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Theorem psrass1 21525
Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psrass.t Γ— = (.rβ€˜π‘†)
psrass.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrass.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
psrass.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
psrass.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psrass1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍) = (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   Γ— (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass1
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑧 𝑔 β„Ž 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 psrass.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
4 psrass.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
5 psrass.t . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
6 psrring.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 psrass.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 psrass.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 21507 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ 𝐡)
10 psrass.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 21507 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍) ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 21498 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1312ffnd 6719 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍) Fn 𝐷)
141, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 21507 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— 𝑍) ∈ 𝐡)
151, 4, 5, 6, 7, 14psrmulcl 21507 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)) ∈ 𝐡)
161, 2, 3, 4, 15psrelbas 21498 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1716ffnd 6719 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)) Fn 𝐷)
18 eqid 2733 . . . . 5 {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}
19 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
206ringcmnd 20101 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
2120adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
22 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
236ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
241, 2, 3, 4, 7psrelbas 21498 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
26 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯})
27 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑗 β†’ (𝑔 ∘r ≀ π‘₯ ↔ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯))
2827elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯))
2926, 28sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯))
3029simpld 496 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
3125, 30ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3231adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
331, 2, 3, 4, 8psrelbas 21498 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
35 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)})
36 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑛 β†’ (β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ↔ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
3736elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↔ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
3835, 37sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
3938simpld 496 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑛 ∈ 𝐷)
4034, 39ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (π‘Œβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
411, 2, 3, 4, 10psrelbas 21498 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
4241ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑍:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
43 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
443psrbagf 21471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ 𝐷 β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
4530, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
4629simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯)
473psrbagcon 21483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘r ≀ π‘₯))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘r ≀ π‘₯))
4948simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
513psrbagf 21471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ 𝐷 β†’ 𝑛:πΌβŸΆβ„•0)
5239, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑛:πΌβŸΆβ„•0)
5338simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))
543psrbagcon 21483 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ 𝑛:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)) β†’ (((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
5550, 52, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
5655simpld 496 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∈ 𝐷)
5742, 56ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
582, 22, 23, 40, 57ringcld 20080 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
592, 22, 23, 32, 58ringcld 20080 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6059anasss 468 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
61 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ (π‘Œβ€˜π‘›) = (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))
62 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) = ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))
6362fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)) = (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))
6461, 63oveq12d 7427 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))) = ((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))
6564oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
663, 18, 19, 2, 21, 60, 65psrass1lem 21496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))))
677ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
688ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
69 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯})
70 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = π‘˜ β†’ (𝑔 ∘r ≀ π‘₯ ↔ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯))
7170elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↔ (π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯))
7269, 71sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯))
7372simpld 496 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
741, 4, 22, 5, 3, 67, 68, 73psrmulval 21505 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
7574oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))
76 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
776ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
783psrbaglefi 21485 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
7973, 78syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
8041ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑍:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
81 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
823psrbagf 21471 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
8373, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
8472simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯)
853psrbagcon 21483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∘r ≀ π‘₯))
8681, 83, 84, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∘r ≀ π‘₯))
8786simpld 496 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐷)
8880, 87ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
896ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9024ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
91 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜})
92 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = 𝑗 β†’ (β„Ž ∘r ≀ π‘˜ ↔ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜))
9392elrab 3684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜))
9491, 93sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜))
9594simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
9690, 95ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9733ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
9873adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
9995, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
10094simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜)
1013psrbagcon 21483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘r ≀ π‘˜))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘r ≀ π‘˜))
103102simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
10497, 103ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1052, 22, 89, 96, 104ringcld 20080 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
106 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) = (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))
107 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
109106, 79, 105, 108fsuppmptdm 9374 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
1102, 76, 22, 77, 79, 88, 105, 109gsummulc1 20128 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))
11188adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1122, 22ringass 20076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))))
11389, 96, 104, 111, 112syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))))
1143psrbagf 21471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
115114ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
116115ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„•0)
11783adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
118117ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0)
11999ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0)
120 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„‚)
121 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„‚)
122 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
123 nnncan2 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))) = ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§)))
124120, 121, 122, 123syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))) = ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§)))
125116, 118, 119, 124syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))) = ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§)))
126125mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§))))
127 psrring.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
128127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
129 ovexd 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) ∈ V)
130 ovexd 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) ∈ V)
131115feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘§)))
13299feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘—β€˜π‘§)))
133128, 116, 119, 131, 132offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
134117feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)))
135128, 118, 119, 134, 132offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
136128, 129, 130, 133, 135offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))))
137128, 116, 118, 131, 134offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§))))
138126, 136, 1373eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) = (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))
139138fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = (π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))
140139oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) = ((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))
141140oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))))
142113, 141eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
143142mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))) = (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))
144143oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))))
14575, 110, 1443eqtr2d 2779 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))))
146145mpteq2dva 5249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))))
147146oveq2d 7425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))))))
1488ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14910ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
1501, 4, 22, 5, 3, 148, 149, 49psrmulval 21505 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))))
151150oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))
1526ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1533psrbaglefi 21485 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 β†’ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin)
15449, 153syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin)
155 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1563, 155rab2ex 5336 . . . . . . . . . . . 12 {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ V
157156mptex 7225 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ V
158 funmpt 6587 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))
159157, 158, 1073pm3.2i 1340 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
160159a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V))
161 suppssdm 8162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))
162 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) = (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))
163162dmmptss 6241 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) βŠ† {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}
164161, 163sstri 3992 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}
165164a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)})
166 suppssfifsupp 9378 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ({β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
167160, 154, 165, 166syl12anc 836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
1682, 76, 22, 152, 154, 31, 58, 167gsummulc2 20129 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))
169151, 168eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))
170169mpteq2dva 5249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))))))
171170oveq2d 7425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))))
17266, 147, 1713eqtr4d 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
1739adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ 𝐡)
17410adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
1751, 4, 22, 5, 3, 173, 174, 19psrmulval 21505 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍)β€˜π‘₯) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))))
1767adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
17714adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘Œ Γ— 𝑍) ∈ 𝐡)
1781, 4, 22, 5, 3, 176, 177, 19psrmulval 21505 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍))β€˜π‘₯) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
179172, 175, 1783eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍)β€˜π‘₯) = ((𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍))β€˜π‘₯))
18013, 17, 179eqfnfvd 7036 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍) = (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ∘r cofr 7669   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  β„‚cc 11108   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  CMndccmn 19648  Ringcrg 20056   mPwSer cmps 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-psr 21462
This theorem is referenced by:  psrring  21531
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