MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrrcl 26604
Description: Reverse closure for a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrrcl.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrrcl.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dchrrcl (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)

Proof of Theorem dchrrcl
Dummy variables 𝑛 𝑏 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dchr 26597 . . 3 DChr = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⦋(β„€/nβ„€β€˜π‘›) / π‘§β¦Œβ¦‹{π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘§) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ (((Baseβ€˜π‘§) βˆ– (Unitβ€˜π‘§)) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} / π‘β¦Œ{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ (𝑏 Γ— 𝑏))⟩})
21dmmptss 6198 . 2 dom DChr βŠ† β„•
3 n0i 4298 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ Β¬ 𝐷 = βˆ…)
4 dchrrcl.g . . . . 5 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 ndmfv 6882 . . . . 5 (Β¬ 𝑁 ∈ dom DChr β†’ (DChrβ€˜π‘) = βˆ…)
64, 5eqtrid 2789 . . . 4 (Β¬ 𝑁 ∈ dom DChr β†’ 𝐺 = βˆ…)
7 fveq2 6847 . . . . 5 (𝐺 = βˆ… β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜βˆ…))
8 dchrrcl.b . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
9 base0 17095 . . . . 5 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
107, 8, 93eqtr4g 2802 . . . 4 (𝐺 = βˆ… β†’ 𝐷 = βˆ…)
116, 10syl 17 . . 3 (Β¬ 𝑁 ∈ dom DChr β†’ 𝐷 = βˆ…)
123, 11nsyl2 141 . 2 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ dom DChr)
132, 12sselid 3947 1 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  β¦‹csb 3860   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593  βŸ¨cop 4597   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  0cc0 11058   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  +gcplusg 17140   MndHom cmhm 18606  mulGrpcmgp 19903  Unitcui 20075  β„‚fldccnfld 20812  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-1cn 11116  ax-addcl 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrmhm  26605  dchrf  26606  dchrelbas4  26607  dchrzrh1  26608  dchrzrhcl  26609  dchrzrhmul  26610  dchrmul  26612  dchrmulcl  26613  dchrn0  26614  dchrmulid2  26616  dchrinvcl  26617  dchrghm  26620  dchrabs  26624  dchrinv  26625  dchrsum2  26632  dchrsum  26633  dchr2sum  26637
  Copyright terms: Public domain W3C validator