Theorem mptct 9695

Description: A countable mapping set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mptct	⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6173	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		ctex 8256	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	dmmptss 5885	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
5		ssdomg 8287	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴))
6	2, 4, 5	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴)
7		domtr 8294	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
8	6, 7	mpancom 678	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
9		funfn 6165	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
10		fnct 9694	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
11	9, 10	sylanb 576	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)
12	1, 8, 11	sylancr 581	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  dom cdm 5355  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  ωcom 7343   ≼ cdom 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-ac2 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-ac 9272

This theorem is referenced by:  sigapildsys  30823  carsgclctunlem2  30979  pmeasadd  30985  smfpimcc  41941