Theorem dchrrcl 27193

Description: Reverse closure for a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrrcl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrrcl.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem dchrrcl

Dummy variables 𝑛 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dchr 27186	. . 3 ⊢ DChr = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(ℤ/nℤ‘𝑛) / 𝑧⦌⦋{𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑧) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑧) ∖ (Unit‘𝑧)) × {0}) ⊆ 𝑥} / 𝑏⦌{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩})
2	1	dmmptss 6250	. 2 ⊢ dom DChr ⊆ ℕ
3		n0i 4337	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐷 = ∅)
4		dchrrcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		ndmfv 6937	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → (DChr‘𝑁) = ∅)
6	4, 5	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐺 = ∅)
7		fveq2 6902	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
8		dchrrcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
9		base0 17192	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2793	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → 𝐷 = ∅)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐷 = ∅)
12	3, 11	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ dom DChr)
13	2, 12	sselid 3980	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  ⦋csb 3894   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  {csn 4632  {cpr 4634  ⟨cop 4638   × cxp 5680  dom cdm 5682   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7689  0cc0 11146   · cmul 11151  ℕcn 12250  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240   MndHom cmhm 18745  mulGrpcmgp 20081  Unitcui 20301  ℂ_fldccnfld 21286  ℤ/nℤczn 21435  DChrcdchr 27185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-dchr 27186

This theorem is referenced by:  dchrmhm  27194  dchrf  27195  dchrelbas4  27196  dchrzrh1  27197  dchrzrhcl  27198  dchrzrhmul  27199  dchrmul  27201  dchrmulcl  27202  dchrn0  27203  dchrmullid  27205  dchrinvcl  27206  dchrghm  27209  dchrabs  27213  dchrinv  27214  dchrsum2  27221  dchrsum  27222  dchr2sum  27226