MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfres 9621
Description: The CNF function respects extensions of the domain to a larger ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
cantnfs.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
cantnfs.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
cantnfrescl.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ On)
cantnfrescl.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐ท)
cantnfrescl.x ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐ท โˆ– ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ = โˆ…)
cantnfrescl.a (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
cantnfrescl.t ๐‘‡ = dom (๐ด CNF ๐ท)
cantnfres.m (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
cantnfres (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)) = ((๐ด CNF ๐ท)โ€˜(๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐ท,๐‘›   ๐ด,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘›)   ๐‘‡(๐‘›)   ๐‘‹(๐‘›)

Proof of Theorem cantnfres
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfrescl.d . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ On)
2 cantnfrescl.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† ๐ท)
3 cantnfrescl.x . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (๐ท โˆ– ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ = โˆ…)
41, 2, 3extmptsuppeq 8123 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…) = ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))
5 oieq2 9457 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…) = ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…) โ†’ OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)))
76fveq1d 6848 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜) = (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))
873ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜) = (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))
98oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) = (๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)))
10 suppssdm 8112 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…) โŠ† dom (๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) = (๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)
1211dmmptss 6197 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) โŠ† ๐ต
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) โŠ† ๐ต)
1410, 13sstrid 3959 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…) โŠ† ๐ต)
15143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…) โŠ† ๐ต)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))
1716oif 9474 . . . . . . . . . . . . 13 OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)):dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โŸถ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)
1817ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โ†’ (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜) โˆˆ ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))
19183ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜) โˆˆ ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))
2015, 19sseldd 3949 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
2120fvresd 6866 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ (((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) โ†พ ๐ต)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) = ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)))
2223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ ๐ต โŠ† ๐ท)
2322resmptd 5998 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) โ†พ ๐ต) = (๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹))
2423fveq1d 6848 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ (((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) โ†พ ๐ต)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) = ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)))
258fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) = ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)))
2621, 24, 253eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) = ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)))
279, 26oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) = ((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))))
2827oveq1d 7376 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง ๐‘ง โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง) = (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง))
2928mpoeq3dva 7438 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
306dmeqd 5865 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) = dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)))
31 eqid 2733 . . . . . 6 On = On
32 mpoeq12 7434 . . . . . 6 ((dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) = dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) โˆง On = On) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
3330, 31, 32sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
3429, 33eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)))
35 eqid 2733 . . . 4 โˆ… = โˆ…
36 seqomeq12 8404 . . . 4 (((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) = (๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)) โˆง โˆ… = โˆ…) โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
3734, 35, 36sylancl 587 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…))
3837, 30fveq12d 6853 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))))
39 cantnfs.s . . 3 ๐‘† = dom (๐ด CNF ๐ต)
40 cantnfs.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
41 cantnfs.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
42 cantnfres.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) โˆˆ ๐‘†)
43 eqid 2733 . . 3 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
4439, 40, 41, 16, 42, 43cantnfval2 9613 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))))
45 cantnfrescl.t . . 3 ๐‘‡ = dom (๐ด CNF ๐ท)
46 eqid 2733 . . 3 OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))
47 cantnfrescl.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
4839, 40, 41, 1, 2, 3, 47, 45cantnfrescl 9620 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) โˆˆ ๐‘‡))
4942, 48mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) โˆˆ ๐‘‡)
50 eqid 2733 . . 3 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
5145, 40, 1, 46, 49, 50cantnfval2 9613 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ท)โ€˜(๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)) = (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…)), ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (((๐ด โ†‘o (OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)โ€˜(OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹) supp โˆ…))))
5238, 44, 513eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘› โˆˆ ๐ต โ†ฆ ๐‘‹)) = ((๐ด CNF ๐ท)โ€˜(๐‘› โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286   โ†ฆ cmpt 5192   E cep 5540  dom cdm 5637   โ†พ cres 5639  Oncon0 6321  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363   supp csupp 8096  seqฯ‰cseqom 8397   +o coa 8413   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415  OrdIsocoi 9453   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  cantnf2  41707
  Copyright terms: Public domain W3C validator