Theorem dchrrcl 27597

Description: Reverse closure for a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrrcl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrrcl.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrrcl	⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem dchrrcl

Dummy variables 𝑛 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dchr 27590	. . 3 ⊢ DChr = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(ℤ/nℤ‘𝑛) / 𝑧⦌⦋{𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑧) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ (((Base‘𝑧) ∖ (Unit‘𝑧)) × {0}) ⊆ 𝑥} / 𝑏⦌{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ (𝑏 × 𝑏))⟩})
2	1	dmmptss 6255	. 2 ⊢ dom DChr ⊆ ℕ
3		n0i 4289	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐷 = ∅)
4		dchrrcl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		ndmfv 6940	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → (DChr‘𝑁) = ∅)
6	4, 5	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐺 = ∅)
7		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
8		dchrrcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
9		base0 17421	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2823	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → 𝐷 = ∅)
11	6, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom DChr → 𝐷 = ∅)
12	3, 11	nsyl2 142	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ dom DChr)
13	2, 12	sselid 3911	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838   × cxp 5653  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715  0cc0 11227   · cmul 11232  ℕcn 12362  ndxcnx 17400  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457   MndHom cmhm 19005  mulGrpcmgp 20390  Unitcui 20615  ℂ_fldccnfld 21708  ℤ/nℤczn 21838  DChrcdchr 27589

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-1cn 11285  ax-addcl 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-nn 12363  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-dchr 27590

This theorem is used by:  dchrmhm  27598  dchrf  27599  dchrelbas4  27600  dchrzrh1  27601  dchrzrhcl  27602  dchrzrhmul  27603  dchrmul  27605  dchrmulcl  27606  dchrn0  27607  dchrmullid  27609  dchrinvcl  27610  dchrghm  27613  dchrabs  27617  dchrinv  27618  dchrsum2  27625  dchrsum  27626  dchr2sum  27630