Theorem isxms2 24352

Description: Express the predicate "⟨𝑋, 𝐷⟩ is an extended metric space" with underlying set 𝑋 and distance function 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
isms.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐾)
isms.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isxms2	⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem isxms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isms.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
2		isms.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐾)
3		isms.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	1, 2, 3	isxms 24351	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
5	2, 1	istps 22837	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		df-mopn 21275	. . . . . . . . . 10 ⊢ MetOpen = (𝑥 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
7	6	dmmptss 6194	. . . . . . . . 9 ⊢ dom MetOpen ⊆ ∪ ran ∞Met
8		toponmax 22829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
10		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
11	9, 10	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 ∈ (MetOpen‘𝐷))
12		elfvdm 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (MetOpen‘𝐷) → 𝐷 ∈ dom MetOpen)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ dom MetOpen)
14	7, 13	sselid 3935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
15		xmetunirn 24241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
16	14, 15	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
17		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
18	17	mopntopon 24343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
20	10, 19	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷))
21		toponuni 22817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = ∪ 𝐽)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → dom dom 𝐷 = ∪ 𝐽)
23		toponuni 22817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
25	22, 24	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → dom dom 𝐷 = 𝑋)
26	25	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (∞Met‘dom dom 𝐷) = (∞Met‘𝑋))
27	16, 26	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 = (MetOpen‘𝐷) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
28	27	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
29	17	mopntopon 24343	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘𝑋))
30		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (MetOpen‘𝐷) ∈ (TopOn‘𝑋)))
31	29, 30	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)))
32	28, 31	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
33	5, 32	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐽 = (MetOpen‘𝐷) → (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
34	33	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ TopSp ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
35	4, 34	bitri 275	1 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4861   × cxp 5621  dom cdm 5623  ran crn 5624   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  distcds 17188  TopOpenctopn 17343  topGenctg 17359  ∞Metcxmet 21264  ballcbl 21266  MetOpencmopn 21269  TopOnctopon 22813  TopSpctps 22835  ∞MetSpcxms 24221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-xms 24224

This theorem is referenced by:  isms2  24354  xmsxmet  24360  setsxms  24383  tmsxms  24390  imasf1oxms  24393  ressxms  24429  prdsxms  24434