MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass1 19728
Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrass1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) = (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass1
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2799 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psrass.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psrass.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrass.t . . . . 5 × = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrass.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrass.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 19711 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
10 psrass.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 19711 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) ∈ 𝐵)
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 19702 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1312ffnd 6257 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) Fn 𝐷)
141, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 19711 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
151, 4, 5, 6, 7, 14psrmulcl 19711 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)) ∈ 𝐵)
161, 2, 3, 4, 15psrelbas 19702 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6257 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)) Fn 𝐷)
18 eqid 2799 . . . . 5 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} = {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
19 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
2019adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐼𝑉)
21 simpr 478 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
22 ringcmn 18897 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
236, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2423adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
256ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
2625adantr 473 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑅 ∈ Ring)
271, 2, 3, 4, 7psrelbas 19702 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2827ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
29 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
30 breq1 4846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔𝑟𝑥𝑗𝑟𝑥))
3130elrab 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
3229, 31sylib 210 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
3332simpld 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝐷)
3428, 33ffvelrnd 6586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
3534adantr 473 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
361, 2, 3, 4, 8psrelbas 19702 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3736ad3antrrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})
39 breq1 4846 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑛 → (𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗) ↔ 𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4039elrab 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↔ (𝑛𝐷𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4138, 40sylib 210 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑛𝐷𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4241simpld 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛𝐷)
4337, 42ffvelrnd 6586 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑌𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
441, 2, 3, 4, 10psrelbas 19702 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4544ad3antrrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4619ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
4746adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝐼𝑉)
48 simplr 786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
493psrbagf 19688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑗𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
5046, 33, 49syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
5132simprd 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝑟𝑥)
523psrbagcon 19694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
5346, 48, 50, 51, 52syl13anc 1492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
5453simpld 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
5554adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
563psrbagf 19688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑛𝐷) → 𝑛:𝐼⟶ℕ0)
5747, 42, 56syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛:𝐼⟶ℕ0)
5841simprd 490 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗))
593psrbagcon 19694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷𝑛:𝐼⟶ℕ0𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗))) → (((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
6047, 55, 57, 58, 59syl13anc 1492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
6160simpld 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷)
6245, 61ffvelrnd 6586 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) ∈ (Base‘𝑅))
63 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
642, 63ringcl 18877 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
6526, 43, 62, 64syl3anc 1491 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
662, 63ringcl 18877 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
6726, 35, 65, 66syl3anc 1491 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
6867anasss 459 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
69 fveq2 6411 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → (𝑌𝑛) = (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))
70 oveq2 6886 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) = ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))
7170fveq2d 6415 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) = (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))
7269, 71oveq12d 6896 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))
7372oveq2d 6894 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))
743, 18, 20, 21, 2, 24, 68, 73psrass1lem 19700 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))))
757ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋𝐵)
768ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌𝐵)
77 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
78 breq1 4846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔𝑟𝑥𝑘𝑟𝑥))
7978elrab 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
8077, 79sylib 210 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
8180simpld 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝐷)
821, 4, 63, 5, 3, 75, 76, 81psrmulval 19709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋 × 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))))))
8382oveq1d 6893 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
84 eqid 2799 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
85 eqid 2799 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
866ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
8719ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
883psrbaglefi 19695 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝐷𝑟𝑘} ∈ Fin)
8987, 81, 88syl2anc 580 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → {𝐷𝑟𝑘} ∈ Fin)
9044ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
91 simplr 786 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
923psrbagf 19688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
9387, 81, 92syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
9480simprd 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝑟𝑥)
953psrbagcon 19694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
9687, 91, 93, 94, 95syl13anc 1492 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
9796simpld 489 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷)
9890, 97ffvelrnd 6586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
9986adantr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
10027ad3antrrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
101 simpr 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘})
