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Theorem psrass1 21390
Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psrass.t Γ— = (.rβ€˜π‘†)
psrass.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrass.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
psrass.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
psrass.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psrass1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍) = (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   Γ— (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass1
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑧 𝑔 β„Ž 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 psrass.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
4 psrass.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
5 psrass.t . . . . 5 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
6 psrring.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 psrass.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 psrass.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 21372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ 𝐡)
10 psrass.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 21372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍) ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 21363 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1312ffnd 6670 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍) Fn 𝐷)
141, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 21372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Γ— 𝑍) ∈ 𝐡)
151, 4, 5, 6, 7, 14psrmulcl 21372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)) ∈ 𝐡)
161, 2, 3, 4, 15psrelbas 21363 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1716ffnd 6670 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)) Fn 𝐷)
18 eqid 2733 . . . . 5 {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}
19 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
20 ringcmn 20008 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
216, 20syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
236ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
251, 2, 3, 4, 7psrelbas 21363 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
27 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯})
28 breq1 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑗 β†’ (𝑔 ∘r ≀ π‘₯ ↔ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯))
2928elrab 3646 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯))
3027, 29sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯))
3130simpld 496 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
3226, 31ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3332adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
341, 2, 3, 4, 8psrelbas 21363 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
3534ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
36 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)})
37 breq1 5109 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑛 β†’ (β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ↔ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
3837elrab 3646 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↔ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
3936, 38sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
4039simpld 496 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑛 ∈ 𝐷)
4135, 40ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (π‘Œβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
421, 2, 3, 4, 10psrelbas 21363 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
4342ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑍:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
44 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
453psrbagf 21336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ 𝐷 β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
4631, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
4730simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯)
483psrbagcon 21348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘r ≀ π‘₯))
4944, 46, 47, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘r ≀ π‘₯))
5049simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
523psrbagf 21336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ 𝐷 β†’ 𝑛:πΌβŸΆβ„•0)
5340, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑛:πΌβŸΆβ„•0)
5439simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))
553psrbagcon 21348 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ 𝑛:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑛 ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)) β†’ (((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
5651, 53, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))
5756simpld 496 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) ∈ 𝐷)
5843, 57ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
59 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
602, 59ringcl 19986 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘Œβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6124, 41, 58, 60syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
622, 59ringcl 19986 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6324, 33, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6463anasss 468 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ∧ 𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
65 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ (π‘Œβ€˜π‘›) = (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))
66 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛) = ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))
6766fveq2d 6847 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)) = (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))
6865, 67oveq12d 7376 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))) = ((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))
6968oveq2d 7374 . . . . 5 (𝑛 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
703, 18, 19, 2, 22, 64, 69psrass1lem 21361 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))))
717ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
728ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
73 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯})
74 breq1 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = π‘˜ β†’ (𝑔 ∘r ≀ π‘₯ ↔ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯))
7574elrab 3646 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↔ (π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯))
7673, 75sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯))
7776simpld 496 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
781, 4, 59, 5, 3, 71, 72, 77psrmulval 21370 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
7978oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))
80 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
81 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
826ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
833psrbaglefi 21350 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
8477, 83syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
8542ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑍:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
86 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
873psrbagf 21336 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
8877, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
8976simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯)
903psrbagcon 21348 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘˜ ∘r ≀ π‘₯) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∘r ≀ π‘₯))
9186, 88, 89, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐷 ∧ (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∘r ≀ π‘₯))
9291simpld 496 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐷)
9385, 92ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9482adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9525ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
96 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜})
97 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = 𝑗 β†’ (β„Ž ∘r ≀ π‘˜ ↔ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜))
9897elrab 3646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↔ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜))
9996, 98sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜))
10099simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
