MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrrcl 27284
Description: Reverse closure for a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrrcl.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrrcl.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrrcl (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem dchrrcl
Dummy variables 𝑛 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dchr 27277 . . 3 DChr = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℤ/nℤ‘𝑛) / 𝑧{𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑧) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑧) ∖ (Unit‘𝑧)) × {0}) ⊆ 𝑥} / 𝑏{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩})
21dmmptss 6261 . 2 dom DChr ⊆ ℕ
3 n0i 4340 . . 3 (𝑋𝐷 → ¬ 𝐷 = ∅)
4 dchrrcl.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 ndmfv 6941 . . . . 5 𝑁 ∈ dom DChr → (DChr‘𝑁) = ∅)
64, 5eqtrid 2789 . . . 4 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐺 = ∅)
7 fveq2 6906 . . . . 5 (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
8 dchrrcl.b . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
9 base0 17252 . . . . 5 ∅ = (Base‘∅)
107, 8, 93eqtr4g 2802 . . . 4 (𝐺 = ∅ → 𝐷 = ∅)
116, 10syl 17 . . 3 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐷 = ∅)
123, 11nsyl2 141 . 2 (𝑋𝐷𝑁 ∈ dom DChr)
132, 12sselid 3981 1 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  csb 3899  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628  cop 4632   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  0cc0 11155   · cmul 11160  cn 12266  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   MndHom cmhm 18794  mulGrpcmgp 20137  Unitcui 20355  fldccnfld 21364  ℤ/nczn 21513  DChrcdchr 27276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-dchr 27277
This theorem is referenced by:  dchrmhm  27285  dchrf  27286  dchrelbas4  27287  dchrzrh1  27288  dchrzrhcl  27289  dchrzrhmul  27290  dchrmul  27292  dchrmulcl  27293  dchrn0  27294  dchrmullid  27296  dchrinvcl  27297  dchrghm  27300  dchrabs  27304  dchrinv  27305  dchrsum2  27312  dchrsum  27313  dchr2sum  27317
  Copyright terms: Public domain W3C validator