Theorem dchrrcl 27123

Description: Reverse closure for a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrrcl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrrcl.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem dchrrcl

Dummy variables 𝑛 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dchr 27116	. . 3 ⊢ DChr = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(ℤ/nℤ‘𝑛) / 𝑧⦌⦋{𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑧) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑧) ∖ (Unit‘𝑧)) × {0}) ⊆ 𝑥} / 𝑏⦌{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩})
2	1	dmmptss 6233	. 2 ⊢ dom DChr ⊆ ℕ
3		n0i 4328	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐷 = ∅)
4		dchrrcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		ndmfv 6919	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → (DChr‘𝑁) = ∅)
6	4, 5	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐺 = ∅)
7		fveq2 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
8		dchrrcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
9		base0 17155	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2791	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → 𝐷 = ∅)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐷 = ∅)
12	3, 11	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ dom DChr)
13	2, 12	sselid 3975	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  ⦋csb 3888   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625  ⟨cop 4629   × cxp 5667  dom cdm 5669   ↾ cres 5671  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘_f cof 7664  0cc0 11109   · cmul 11114  ℕcn 12213  ndxcnx 17132  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203   MndHom cmhm 18708  mulGrpcmgp 20036  Unitcui 20254  ℂ_fldccnfld 21235  ℤ/nℤczn 21384  DChrcdchr 27115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-nn 12214  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-dchr 27116

This theorem is referenced by:  dchrmhm  27124  dchrf  27125  dchrelbas4  27126  dchrzrh1  27127  dchrzrhcl  27128  dchrzrhmul  27129  dchrmul  27131  dchrmulcl  27132  dchrn0  27133  dchrmullid  27135  dchrinvcl  27136  dchrghm  27139  dchrabs  27143  dchrinv  27144  dchrsum2  27151  dchrsum  27152  dchr2sum  27156