10195, 100ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
10234ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
10377adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
104100, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0)
10599simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜)
1063psrbagcon 21348 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ 𝑗:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑗 ∘r ≀ π‘˜) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘r ≀ π‘˜))
107103, 104, 105, 106syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘r ≀ π‘˜))
108107simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
109102, 108ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1102, 59ringcl 19986 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11194, 101, 109, 110syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
112 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) = (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))
113 fvex 6856 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
115112, 84, 111, 114fsuppmptdm 9321 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
1162, 80, 81, 59, 82, 84, 93, 111, 115gsummulc1 20035 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))
11793adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1182, 59ringass 19989 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π‘‹β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))))
11994, 101, 109, 117, 118syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))))
1203psrbagf 21336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
121120adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
123122ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„•0)
12488adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
125124ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0)
126104ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0)
127 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„‚)
128 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„‚)
129 nn0cn 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„‚)
130 nnncan2 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))) = ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§)))
131127, 128, 129, 130syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘—β€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))) = ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§)))
132123, 125, 126, 131syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))) = ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§)))
133132mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§))))
134 psrring.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
135134ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
136135adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
137 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) ∈ V)
138 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) ∈ V)
139122feqmptd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘§)))
140104feqmptd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘—β€˜π‘§)))
141136, 123, 126, 139, 140offval2 7638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
142124feqmptd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)))
143136, 125, 126, 142, 140offval2 7638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§))))
144136, 137, 138, 141, 143offval2 7638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)) βˆ’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘—β€˜π‘§)))))
145136, 123, 125, 139, 142offval2 7638 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘§) βˆ’ (π‘˜β€˜π‘§))))
146133, 144, 1453eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) = (π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))
147146fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = (π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))
148147oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) = ((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))
149148oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))))
150119, 149eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) ∧ 𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
151150mpteq2dva 5206 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))) = (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))
152151oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))))
15379, 116, 1523eqtr2d 2779 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))))
154153mpteq2dva 5206 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))))
155154oveq2d 7374 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))))))
1568ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15710ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
1581, 4, 59, 5, 3, 156, 157, 50psrmulval 21370 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))))
159158oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))
1603psrbaglefi 21350 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷 β†’ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin)
16150, 160syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin)
162 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1633, 162rab2ex 5293 . . . . . . . . . . . 12 {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ V
164163mptex 7174 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ V
165 funmpt 6540 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))
166164, 165, 1133pm3.2i 1340 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
167166a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V))
168 suppssdm 8109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))
169 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) = (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))
170169dmmptss 6194 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) βŠ† {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}
171168, 170sstri 3954 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)}
172171a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)})
173 suppssfifsupp 9325 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ({β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)})) β†’ (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
174167, 161, 172, 173syl12anc 836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
1752, 80, 81, 59, 23, 161, 32, 61, 174gsummulc2 20036 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))) = ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))
176159, 175eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))
177176mpteq2dva 5206 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛))))))))
178177oveq2d 7374 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ {β„Ž ∈ 𝐷 ∣ β„Ž ∘r ≀ (π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗)} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜((π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗) ∘f βˆ’ 𝑛)))))))))
17970, 155, 1783eqtr4d 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
1809adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ 𝐡)
18110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
1821, 4, 59, 5, 3, 180, 181, 19psrmulval 21370 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍)β€˜π‘₯) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ (((𝑋 Γ— π‘Œ)β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ π‘˜))))))
1837adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
18414adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (π‘Œ Γ— 𝑍) ∈ 𝐡)
1851, 4, 59, 5, 3, 183, 184, 19psrmulval 21370 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍))β€˜π‘₯) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ π‘₯} ↦ ((π‘‹β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((π‘Œ Γ— 𝑍)β€˜(π‘₯ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
186179, 182, 1853eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍)β€˜π‘₯) = ((𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍))β€˜π‘₯))
18713, 17, 186eqfnfvd 6986 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Γ— π‘Œ) Γ— 𝑍) = (𝑋 Γ— (π‘Œ Γ— 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   ∘r cofr 7617   supp csupp 8093   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  β„‚cc 11054   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  CMndccmn 19567  Ringcrg 19969   mPwSer cmps 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-tset 17157  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-psr 21327
This theorem is referenced by:  psrring  21396
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