12, 21	psrelbas 22270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
24		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
25	7	psrbagf 22253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
26	19, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
27	18	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑘 ∘r ≤ 𝑥)
28	7	psrbagcon 22260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑘:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
29	24, 26, 27, 28	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑘) ∘r ≤ 𝑥))
30	29	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑘) ∈ 𝐷)
31	23, 30	ffvelcdmd 7106	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
33	1, 32	ringcl 20504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
34	10, 20, 31, 33	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
35	34	fmpttd 7136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}⟶(Base‘𝑅))
36		ovex 7473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
37	7, 36	rabex2 5306	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
39		rabexg 5303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ V → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ V)
41	40	mptexd 7250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V)
42		funmpt 6595	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
44		fvexd 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
45		suppssdm 8219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
46		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))
47	46	dmmptss 6254	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
48	45, 47	sstri 3922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
50		suppssfifsupp 9396	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
51	41, 43, 44, 9, 49, 50	syl32anc 1406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) finSupp (0g‘𝑅))
52		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}
53	7, 52	psrbagconf1o 22264	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}⟶1-1onto{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
54	53	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}⟶1-1onto{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
55	1, 2, 6, 9, 35, 51, 54	gsumf1o 20157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
56		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
57		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
58	7, 52	psrbagconcl 22262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
59	56, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥})
60		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))
61		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))
62		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑋‘𝑘) = (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))
63		oveq2 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑥 ∘f − 𝑘) = (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))
64	63	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))
65	62, 64	oveq12d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑥 ∘f − 𝑗) → ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))))
66	59, 60, 61, 65	fmptco 7151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))))
67	7	psrbagf 22253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
70	69	ffvelcdmda 7105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0)
71		breq1 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = 𝑗 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
72	71	elrab 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
73	72	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥))
74	73	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∈ 𝐷)
75	7	psrbagf 22253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
77	76	ffvelcdmda 7105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0)
78		nn0cn 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑧) ∈ ℂ)
79		nn0cn 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ)
80		nncan 11611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
81	78, 79, 80	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥‘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗‘𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
82	70, 77, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))) = (𝑗‘𝑧))
83	82	mpteq2dva 5201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
84		psrring.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
85	84	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
86		ovex 7473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)) ∈ V)
88	69	feqmptd 6973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑥 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑧)))
89	76	feqmptd 6973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗‘𝑧)))
90	85, 70, 77, 88, 89	offval2 7734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧))))
91	85, 70, 87, 88, 90	offval2 7734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑧) − ((𝑥‘𝑧) − (𝑗‘𝑧)))))
92	83, 91, 89	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)) = 𝑗)
93	92	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑌‘𝑗))
94	93	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
95		psrcom.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
96	95	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
97	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
98	73	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑗 ∘r ≤ 𝑥)
99	7	psrbagcon 22260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑗 ∘r ≤ 𝑥) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
100	56, 76, 98, 99	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥 ∘f − 𝑗) ∘r ≤ 𝑥))
101	100	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑥 ∘f − 𝑗) ∈ 𝐷)
102	97, 101	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
103	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
104	103, 74	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
105	1, 32	crngcom 20505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
106	96, 102, 104, 105	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
107	94, 106	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))
108	107	mpteq2dva 5201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − (𝑥 ∘f − 𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
109	66, 108	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))
110	109	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ (𝑥 ∘f − 𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
111	55, 110	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗))))))
112	111	mpteq2dva 5201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
113		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
114	11, 12, 32, 113, 7, 13, 21	psrmulfval 22278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑋‘𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
115	11, 12, 32, 113, 7, 21, 13	psrmulfval 22278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝑌‘𝑗)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑥 ∘f − 𝑗)))))))
116	112, 114, 115	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∘_f cof 7712   ∘_r cofr 7713   supp csupp 8201   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998   finSupp cfsupp 9378  ℂcc 11222   ≤ cle 11368   − cmin 11565  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636   Σ_g cgsu 17637  CMndccmn 20021  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487   mPwSer cmps 22239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-tset 17473  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-psr 22244

This theorem is used by:  psrcrng  22306