Theorem dchrrcl 27474

Description: Reverse closure for a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrrcl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrrcl.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem dchrrcl

Dummy variables 𝑛 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dchr 27467	. . 3 ⊢ DChr = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(ℤ/nℤ‘𝑛) / 𝑧⦌⦋{𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑧) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑧) ∖ (Unit‘𝑧)) × {0}) ⊆ 𝑥} / 𝑏⦌{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩})
2	1	dmmptss 6241	. 2 ⊢ dom DChr ⊆ ℕ
3		n0i 4289	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐷 = ∅)
4		dchrrcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		ndmfv 6914	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → (DChr‘𝑁) = ∅)
6	4, 5	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐺 = ∅)
7		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
8		dchrrcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
9		base0 17310	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2822	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → 𝐷 = ∅)
11	6, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐷 = ∅)
12	3, 11	nsyl2 142	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ dom DChr)
13	2, 12	sselid 3932	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  ⦋csb 3850   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  {cpr 4589  ⟨cop 4593   × cxp 5657  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  0cc0 11127   · cmul 11132  ℕcn 12260  ndxcnx 17289  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346   MndHom cmhm 18890  mulGrpcmgp 20274  Unitcui 20497  ℂ_fldccnfld 21586  ℤ/nℤczn 21716  DChrcdchr 27466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addcl 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12261  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-dchr 27467

This theorem is used by:  dchrmhm  27475  dchrf  27476  dchrelbas4  27477  dchrzrh1  27478  dchrzrhcl  27479  dchrzrhmul  27480  dchrmul  27482  dchrmulcl  27483  dchrn0  27484  dchrmullid  27486  dchrinvcl  27487  dchrghm  27490  dchrabs  27494  dchrinv  27495  dchrsum2  27502  dchrsum  27503  dchr2sum  27507