102 breq1 4846 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑗 → (𝑟𝑘𝑗𝑟𝑘))
103102elrab 3556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑘))
104101, 103sylib 210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑘))
105104simpld 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗𝐷)
106100, 105ffvelrnd 6586 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
10736ad3antrrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
10887adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
10981adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
110108, 105, 49syl2anc 580 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
111104simprd 490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗𝑟𝑘)
1123psrbagcon 19694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑘𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑘)) → ((𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘𝑓𝑗) ∘𝑟𝑘))
113108, 109, 110, 111, 112syl13anc 1492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘𝑓𝑗) ∘𝑟𝑘))
114113simpld 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
115107, 114ffvelrnd 6586 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
1162, 63ringcl 18877 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
11799, 106, 115, 116syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
118 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))))
119 fvex 6424 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (0g𝑅) ∈ V)
121118, 89, 117, 120fsuppmptdm 8528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))) finSupp (0g𝑅))
1222, 84, 85, 63, 86, 89, 98, 117, 121gsummulc1 18922 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
12398adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
1242, 63ringass 18880 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
12599, 106, 115, 123, 124syl13anc 1492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
1263psrbagf 19688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
12719, 126sylan 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
128127ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
129128ffvelrnda 6585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
13093adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
131130ffvelrnda 6585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑘𝑧) ∈ ℕ0)
132110ffvelrnda 6585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
133 nn0cn 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
134 nn0cn 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑧) ∈ ℂ)
135 nn0cn 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
136 nnncan2 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
137133, 134, 135, 136syl3an 1200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
138129, 131, 132, 137syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
139138mpteq2dva 4937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧))))
140 ovexd 6912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
141 ovexd 6912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
142128feqmptd 6474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
143110feqmptd 6474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
144108, 129, 132, 142, 143offval2 7148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
145130feqmptd 6474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑘𝑧)))
146108, 131, 132, 145, 143offval2 7148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))))
147108, 140, 141, 144, 146offval2 7148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)))))
148108, 129, 131, 142, 145offval2 7148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧))))
149139, 147, 1483eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)) = (𝑥𝑓𝑘))
150149fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))) = (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))
151150oveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
152151oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
153125, 152eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))
154153mpteq2dva 4937 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))))
155154oveq2d 6894 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))
15683, 122, 1553eqtr2d 2839 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))
157156mpteq2dva 4937 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))))))
158157oveq2d 6894 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))))
1598ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌𝐵)
16010ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑍𝐵)
1611, 4, 63, 5, 3, 159, 160, 54psrmulval 19709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))))
162161oveq2d 6894 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
1633psrbaglefi 19695 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷) → {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin)
16446, 54, 163syl2anc 580 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin)
165 ovex 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1663, 165rab2ex 5010 . . . . . . . . . . . 12 {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ V
167166mptex 6715 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V
168 funmpt 6139 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
169167, 168, 1193pm3.2i 1439 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V)
170169a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V))
171 suppssdm 7545 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
172 eqid 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) = (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
173172dmmptss 5850 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}
174171, 173sstri 3807 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}
175174a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})
176 suppssfifsupp 8532 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})) → (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) finSupp (0g𝑅))
177170, 164, 175, 176syl12anc 866 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) finSupp (0g𝑅))
1782, 84, 85, 63, 25, 164, 34, 65, 177gsummulc2 18923 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
179162, 178eqtr4d 2836 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
180179mpteq2dva 4937 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))))))
181180oveq2d 6894 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))))
18274, 158, 1813eqtr4d 2843 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))))
1839adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
18410adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍𝐵)
1851, 4, 63, 5, 3, 183, 184, 21psrmulval 19709 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (((𝑋 × 𝑌) × 𝑍)‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))))
1867adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑋𝐵)
18714adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
1881, 4, 63, 5, 3, 186, 187, 21psrmulval 19709 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑋 × (𝑌 × 𝑍))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))))
189182, 185, 1883eqtr4d 2843 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → (((𝑋 × 𝑌) × 𝑍)‘𝑥) = ((𝑋 × (𝑌 × 𝑍))‘𝑥))
19013, 17, 189eqfnfvd 6540 1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) = (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3093  Vcvv 3385  wss 3769   class class class wbr 4843  cmpt 4922  ccnv 5311  dom cdm 5312  cima 5315  Fun wfun 6095  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑓 cof 7129  𝑟 cofr 7130   supp csupp 7532  𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195   finSupp cfsupp 8517  cc 10222  cle 10364  cmin 10556  cn 11312  0cn0 11580  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  0gc0g 16415   Σg cgsu 16416  CMndccmn 18508  Ringcrg 18863   mPwSer cmps 19674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mulg 17857  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-psr 19679
This theorem is referenced by:  psrring  19734
  Copyright terms: Public domain W3C validator